误差不确定度及其相关数学知识

误差不确定度及其相关数学知识第1页，共61页，2023年，2月20日，星期日误差绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点引用误差第2页，共61页，2023年，2月20日，星期日绝对误差（AbsoluteError）

绝对误差

被测量的真值，常用约定真值代替

测得值特点：1)绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。2)给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。

L＝L－L0绝对误差测得值真值＝－第3页，共61页，2023年，2月20日，星期日修正值(Correction)

:为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值。

修正值真值测得值－特点：1)与误差大小近似相等，但符号相反。2)修正值本身还有误差。故修正后只能得到较测得值更为准确的结果。误差－第4页，共61页，2023年，2月20日，星期日定义

被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用测量值L

来代替

L0相对误差特点：1）相对误差有大小和符号。2）无量纲，一般用百分数来表示。绝对误差相对误差（RelativeError）：

绝对误差与被测量真值之比

第5页，共61页，2023年，2月20日，星期日绝对误差和相对误差的比较用一个测长仪测量0.01m长的工件，其绝对误差Δ=0.0006mm,但用来测量1m长的工件,其绝对误差为Δ=

0.0105mm。前者的相对误差为

后者的相对误差为用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的准确度。第6页，共61页，2023年，2月20日，星期日定义

该标称范围（或量程）上限

引用误差

仪器某刻度点的示值误差或量程内的最大绝对误差

引用误差是一种简化实用的仪器仪表示值的相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。

引用误差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

我国电工仪表、压力表的准确度等级（AccuracyClass）就是按照引用误差进行分级的。如本例中电压表为2.5级，即是其引用误差为2.5%.

第7页，共61页，2023年，2月20日，星期日主要来源

测量装置误差

测量环境误差

测量方法误差测量人员误差

标准器件误差仪器误差附件误差第8页，共61页，2023年，2月20日，星期日系统误差（SystematicError）

在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。定义特征

在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。按特点与性质分：系统误差、随机误差、粗大误差第9页，共61页，2023年，2月20日，星期日随机误差（RandomError）

测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。定义特征

在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。产生原因实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。第10页，共61页，2023年，2月20日，星期日

随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。

虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定，也不能用实验的方法加以消除。但是，经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。随机误差的性质第11页，共61页，2023年，2月20日，星期日粗大误差（GrossError）

指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。定义产生原因某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。

测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）

测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。

由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。第12页，共61页，2023年，2月20日，星期日随机(偶然)误差来自于不可知的原因，误差的出现完全随机，难以估计每个因素对测量结果的影响。遵循一定的统计规律，可以用数理统计方法来处理测量结果。对随机误差所作的概率统计处理，是在完全排除了系统误差的前提下进行的。第13页，共61页，2023年，2月20日，星期日随机变量：

如果某一量（如测量结果）在一定的条件下，取某一值或者在某一定的范围内取值是一个随机事件，这样的量叫随机变量。随机变量的特点：它以一定的概率，在一定的区间上取值或者取某一固定的值。第14页，共61页，2023年，2月20日，星期日概率：表征随机事件发生可能性的大小的量，是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性。概率分布函数：随机变量X的分布函数F(x)=P{X<=x}(-∝<x<+∝)

第15页，共61页，2023年，2月20日，星期日随机变量的数字特征

数学期望:反映其平均特性。其定义如下：X为离散型随机变量：

X为连续型随机变量：

方差和标准偏差方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。设随机变量X的数学期望为E(X)，则X的方差定义为：

D(X)=E(X－E(X))2

标准偏差定义为：

第16页，共61页，2023年，2月20日，星期日正态分布的概率密度函数和统计特性随机误差的概率密度函数为：测量数据X的概率密度函数为：

随机误差的数学期望和方差为：同样测量数据的数学期望E(X)＝，方差D(X)＝第17页，共61页，2023年，2月20日，星期日

随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差随机误差具有：①对称性②单峰性③有界性④抵偿性

第18页，共61页，2023年，2月20日，星期日第19页，共61页，2023年，2月20日，星期日标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。第20页，共61页，2023年，2月20日，星期日

求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小倍。原因是随机误差的抵偿性。第21页，共61页，2023年，2月20日，星期日有限次测量数据的标准偏差的估计值算术平均值：残差：实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：算术平均值标准偏差的估计值：第22页，共61页，2023年，2月20日，星期日置信概率与置信区间：置信区间内包含真值的概率称为置信概率。置信限：

k——置信系数（或置信因子）置信概率是图中阴影部分面积置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997第23页，共61页，2023年，2月20日，星期日标准差期望值

均值

某次测得值

奇异值

第24页，共61页，2023年，2月20日，星期日

非正态分布Φp(x)0x图2.10均匀分布ab其特点是在误差范围内，误差出现的概率各处相同。如仪器中的度盘回差所导致的误差；数字仪器中的量化误差（在±1单位以内不能分辨的误差）；数据计算中的舍入误差（舍掉的或进位的低位数字的概率是相同的）等，均为均匀分布误差。x+e0-eΦp(x)图2.12反正弦分布反正弦均匀三角2~3正态包含因子k分布p(x)0x图2.11三角分布-ee第25页，共61页，2023年，2月20日，星期日

在实际测量过程中，由于客观条件的限制，测量条件是变动的，得到了不等精度测量。

对于精密科学实验而言，为了得到极其准确的测量结果，需要在不同的实验室，用不同的测量方法和测量仪器，由不同的人进行测量。如果这些测量结果是相互一致的。那么测量结果就是真正可以信赖的。这是人为地改变测量条件而进行的不等精度测量。

对于某一个未知量，历史上或近年来有许多人进行精心研究和精密测量，得到了不同的测量结果。我们就需要将这些测量结果进行分析研究和综合，以便得到一个最为满意的准确的测量结果。这也是不等精度测量。

第26页，共61页，2023年，2月20日，星期日（一）权的概念在等精度测量中，各个测量值认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后的测量结果。在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，因而不能简单地取各测量结果地算术平均值作为最后的测量结果，应让可靠程度大的测量结果在最后测量结果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这数值即称为该测量结果的“权”，记为，可以理解为当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予信赖程度。（二）权的确定方法测量结果的权说明了测量的可靠程度，因此可根据这一原则来确定权的大小。最简单的方法可按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数来确定权的大小，即。第27页，共61页，2023年，2月20日，星期日系统误差的特征：在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。

多次测量求平均不能减少系差。第28页，共61页，2023年，2月20日，星期日系统误差的削弱或消除方法

（1）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差①

要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。②

测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。③注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大。④

尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。（2）用修正方法减少系统误差

修正值＝－误差=－（测量值－真值） 实际值＝测量值＋修正值第29页，共61页，2023年，2月20日，星期日①替代法②交换法③对称测量法④减小周期性系统误差的半周期法第30页，共61页，2023年，2月20日，星期日大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除。1.粗大误差产生原因以及防止与消除的方法

粗大误差的产生原因

①测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；②客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。防止和消除粗大误差的方法重要的是采取各种措施，防止产生粗大误差。第31页，共61页，2023年，2月20日，星期日粗大误差的判别准则统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。莱特检验法格拉布斯检验法式中，G值按重复测量次数n及置信概率Pc确定第32页，共61页，2023年，2月20日，星期日测量不确定度：测量不确定度：指测量结果变化的不肯定，即测量结果含有的一个参数，表征被测量值的分散性。测量结果＝被测量的估计值＋不确定度完整的测量结果有两个基本量：被测量Y的最佳估计量y,多用测量数据的算术平均值；描述测量结果分散性的量，即测量不确定度。

不确定度是定量说明测量结果质量的参数，本身没有正负号，但用y±U的形式表示测量结果时，±U代表被测量值的可能分散区间。第33页，共61页，2023年，2月20日，星期日不确定度的相关概念：标准不确定度：用标准差表示的测量结果的不确定度。合成标准不确定度：在一个测量模型中各输入量的不确定度获得的输出量的标准测量不确定度。相对标准不确定度：标准不确定度除以测得值的绝对值。扩展不确定度：合成标准不确定度与一个大于1的数字因子的乘积。包含区间：基于可获信息确定的包含被测量一组值的区间，被测量值以一定的概率落在该区间内。包含概率：在规定的包含区间内包含被测量一组值的概率。包含因子：为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘大于1的数。(k)第34页，共61页，2023年，2月20日，星期日不确定度表达的注意事项：2）有效数字一般不超过两位；1）不确定度数值与被测量估计值末位对齐，单位相同；3）“三分之一准则”修约(根据微小误差取舍原则)。先令测量估计值最末位的一个单位作为测量不确定度的基本单位，再将不确定度取至基本单位的整数位，其余位数若小于基本单位的1/3则舍去，若大于或等于基本单位的1/3，舍去后将最末整数位加1。被测量估计值为20.0005mm,若扩展不确定度U=0.00124mm，修约为0.0013;若扩展不确定度U=0.00123mm，修约为0.0012.第35页，共61页，2023年，2月20日，星期日联系：

测量结果的精度评定参数；

所有的不确定度分量都用标准差表征，由随机误差或系统误差引起；误差是不确定度的基础。区别：

误差以真值或约定真值为中心，不确定度以被测量的估计值为中心；

误差一般难以定值，不确定度可以定量评定；

误差有三类，界限模糊，难以严格区分；测量不确定度分两类，界限分明，分析方法简单。误差与不确定度的区别：第36页，共61页，2023年，2月20日，星期日两类标准不确定度的评定：A类评定：通过对一系列观测数据的统计分析来评定即对某被测量值进行等精度的独立的多次重复测量，得出一系列测得值xi，通常以测量列的算术平均值作为被测量值的估计值，以的标准差作为测量结果的A类标准不确定度，即。B类评定：用非统计分析的方法，基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定。第37页，共61页，2023年，2月20日，星期日第38页，共61页，2023年，2月20日，星期日区间半宽度a的确定：

以前的测量数据、经验和资料；有关仪器和装置的一般知识、制造说明书和检定证书或其他报告所提供的数据；由手册提供的参考数据等。K值的确定：

正态分布：第39页，共61页，2023年，2月20日，星期日非正态分布：第40页，共61页，2023年，2月20日，星期日测量不确定度的合成：直接测量：

1.测量值重复性引起的不确定度2.标准源的准确度引起的不确定度3.读数分辨率引起的不确定度第41页，共61页，2023年，2月20日，星期日间接测量：

若：，则由xi引起的被测量y的标准不确定度分量为而测量结果y的合成标准不确定度uc可用下式表征：其中，ρij为任意两个直接测量值xi，xj不确定度的相关系数。第42页，共61页，2023年，2月20日，星期日第43页，共61页，2023年，2月20日，星期日导数的概念第44页，共61页，2023年，2月20日，星期日其它形式:即第45页