虚功原理微分形式的变分原理

虚功原理微分形式的变分原理第1页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

当力学系统相对惯性系处于[静]平衡时,必要条件的证明：对理想约束第2页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

若系统的主动力虚功之和为零,充分条件的证明：对于受有理想约束的系统力学系统的约束是定常的,各质点的无限小实位移必与其中一组虚位移重合,故系统的主动力和约束力的实功之和也满足上式根据质点系的动能定理说明系统开始时静止,以后就会始终保持静止第3页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

几点说明：(1)普适性.(2)在变动中寻找平衡的条件.例如单摆(3)与牛顿力学不同,分析力学的方法不是将注意力放在区分内力和外力上,而是放在区分主动力和约束力上.第4页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

如图所示提升重物的装置,以把手端点的弧坐标s为广义坐标,设重物距地面高度为h,根据虚功原理如果知道h和s的函数关系,通过上式,就可求出(4)虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零,是对任意的虚位移而言的,而不是针对特殊的虚位移.由于虚功原理的方程中不出现约束力,因此不能由虚功原理求出约束力,但是,通过释放约束或用不定乘子法,可以求出约束力第5页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

二、广义平衡方程据虚功原理,有为了得到广义平衡方程,需要将虚功原理化为以广义坐标表述的形式.展开后写成在完整系中,第6页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

推出,广义平衡方程虚功原理又可叙述为:对于受完整的、定常的、理想约束的力学系统,保持静平衡的必要充分条件是所有的广义力都为零.对于主动力均为有势力的有势系,有所以,广义平衡方程成为代入虚功原理中,有第7页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

三、虚功原理的应用

例题3如图所示,匀质杆OA,质量为m1,长为l1,能在竖直平面内绕固定的光滑铰链O转动,此杆的A端用光滑铰链与另一根质量为m2,长为l2的匀质杆AB相连.在B端有一水平作用力.求处于静平衡时,两杆与铅垂线的夹角1和

2.Al1Bl2Oxy1、判断约束类型是否完整约束?是否理想约束?2、判断自由度第8页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

质量为m的小环P被限制在一个半径为R的光滑大圆环上,大圆环绕过大环中心的铅垂轴以的角速度均匀转动,以小环为系统,试确定其自由度.质点在球坐标系中用r,,描述非定常约束3、分析受力(主动力)ABOxy第9页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

4、由虚功原理5、建立坐标系(必须是静止坐标系)6、转化成广义坐标第10页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

广义力广义力广义平衡方程第11页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程:

所以第12页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

[法二]先求出广义力,再写出平衡方程s=2,所以有2个广义力

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虚功原理主要用于求解：(1)系统的静平衡位置；(2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系.第14页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

应用虚功原理解题的主要步骤是：(1)明确系统的约束类型,看是否满足虚功原理所要求的条件；(2)正确判断系统的自由度,选择合适的广义坐标；(3)分析并图示系统受到的主动力；(4)通过坐标变换方程,将虚功原理化成的形式,进而得出广义平衡方程对有势系,求出系统的势能V后，可通过

得广义平衡方程;(5)求解广义平衡方程.第15页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

四、利用虚功原理求约束力

1、利用释放约束的方法求约束力例题4试求例题3中O处的约束力.代入虚功原理,得可解出约束力:第16页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

2、不定乘子法.(拉格朗日乘数法)先设系统由1个质点组成,受1个完整约束用3个直角坐标作为描述系统位置的变量.于是当系统平衡时,应满足虚功原理乘待定常数(不定乘子)

，与前式相加,得

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称为不定乘子,又称拉格朗日乘子.这种方法称为不定乘子法.不定乘子是一个与约束力有关的量.第18页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

将约束都释放,并将约束力视为主动力,虚功原理成为即可知设想质点被约束在一个光滑曲面上,其约束力为即说明约束力沿曲面的法线方向，第19页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

一般性讨论设一力学系统由n个质点组成,受到k个完整约束的限制则3n个坐标中有k个是不独立的.系统平衡时,应满足虚功原理它们满足k个由完整约束给出的方程:第20页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

与k个约束方程联立求解,k个与平衡位置坐标便可同时求出.称为不定乘子,又称拉格朗日乘子.这种方法称为不定乘子法.

将k个完整约束都释放,并将约束力都视为主动力,虚功原理成为第21页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

3n个坐标变分变成完全独立的了,所以与比较不定乘子与约束力有密切关系.第22页，共24页，2023年，2月20日，星期日§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）

例题5一质量为m的质点P被限制在光滑球面上运动.已知球面的半径为a,求质点的平衡位置和约束力.[解]系统:质点建立原点在球心上的直角坐标系Oxyz,质点的约束方程为s=2,但解题时仍以质点的3个坐标x,y,z作为确定质点位置的变量.它们的变分不独立