行列式和线性方程组的求解

行列式和线性方程组的求解第1页，共31页，2023年，2月20日，星期日我想说课程的重要性大学与中学的区别综合考评自主学习如何学好做好预习复习多看多练多想工科基础考研基础期末成绩占90%平时成绩占5%分配时间学习方法数学试验占5%未来的文盲不再是目不识丁的人，而是那些没有学会怎样学习(Study,notlearn)的人__AlvinToffler(未来学家)怎样做(How?)为什么这样做(Why?)不这样做可以吗

(Otherways?)应试型学习应用型学习按时完成作业A

B

C思维训练趣味思考题第2页，共31页，2023年，2月20日，星期日掌握三基——基本概念

(定义、符号)

基本理论(定理、公式)基本方法(计算、证明)提前预习——体会思路多动手，勤思考——深入体会思想方法培养——自学能力，独立分析问题能力

和独立解决问题的能力学习方法返回第3页，共31页，2023年，2月20日，星期日训练思维，塑造学生内在素质1.学会观察，发现规律2.培养耐心与坚韧的性格书写计算非常繁琐，需要足够的耐心与细心3.培养学生的发散思维将结论做为条件进行倒推

一题多解，多解归一，多题归一培养学生多角度看问题

利用精炼的语言艺术归纳、比拟探讨变换问题条件

转换思考角度，训练思维的求异性5.培养学生化繁为简的思考模式6.培养学生分析问题的能力非公式化记忆，理论推导增强逻辑推理能力4.转化思想，训练思维的联想性返回第4页，共31页，2023年，2月20日，星期日课程内容与结构一、线性代数主要任务就是求解并应用线性方程组

二、空间解析几何三、两者关系：数量关系—在三维空间中:空间形式—

点,

线,

面，二次曲面基本方法—

坐标法;向量法坐标,方程（组）三维→n维ch1核心工具——初等变换第5页，共31页，2023年，2月20日，星期日n维空间成功的五要素空间第一、目标第二、胸怀第三、勇气第四、坚持第五、聪明创业老板成功十意识空间一、创造梦想、发现机遇的意识二、凝聚梦想、专注热爱的意识三、学习新知、进取提升的意识四、坚持社会公理、科学理性思维的意识五、突破陈规、创新创造的意识六、平和心态、调节情绪的意识七、关注细节、紧盯结果的意识八、改造员工、影响他人的意识九、敢担责任、直面挑战的意识十、居安思危、自省自警的意识第6页，共31页，2023年，2月20日，星期日线性代数一、主要任务解线性方程组

线性方程组方程间的关系向量间的关系矩阵的性质和运算

行列式的运算

返回考虑再学方程对应一个向量再学向量组构成矩阵再学方阵再学二、主要问题应用线性方程组

求方阵的特征值特征向量方阵的相似对角化问题实对称矩阵的正定性三、重点难点向量组的线性无关性矩阵的秩核心工具初等变换第7页，共31页，2023年，2月20日，星期日线性方程组：(2)2(1)可得：1/3(2)可得：(1)(2)可得：高斯消元法：(2)+k(1)(k0)

k(2)

(k0)

(1)(2)

初等变换线性代数的核心工具经济政策模型返回DetLE第8页，共31页，2023年，2月20日，星期日线性方程组：高斯消元法：初等变换第9页，共31页，2023年，2月20日，星期日教学内容和基本要求

第一章行列式和线性方程组的求解教学内容学时数课件§1.1二阶、三阶行列式

111-16§1.2n阶行列式

116-28§1.3行列式的性质和计算4§1.4线性方程组的求解

2第10页，共31页，2023年，2月20日，星期日线性方程组的应用:

平面的位置关系

电路化学方程式配平交通流量营养配方搜索引擎投入产出模型……W.Leontief[美](1905.8.5-1999.2.5)1973Nobel经济学奖第11页，共31页，2023年，2月20日，星期日§1.1二阶、三阶行列式

一.排列的逆序数二.n阶行列式的定义三.行列式的转置第一章行列式和线性方程组的求解§1.2n阶行列式第12页，共31页，2023年，2月20日，星期日第一章行列式和线性方程组的求解

§1.1二阶、三阶行列式一.二元线性方程组与二阶行列式(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2

(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21当a11a22a12a210时,a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.§1.1二阶、三阶行列式

第13页，共31页，2023年，2月20日，星期日a11a12a21a22记D=,b1

a12b2

a22D1=,a11

b1a21

b2D2=,则当D=a11a22a12a210时,,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=

b1

a21x1

+a22x2=

b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21方程组有唯一确定的解x2=a11a22a12a21a11b2b1a21第一章行列式和线性方程组的求解

§1.1二阶、三阶行列式=a11b2b1a21二阶行列式的对角线法则Cramer法则例第14页，共31页，2023年，2月20日，星期日三阶行列式的对角线法则

a1

a2

a3b1

b2

b3c1

c2

c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2每项都是三个元素的乘积.每项的三个元素位于不同的行列.问题:能用对角线法则计算四阶行列式吗?a1

a2

a3a4b1

b2

b3b4c1

c2

c3c4d1

d2

d3

d4对角线法则可得八项的代数和；每项的四个元素位于不同的行列可得

4！=24

项的代数和.产生矛盾否第一章行列式和线性方程组的求解

§1.1二阶、三阶行列式a3b2c1a1b3c2a2b1c3

第15页，共31页，2023年，2月20日，星期日二.三阶行列式的特点每一项都是三个位于不同行和列的元素的乘积.a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33=a11

a22

a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

.将行标按1,2,3排好，列标恰好对应于1,2,3的6种排列.各项系数与列标的排列的逆序数有关.(1)1对换2次

对换1次

(1)2问题:如何利用二三阶行列式的其他特点计算四阶以上行列式?对换的次数称为逆序数.(1)0第一章行列式和线性方程组的求解

§1.1二阶、三阶行列式第16页，共31页，2023年，2月20日，星期日a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33排列j1

j2

j3的逆序数对所有不同的三级排列j1

j2

j3求和a11a12a21a22第一章行列式和线性方程组的求解

§1.1二阶、三阶行列式=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32

a11a23a32a12a21a33a13a22a31第17页，共31页，2023年，2月20日，星期日1.逆序数逆序：违反从小到大的正常顺序一个排列的逆序数:

所有数的逆序数的总和.奇(偶)排列：逆序数为奇(偶)数的排列.逆序数k：设i1i2ikin是1n的一个排列,则ik在此排列中的逆序数k为排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数.

三.排列的逆序数与奇偶性第一章行列式和线性方程组的求解

§1.2n阶行列式对换(变成12…n)的次数称为逆序数.第18页，共31页，2023年，2月20日，星期日例1.求下列排列的逆序数(1)32514(2)n(n1)(n2)…321(3)(2n)(2n2)…4213…(2n3)(2n1).2.对换

对换:对调排列中的任两个元素,其余元素不动.相邻对换:

将相邻的两个元素对换.逆序数k：排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数.第一章行列式和线性方程组的求解

§1.2n阶行列式第19页，共31页，2023年，2月20日，星期日定理1.1.每一个对换都改变排列的奇偶性.推论.n2时,n个元素的所有排列中,奇、偶排列各占一半,即各有n!/2个.注:①任一相邻对换都改变排列的奇偶性.②任一对换都可通过奇数次相邻对换来实现.a1

al

ab1bmb

c1cna1

al

ab

b1bmc1cna1

al

b

b1bma

c1cna1

al

ab1bm-1bbmc1cna1

al

bab1bmc1cna1

al

bb1abmc1cn对换m次对换m+1次共对换2m+1次a1

al

ab

b1bma1

al

ba

b1bm若a＞b,

则a=a,b=b1,若a＜b,

则a=a+1,b=b,=1.=

+1.第一章行列式和线性方程组的求解

§1.2n阶行列式第20页，共31页，2023年，2月20日，星期日§1.1-2方阵的行列式

一.二元线性方程组与二阶行列式

三.排列的逆序数与奇偶性

四.n阶行列式的定义1.逆序数

2.对换：

1.n阶行列式的定义2.几个特殊的行列式二.三阶行列式的特点

每一个对换都改变排列的奇偶性.第一章行列式和线性方程组的求解3.行列式的转置对角线法则第21页，共31页，2023年，2月20日，星期日1.n阶行列式的定义

a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann注:

①n阶行列式是n!项的代数和.四.n阶行列式的定义（Determinant）③n阶行列式是定义在n×n个数集合(n阶方阵)上的一个函数，即f(A)=detA:Rn×n

R.

②当n=1时,一阶行列式|a11|=a11,有正负号.

排列j1

j2

jn的逆序数第一章行列式和线性方程组的求解

§1.2n阶行列式第22页，共31页，2023年，2月20日，星期日2.几个特殊的行列式

a110…00

a22…0…………00…ann0…0a1n

0

…a2,n1

0…………an1…00=a11a22…ann

a1na2,n1…an1(1)对角行列式

第一章行列式和线性方程组的求解

§1.2n阶行列式第23页，共31页，2023年，2月20日，星期日第二章矩阵运算和行列式

(2)上(下)三角形行列式

a11a12…a1n

0a22…a2n…………0

0

…ann=a11a22…ann

=§2.2方阵的行列式a110…0

a21a22…0…………an1

an2…anna11…a1n-1

a1n

a21…

a2n-10…………

an1…0

0=a1na2n-1…an10

…0a1n

0…

a2n-1

a2n…………

an1…a1n-1

ann第24页，共31页，2023年，2月20日，星期日第二章矩阵运算和行列式

例1.证明f()是的n次多项式,并求n,n－1的系数及常数项.a11a12…a1n

a21

a22…a2n…………an1an2…annf()=d1=(a11)(a22)…(ann)

f(0)§2.2方阵的行列式=(－1)n|A|=(－1)n=|－A|第25页，共31页，2023年，2月20日，星期日3.n阶行列式的另外一种定义

a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33=a11

a22

a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

.=a11

a22

a33第一章行列式和线性方程组的求解

§1.2n阶行列式+a31

a12

a23+a21

a32

a13a11

a32

a23a21

a12

a33a31

a22

a13

第26页，共31页，2023年，2月20日，星期日3.n阶行列式的另外一种定义

a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann证明：第一章行列式和线性方程组的求解

§1.2n阶行列式行列标逆序数之和的奇偶性不变第27页，共31页，2023年，2月20日，星期日4.行列式的转置(Transpose)性质1

|AT|=|A|.