小学统计教学应关注的问题

小学统计教学应关注的问题

一、我国统计教学的历史沿革一般认为，统计学始于古希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史.它起源于研究社会经济问题.亚里士多德撰写了大量被称为“城邦政情”（Matterofstate）的资料，内容包括对各城邦的历史、行政、科学、艺术、人口、资源和财富等社会和经济情况的分析、比较.后来，随着社会经济的发展，特别是航海业在欧洲兴起，航海保险业开始出现.为了合理地确定保险金与赔偿金，需要了解不同季节、不同路线航海出现事故的可能性的大小，需要收集相关的数据，根据数据进行分析和判断，这被称为是近代统计学的发端.现在的“统计学”（Statistics）一词依然保留有“城邦”（State）这个词根.新中国成立以来，我国小学数学教材中几乎一直有统计内容.1950年的《小学算术课程暂行标准（草案）》规定五年级（五年制）学习“常用统计表的认识和作法（简单统计表、复合统计表和百分统计表），简单统计图的认识和画法.”1952年《小学算术教学大纲（草案）》中没有专门规定统计内容.1956年《小学算术教学大纲（修订草案）》规定六年级（六年制）学习“简单的统计图表和简单的簿记”，具体包括：“统计表和统计图的意义和制法，单项统计表和多项统计表，条形统计图，折线统计图和扇形统计图.”并说明：“统计图表和簿记在劳动生产和日常生活里也都有广泛的应用，在小学里学习这些教材可以使儿童获得一些应用的知识与技能，并且可以为将来参加劳动生产做一些准备.”1963年《全日制小学算术教学大纲（草案）》指出：“统计图表的知识，在日常生活中、在生产劳动中用处很多.因此，在小学里应该讲授统计图表的知识.讲授的时候，应该着重讲授常遇到的一些简单的统计图表.”并指出：“着重工农业生产上常用的统计图表.”此后半个多世纪以来，统计一直以比较稳定的内容出现在小学数学教材中.1992年的《大纲》进一步强调统计思想与方法，认为统计知识在日常生活和生产中广泛的应用，要结合有关内容，使学生了解一些简单的统计思想和方法，逐步看懂简单的统计图表，对于绘制统计图表要求不宜过高.在1992年的《大纲》中，初步认识统计知识的要求是从四年级开始的.四年级的教学要求是：“初步认识简单的统计图表.”五年级的教学要求是：“初步学会收集数据和分类整理，会填写简单的统计表.”六年级的教学要求是：“会制作简单的统计表，利用作图绘制简单的统计图.”值得一提的是，正是从1992年的《大纲》开始，“求平均数”的问题被纳入了“统计初步知识”范畴.尽管统计内容一直在我国中小数学教材中占有一席之地，但一直以来，我们对统计内容教学的研究关注不多.邱学华先生主编的《中国小学数学教学四十年》一书中收录了从新中国成立到1989年这40年中近140篇小学数学教学论文，没有一篇是专门论述统计内容教学的.直到本轮课程改革以来，《数学课程标准》把“统计与概率”作为数学四大内容板块之一，统计教学才得到更多的关注.二、统计教学应关注的问题1.注意教学情境的问题性统计学是通过数据进行分析与推断，从而解决问题，作出决策的.因此，在教学实践中，必须提供一个需要用统计的方法解决的问题.所谓“需要用统计的方法解决的问题”，往往就是指这个问题的解决，需收集数据并利用数据进行分析与推断.以下情境包含有需要用统计方法解决的问题.以下的几种体育活动，同学们最喜欢哪一种？而以下情境不包括这样的问题.于是，就这两个情境而言，前者是进行统计教学的情境，而后者只是一个简单的操作活动.我们提倡注意教学情境的问题性，就是要多设计上述第一种情境，而要对上述第二种情境进行改造.如提出问题：这个圆片两边是不是均匀的呢？然后设想，如果是均匀的，抛起再落下后，两边朝上的可能性应该差不多，于是再进行数据收集——抛20次，记下正面朝上和反面朝上的次数.最后再分析这些数据，并作出推断.再以小学数学中常见的摸球游戏为例：盒子里三个黄球，一个白球，让学生进行摸球活动.第一种方案是先让学生看到盒子里的球是三黄一白，让学生猜测摸到黄球的可能性大还是摸到白球的可能性大，然后进行摸球活动进行验证.第二种方案是不但不让学生看到盒子里球的情况，而且问题恰好就是想知道盒子里的球的情况（如有哪些颜色的球，哪种颜色的球多等）.两种情境相比，后者更像一个“需要用统计的方法解决的问题”，解决这个问题的基本过程也是先通过试验收集数据，然后对数据进行分析，最后进行推断.2.注意揭示有关方法的必要性统计教学中需要向学生介绍很多统计的方法、概念等.介绍这些时，有一个基本的要求就是要向学生揭示其必要性.以下面一个教学片段为例.师：交警叔叔想研究一下我们学校门口各种车辆通过的情况，我们也去看看好吗？（播放一段录像，录像内容为一路口有小汽车、摩托车、大卡车经过）师：你们看到了什么？：有很多车经过.师：都有些什么车？：有小汽车、摩托车，还有……：还有大卡车.师：这些车都有多少辆啊？生：……：不知道，没记.师：那老师再放一次录像，大家记一记好吗？（再放录像）师：这些车都有多少辆啊？：老师，能不能慢点放，我记不过来.师：你是怎么记的？：看到一辆小汽车就写一个“小汽车”这样子的.师：哦，这样子那确实比较难记啦，有没有记得下的？：我每种只写一个字，小汽车就写“小”，大卡车就写“大”，摩托车就写“摩”.师：大家觉得他这个记法怎么样？：我觉得比我的好多了，不用写那么多字，我还想给他提个建议，“摩”字难写，不如写“托”字表示摩托车.师：你很会学习别人的长处，并且能灵活运用，也就是我们可以用简单的记录方式对吗？那大家一起想一想，有没有更简单的记录方式呢？在本段教学中，教师想向学生揭示收集数据的过程中的一个基本要求：要用适当的方式把数据记录下来.为此，教师在设计中努力向学生揭示了记录的必要性和用适当的记录方法的必要性：若不记录，则得不到数据；若方法不恰当，则无法记录全面.其基本思路是通过适当的情境，让学生面临困境：比如这一段教学中的统计汽车，看一段录像就比看一张停车场的画面好，看录像时不记录不行，而看停车场的画面则无需记录.前者让学生面临了一种困境，而后者没有.这种基本思路，在统计教学中常用，比如在教学完平均数的基础上引入中位数，通常是通过构造一组有极端值的数据，让学生在使用平均数描述这组数据时面临困境，从而揭示引入新的统计量的必要性.除了通过创设某种情境，让学生面临某种困境从而体会到所教学的概念、方法的必要性外，另一种常见的方式就是通过对比，直接揭示新概念、新方法的价值.我们通过另外一种形式的例子来说明这一思路.（教师一个个出示纸盒中的纸片，有正方形、三角形和圆形）师：刚才大家作了记录，请大家说一说，你是如何记录的？在评价这些记录方法的基础上，教师想向学生介绍另一种记录方法：划正字.于是有下面一段引导：师：大家还有别的记录方法没有？生：……师：没有了吗？生：……师：老师这里还有一种方法，你们看怎么样？（教师出示用正字记录的方法）师：大家觉得这种方法怎么样？生：不好.从提示“划正字”这个方法的必要性的角度来看，后面一个教学片段是不成功的——学生并没有体会到这种方法的价值.一方面，学生并没有面临缺少这种方法的困境——没有这种方法，学生同样记录得好好的.另一方面，这种方法的特殊价值没有得到揭示——学生看不出这种方法有什么好.其原因在于，用“正”字记录的优势不在记录而在记录后的统计数据.“正”字正好五划，便于统计.因此，西方国家不用汉字“正”，而用“”，同样是五划，便于统计.因此，为了让学生体会到用“正”字记录的必要性，应向学生揭示这种记录方法便于记录后统计的价值.3.强调统计思维的批判性统计就是要针对问题，获得数据，分析数据，并把分析结果用适当的方式表示出来.由于获取数据的方法与途径不同，分析数据所使用的工具不同，表示数据的形式不同，导致同样的问题、同样的数据，所代表的实际意义则会很不相同.比如药厂声称自己的一种新药有效率为80%.我们就得思考一下，这个80%是怎么得出来的？如果只是“5个人参加试验，4个有效”，这个80%又意味着什么呢？与“5000人参加试验，4000人有效”相比，能一样吗？再如有这么一个故事，反对男女生同校的人举出统计数据说，某校100%的女学生都与该校的男学生结婚了.看起来情况很严重，可事实上，这个学校总共只有两名女生.如果我们不多点统计思维的批判性，很容易被这个100%蒙骗而不能作出正确的判断.因此，我们在统计教学中，要让学生学会批判性地看待一些统计结果，关注统计结果的来历及结果可能代表的各种不同情况.特别是当前一些电视广播、报纸杂志等媒体在表述数据时常不说明样本的范围和选取方式，过于简单地使用百分比和平均数，有时为了达到某种宣传效果，还对统计数据进行不恰当的表述，以致误导了大众的理解，这种情况下，统计思维的批判性尤其重要.在具体操作中，强调统计思维的批判性，可以从以下几个方面着手.一是关注数据来源.统计是用数据进行分析与推理的，要获得数据，通常要进行抽样调查，如何选取样本就变得非常重要了.19世纪末，美、西战争期间，美国曾有人认为，战时在海军中服役的人反而比一般居民还要安全.这一说法是出于引用了下列统计数字：在这一期间海军士兵死亡率是千分之九，而纽约市民死亡率是千分之十六.其实稍加分析就可知道，前一种抽样产生在健康青年中，而后一种抽样是在包括了老、弱、病、残的一般居民中进行的，而老人、病人的死亡率显然较高.这一例子足以说明根据不同的抽样结果进行比较是错误的.宣扬海军士兵死亡率低的目的只是为了战争的需要，在于鼓动人们参军.事实上，如果在一个普通城市中与海军战士年龄相当的群体中作调查，显然会得出相反的结论.以下两个测试题应能给我们在如何关注数据来源方面以启示.（测试题来源于一份2009年美国加州数学综合试卷，见《小学教学》数学版2011年第2期）例1.温蒂想通过一个调查来解了哪一种冰淇淋口味在他们学校最流行.如果她在学校中任意抽样，哪种方法是最好的？A.从每10个班级中抽10个学生B.从女子垒球队中选一些成员C.从男子篮球队中选一些成员D.选一些有自己喜欢冰淇淋口味的学生例2.百货商场对进商场消费的人做了一个调查.哪种方式取得的结果最有价值？A.在一个售鞋柜台进行调查B.在所有的售鞋柜台进行调查C.在商场的入口处进行调查D.在商场1千米外进行调查二是关注数据的分析与描述方式.得到数据后，可以对数据进行各种处理，在小学统计教学中常见的处理是求平均数、中位数，并用各种统计图表来表示.应该培养学生批判地看待这些分析与描述方式的思维习惯与能力.课程标准中的一个例子.某公司有15名职工，对外招聘时称该公司职工的月平均工资超过1200元.请分析下面的统计表，你怎样看待该公司公布的这个数字？这个案例中，公司用平均数来刻画单位职工的工资，这就是对单位职工工资数据的一种分析，而这种分析在此是有误导作用的，需要用一种批判性的思维看待.有人说，现代社会已经进入了“读图时代”，随着社会经济生活的不断丰富，各种媒体上的统计图表不断增加，并且与普通人的生活联系得越来越紧密.统计图表即是对数据的一种描述方式.因此，当我们面对媒体公布的各种数据时，一方面要学会从中获得尽可能多的有用信息，为我所用，另一方面也要保持理智的心态，透过数据的呈现形式对某些结论提出合理地质疑，这是一个现代人在统计素养上必备的素质.以下统计图均源于人教版数学教材.上述统计图企图揭示A牌彩电最受欢迎.我们可以理解为A牌彩电厂商的一个广告宣传.而下面的统计图却使同一个现象给人以不同的印象.乍一看去，左图显示出员工的月薪有明显的增长.增长速度较右图给人印象中的速度大得多.事实上，现在有很多不实的广告宣传往往就是利用人们对统计结果的迷信.比如声称在某地发现一个长寿村，平均年龄多少多少，近两年去世的人享年90岁以上的占多大的比例等，并且发现那里的人都把某某植物的叶子当茶叶喝，现在把那种植物的提取物做成了保健品，人们容易相信这种保健品的功效.事实上这里存在一个虚假相关，没有证据表明，喝那种茶与长寿在多大程度上是相关的.三、小学数学教师的统计专业素养由于历史原因和所受教育的限制，多数小学数学教师没有接受过完整的统计学的教育，存在统计学本体知识缺失的现象，小学数学教师有弥补统计学知识的必要.在此，我们提出一些小学数学教师应该了解的统计学基本观念.首先，要掌握的应该是统计的基本思想方法.统计是通过数据来进行分析和推断的.因此，统计研究的基础是数据.这些数据的特点是，对于每一个数据而言，都具有不确定性，我们需要抽取一定数量的数据，才可能从中获取信息.因此，统计学的研究依赖于对数的感悟，甚至是对一堆看似杂乱无章的数的感悟.通过对数据的归纳整理、分析判断，可以发现其中隐藏的规律.因为可以用各种方法对数据进行归纳整理、分析判断，所以，得到的结论也可能是不同的.而且，我们很难说哪一种方法是对的，哪一种方法是错的，我们只能说，能够更客观地反映实际背景的方法要更好一些.比如，我们希望知道某公司员工的收入情况，可以用平均数也可以用中位数，很难说哪个方法对哪个方法错.事实上，如果收入比较均衡，用平均数要好一些；如果收入比较极端，用中位数要好一些.当然，最好的方法是对收入情况进行分类，但是分类的方法又有好坏之分.我们可以看到，统计学关心更多的是好与不好，而中小学传统数学关心更多的是对与错.因此，统计学的基本思路是，根据所关心的问题寻求好的方法，对数据进行分析和判断，得到必要的信息去解释实际背景.其次，了解一些统计概念.（1）平均数、中位数、众数平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数.中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数.众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.（2）总体、样本和单位总体是统计所要研究的对象的全体，它是客观存在的、具有某种共同性质的许多个体所构成的整体，简称总体.构成总体的个体则称为总体单位，简称单位.样本是从总体中抽取的一部分单位.（3）抽样又称取样，即抽取样本.从欲研究的全部样品（总体）中抽取一部分样本单位.其基本要求是要保证所抽取的样本单位对全部样品具有充分的代表性.抽样的目的是从被抽取样品单位的分析、研究结果来估计和推断全部样品特性，是科学实验、质量检验、社会调查普遍采用的一种经济有效的工作和研究方法.（4）统计图表统计图表，也可称为统计图或趋势图，是以统计图的呈现方式，如柱型图、横柱型图、曲线图、饼图、点图、面积图、雷达图等，来呈现某事物或某信息数据的发展趋势的图形.再次，了解一些统计调查方法.（1）按调查对象的范围分，可分为全面调查和非全面调查.全面调查又称普查，是指对每一个调查单位都要进行调查.非全面调查是指仅对总体中