高考数学(理)热点题型数列(,)

*2*S52a22322nnn12n12n12122SS2364*2*S52a22322nnn12n12n12122SS2364热点一

数列等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用3【例1已知首项为的等比数列{}是递减数列，其前n项和为S(n∈，且S＋n3a，S＋，＋a成等差数列34(1)求数列{a}通项公式；n1(2)设T＝S－(n∈)求数列{}最大项的值与最小项的值.nnn解

设等比数列{}公比为，n因为＋，＋a，S＋a成等差数列，35所以＋－－a＝S＋a－－a，即4a＝，53553a1于是q＝＝.33又{}是递减数列且a＝，所以q＝－.n故等比数列{}通项公式为＝×3＝(－1)－·

n－1n(2)由得＝－＝

，为奇数，，当n为奇数时，随n的增大而减小，n3所以1<≤S＝，n1325故0<－≤S－＝－＝n1n当n为偶数时，随n的增大而增大，n3所以＝S≤，2

SS4312*12S6612a*b2112nnn1－－∴＝n32n3*32SS4312*12S6612a*b2112nnn1－－∴＝n32n3*32k＋故0>－≥S－＝－＝－n2n715综上，对于∈N，总有－≤－≤nn5所以数列{}大项的值为，小项的值为－n【类题通法解决等差数列与等比数列的综合问题既要善于综合运用差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口【对点训练】知数列{}公差不为零的等差数列，其前n项和为S，满足－2ann5＝，且a，，a恰为等比数列{}前三项1n(1)求数列{a}{}通项公式；n(2)设T

n

1是数列n1

1n项和，是否存在k∈N，使得等式1－2＝成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解

设等差数列{}公差为(≠，n54d＋）＝，∴

（＋）＝a（a＋d），1解得a＝，＝，∴＝n＋1.1n∵b＝＝，＝＝9，12∴等比数列{}公比q＝3，b＝n(2)不存在.理由如下：11∵＝＝a（2n＋）（2n＋32＋

112n＋12n＋11125712n＋31＝－22∴1－2＝＋(∈N)，2k＋易知数列

为单调递减数列，

213315b3*bnb1111＝9，119nn1－n192922422222222345n∴<1－2≤213315b3*bnb1111＝9，119nn1－n192922422222222345n1∴不存在∈N，使得等式－T＝成立热点二

数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型求通项属于基本问题常涉及与等差等比的定义、性质、基本量运.求和题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有错位相减法、裂项相消法、分组求和法等【例2设等差数列{}公差为，前项和为，等比数列{}公比为q，已nnb＝，＝，＝，＝100.110(1)求数列{a}{}通项公式；na(2)当d>1时，记c＝，求数列{}前项和.nn(1)解

＋＝，由题意有＝，＋9＝，即＝，＝1解得或2＝2n1，故＝

或

a＝（2n＋），nn－1.(2)解

由d，知a＝2n－1，＝nn

n

，2n1故c＝n

，3579于是＝1＋＋＋＋…＋n2

2n－1n1

，①12

15792n－1T＝＋＋＋＋＋…＋②n①－②可得

222－22n22nn1n－*****11－222－22n22nn1n－*****T＝2＋＋＋…＋－nn2n3＝3－，2n＋3故T＝6.2【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{·b}由等差数列{}等比数列{}(公比q的对应项之积构成的可用此nn法求和第二步：(乘公比)设{·b}前项和为，然后两边同乘以qnn第三步：(错位相减)乘以公比q后向后错开一位，使含有qk∈N)的项对应，然后两边同时作差.第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T.n【对点训练】设数列{}前项和为，已知a＝，＝，且a＝－S＋3nn1＋2n1n∈N.(1)证明：a＝3a；n2(2)求S.2n(1)证明由条件，对任意∈N，有a＝3－S＋3，n2nn1因而对任意∈N，≥2，有a＝3－S＋n1nn两式相减，得－＝3a－，n2＋nn1即a＝3a，≥又a＝，＝2n2所以a＝S－＋3＝3a－(a＋)＋＝，3112故对一切∈N，＝.n2

n＋an1n1n2*nbln2122aaaaa2alnn＋an1n1n2*nbln2122aaaaa2aln2ln2ln2n(2)解

a由(知，a≠，所以＝于是数列{nn

2

}首项＝，公比为3的等比数1列；数列{}首项＝，公比为3的等比数列.2n2因此a

2n1

＝－

，＝2×3n

n

.于是＝a＋＋…＋a2n1

2＝(a＋＋…＋a12n

＋(a＋＋…＋a)22＝＋＋…＋

n

－

1

＋＋＋…＋

n

－

1

)3＝＋3＋…＋3－)＝(3－热点三

数列的综合应用热点3.1数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点该类综合题的知识综合性强能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力因而一直是高考命题者的首选.【例3－1】设等差数列{}公差为，点(，b)在函数(＝2的图象上(n∈).n(1)若a＝－，点(，4)在函数f()的图象，求数列{}前和S；1n1(2)若a＝数f(x的图象在点a)处的切线在x轴上截距为－数列的前n项和.n解

由已知，＝2，b＝＝，77有2＝4×2＝2877

，解得d＝a－＝2.8n（n－1所以，S＝＋＝－＋(－＝nn1

2

－n.(2)函数(x＝在(，)处的切线方程为y－＝ln2)(x－a)，2221它在x轴上的截距为a－211由题意知，－＝，2解得a＝2所以，＝a－＝1.从而a＝，＝22

，

222－221222nn－2222nn12n.nn12nnn1nnnn1112nn1nn12nn1n2n1＋123n－n所以＝＋＋＋…＋＋，222－221222nn－2222nn12n.nn12nnn1nnnn1112nn1nn12nn1n2n1＋n3n12n2＝＋＋＋…＋2

111n因此，－＝＋＋＋…＋－n－＝2－

2

1n－＝n2

n

＋

1

－－222＋－n－2所以，T＝.n热点3.2数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系二是以数列为载体考查不等式的恒成立问题三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法【例3－2】在等差数列{}，＝6，a＋＝n36(1)求数列{a}通项公式；nS(2)记数列{a}前项和为，且＝，若对于一切正整数，总有≤成3·2－立，求实数m的取值范围.解

设公