自然界和社会上发生的现象是各种各样的

自然界和社会上发生的现象是各种各样的第1页，共48页，2023年，2月20日，星期六

概率论与数理统计就是研究随机现象的数量统计规律性的数学分支。确定性现象是用经典的数学理论方法来研究其确切的因果关系。概率论研究随机现象有其独特的方法，是通过对随机现象的大量观察揭示其规律性。同学在学习中要注意其规律和方法。随机现象其结果的发生呈现偶然性，但在一定条件下对其进行大量重复实验或观察，它的结果会出现某种规律性，这是随机现象所呈现的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。这正是概率论所研究的对象。第2页，共48页，2023年，2月20日，星期六第一章概率论的基本概念随机试验

我们把对随机现象进行一次试验或观察，统称为随机试验，记为E。叙述试验，我们要注意到：

1、“在一定条件下，进行一次试验”包括内容：试验条件；观察特性（要观察的目的）

2、结果的描述随机试验有什么特点？下面举例看一看！随机试验E，样本空间，基本事件，事件，概率的定义第3页，共48页，2023年，2月20日，星期六序号试验条件观察特性可能结果E1将一枚硬币抛掷一次出现正面H反面T的情况H,TE2将一枚硬币抛掷二次同上E3从六张卡片每张标有1，2，…，6一个数字（4张红色，2张白色）任取一张观察抽取卡片上的号码数1，2，3，4，5，6E4同上观察卡片上的颜色“红色”，“兰色”第4页，共48页，2023年，2月20日，星期六

上面所列举的试验，其共同的特点是：

1、可以在相同的条件下重复进行（可重复性）

2、试验的可能结果不止一个，并能事先明确试验的所有可能的结果（预知性）

3、一次试验之前不能确定预言中哪一个结果会出现（随机性）具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称为试验，记为E。我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。（二）随机试验E的每一个可能出现的结果叫做基本事件，记为或e所有基本事件组成的集合叫样本空间，记为样本点满足两点：1完备性：样本点是E的所有可能结果2互斥性：任何两个基本事件都不会在一次试验中同时发生。第5页，共48页，2023年，2月20日，星期六（三）一个或多个基本事件组成的集合叫随机事件。记为A，B，C……..集合论全集（集合）点子集概率论样本空间S样本点（基本事件）事件A关系：如（出现正面）（第二次出现正面）（取到卡片上号码大于3）=C=（4，5，6）第6页，共48页，2023年，2月20日，星期六（四）频率与概率频率：在相同条件下，独立重复进行n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA叫事件发生的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率，记为fn(A)。

特点：（1）频率在一定程度上可以反映事件A发生的可能性大小。（2）具有波动性的弱点。频率具有“稳定性”的特性，即当试验次数n逐渐增大时。频率fn(A)逐渐稳定某一定数。

实验者试验次数正面向上次数正面向上频率德.摸根204810610.5181蒲丰404020480.5069K.皮尔逊1200060190.5016第7页，共48页，2023年，2月20日，星期六例：掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中，正面出现频率fn

(H)的趋势，如图0.51由上面演示可看出：在多次试验中，事件的频率总是在一个”定值“附近摆动，而且当试验次数n越大，这个摆动的振幅越小。这个特性叫频率的稳定性。这是大量实践中得到的随机现象的统计规律性。第8页，共48页，2023年，2月20日，星期六我们将频率稳定于某一定数定义为A发生的概率，记P(A)。用它表示事件A发生的可能性大小。概率的频率定义

在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大时，如果频率m/n稳定地在某数值p附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，称数值p为事件A在这一组不变的条件下发生的概率，记作P(A)=p.第9页，共48页，2023年，2月20日，星期六概率的定义：设S是试验E的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数P(A)，如果P(A)满足：公理（1）对于任何事件A，有公理（2）对于S，有P(S)=1公理（3）对于对于两两互斥的事件A1,A2,…,Am,…

则称P(A)为事件A的概率概率的公理化定义

第10页，共48页，2023年，2月20日，星期六二.概率的计算（一）直接计算古典概型:1.E的样本空间S只含有限个样本点（基本事件）记n2.E的每个基本事件发生的可能性相同古典概型中:其中n是S中的个数k是A中包含的个数（1）计算n，k要用到两个基本原理和排列、组合1.乘法原理如果完成某件事需经k个步骤第一个第二个…第k个步骤有步骤有步骤有n1种方法n2种方法…nk种方法第11页，共48页，2023年，2月20日，星期六必须经过每一步骤才能完成此事。则完成这件事共有种不同方法如

火车3列火车2列北京飞机2班济南飞机3班上海汽车4趟汽车2趟北京到上海的走法共有2.加法原理设完成某件事有k种方式：第一种第二种…第k种方式有方式有方式有n1种方法n2种方法…nk种方法无论通过哪种方式都可以完成此事。则完成这件事总共有n1+n2+…+nk

种方法。第12页，共48页，2023年，2月20日，星期六如

火车5列北京飞机3班天津汽车6趟北京到天津的共有3+5+6=11种方法排列公式如：该公式可视为以下模型：m个球放在n个盒子中，每个盒子最多有一个球（或说m个球都不在同一盒子中）第一个球任意放在n个盒中之一，有n种方法可放第二个球任意放在剩下n-1个盒中之一，有n-1种方法第13页，共48页，2023年，2月20日，星期六第m个球任意放在剩下n-m+1个盒中之一，有n-m+1种方法把m个球全放完共有方法：种特别：可重复排列，如：m个球任意放入n个盒子中，盒中球的个数不限，共有方法种。如：从0，1，2…..9个数字中任取7个数字为某城市的电话号码，该城市最多可安装电话的部数是组合公式：第14页，共48页，2023年，2月20日，星期六（2）抽样方法10无放回抽样（抽取）即是第一次从中任取一个，不放回再取一个，又不放回，再取下一个……..20有放回抽样（抽取）即是第一次从中任取一个，放回再取一个，又放回，再取下一个……..例1：从1，3，5三个数字中任取一个数字，求取的数字大于等于3的概率？解：设A表示事件“任取一个数字大于等于3”。S={1,3,5},n=3,k=2第15页，共48页，2023年，2月20日，星期六例2：从1，3，5三个数字中任取一个数字，不放回的再从中任取一个数字。求下列事件的概率。（1）“第一次取的是3，第二次取的是5”=A（2）“取的两个数字是3和5”=B分析第一次取球的情况不放回，第二次抽取135351531可知S={(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)}解：n=6(1)k=1(2)k=2此问题，能否用如下方法计算是否对？第16页，共48页，2023年，2月20日，星期六例3.如果例2中的抽样方法为有放回抽样，求P(A),P(B)第一次取球的情况有放回，第二次抽取135135135135S={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),

(5,5)}n=9分析解：第17页，共48页，2023年，2月20日，星期六例4：从分别标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9件同型产品中，有放回的任取3件，求“取得3件的号码都是偶数”的概率？分析：由于是有放回的抽取，每取一件产品都有9种不同的取法。有放回的抽取3件，便有种不同的结果而要求取得的号码是偶数，所以只能从标号为偶数的4个中取得，有放回的取3件，便有种不同的结果。解：设D=“取得3件产品的标号都是偶数”思考：如果是无放回的抽取，结果如何呢？第18页，共48页，2023年，2月20日，星期六例5.在100件同型产品中有5件废品，其余都是正品。今从100件中无放回的任取10件，求取的产品正好有三件废品的概率分析：正好取得3件废品实际上是“正好取得3件废品，7件正品从100件中无放回的取10件，共有种不同的取法。正好取得3件废品，只能从5件废品中任取3件，共有不同的取法而另外7件必须从95件正品中取得，其不同的取法有种。所以正好取得3件废品共有种不同的取法解：设A=“正好取得3件废品”第19页，共48页，2023年，2月20日，星期六①“A、B中至少有一个发生时”，“A发生或B发生”与“事件AB发生”是等价的。（二）用概率性质（1）集合运算：和、交（积）、差，自己复习②“事件A和B同时发生”，“A发生且B发生”，

“A和B都发生”与“事件AB发生”是等价的。③A发生且B不发生时，事件AB发生。第20页，共48页，2023年，2月20日，星期六④A与B互斥（互不相容）即A与B没有共同元素AB⑤A与B对立（互逆）满足条件：且AS-A也称为A的逆事件，记为第21页，共48页，2023年，2月20日，星期六（2）概率的性质。要熟记10若则20一般加法公式ABAB30两两互斥，则如：产品的次品率是5%（次品）=A（正品）=第22页，共48页，2023年，2月20日，星期六40BAAB例5：甲、乙二人独立破译密码，甲、乙能译出的概率依次为0.5，0.6，又知甲乙能同时译出的概率是0.4，求密码能译出的概率？解：（甲能译出）=A（乙能译出）=B（甲乙能同时译出）=AB第23页，共48页，2023年，2月20日，星期六由条件知P(A)=0.5P(B)=0.6P(AB)=0.4P(密码能译出)=

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=0.5+0.6-0.4=0.7

例6：已知事件A的概率P(A)=0.6，求法一：条件扩大第24页，共48页，2023年，2月20日，星期六法二：BA例7：在同型产品中，有8件次品，其余为正品，今从这100

件产品中，任取10件。求至少取得1件次品的概率。解：记A=“至少取得一件次品”.法一：用古典概率知：第25页，共48页，2023年，2月20日，星期六法二：先计算=“不取得次品”三、条件概率与乘法公式第26页，共48页，2023年，2月20日，星期六例：甲、乙两厂生产同一种零件，它们的产品情况如下表：产品混放在一起，从中任取一件产品，（1）“取得的一件产品是甲厂生产的”=A。求P(A)（2）“取得的一件产品是次品”=B。求P(B)（3）“取得的一件产品是甲厂生产的次品”=AB

求P(AB)（4）已知取得的一件是甲厂的产品，求它是次品的概率，正品次品小计甲厂502070乙厂255307525100解：第27页，共48页，2023年，2月20日，星期六注意：以上四个问题的不同之处，什么叫“条件”。定义：若P(A)>0,A发生的条件下B发生的条件概率为若P(B)>0,B发生的条件下,A发生的条件概率为第28页，共48页，2023年，2月20日，星期六计算方法（一）公式法**（二）直接计算*注：条件概率具有概率的性质。请自己总结（2）乘法公式若P(A)>0有P(B)>0有注意：①如何把实际问题表述成事件的关系运算来求解。②区分第29页，共48页，2023年，2月20日，星期六如：一批产品是甲、乙二厂生产的，从中任取一件产品。“任取一件是甲厂的产品”=A，“任取一件是次品”=B，①求甲厂的生产的次品的概率。如何表达？②甲厂产品的次品率。如何表达？例8:盒中有10件同型产品，其中8件正品，2件次品。现从盒中无放回的连取2件，求第一次、第二次都取得正品的概率。解：记A=“第一次取得正品”B=“第二次取得正品”则AB=“第一次取得正品，第二次也取得正品”因为在第一次已取得正品下，第二次在取得产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。所以第30页，共48页，2023年，2月20日，星期六由乘法公式得：例9:将6个球（其中3个红球，3个白球）随机放入3个盒子中。求每个盒子正好都放入一个红球一个白球的概率。解：记Ai=“第i个盒子正好放入一个红球一个白球”，i=1,2,3则“每盒正好放入一个红球一个白球”事件可表成A1A2A3。由概率的乘法公式得：第31页，共48页，2023年，2月20日，星期六例10:某厂产品的次品率是0.04，正品中一等品占90%，求从这批产品中任取一件是一等品的概率?解：设“正品”=A，“一等品”=B已知P(A)=0.96P(任取一件产品是一等品)=P(B)(4)事件的独立性如果说明B的发生对A发生的概率无影响说明A的发生对B发生的概率无影响称A与B互相独立。第32页，共48页，2023年，2月20日，星期六定义：若事件A,B满足则称A和B互相独立。（反之也成立）若互相独立，则注意：互相独立的定义应是：两两独立必须满足以上所有等式都成立。有第33页，共48页，2023年，2月20日，星期六小结：（1）A和B独立一般情况

（2）如果已知A与B相互独立，则可知：

（3）如果A与B相互独立，则

如甲、乙二人的射击问题。例11:已知事件A与B相互独立,且知则

解：第34页，共48页，2023年，2月20日，星期六例12:已知（1）若A与B互斥。求：（2）若A与B互相独立求：解：（1）若A与B互斥。第35页，共48页，2023年，2月20日，星期六（2）若A与B互相独立第36页，共48页，2023年，2月20日，星期六注意：A与B对立（互逆），A与B互斥（互不相容），

A与B独立的概念区别，用处。A与B对立A与B互斥A与B互相独立？？ABAB若则即AB第37页，共48页，2023年，2月20日，星期六例12:甲、乙两名稳健射手各对目标射出一发子弹，记：A=“甲命中目标”，B=“乙命中目标”，已知求：（1）甲、乙都命中目标的概率。（2）甲乙至少有一人命中目标的概率。解：因为甲、乙二人都稳健，可认为其中一人命中与否，不影响另一人命中与否的概率，即A与B互相独立。（2）法一：法二：且易知与独立第38页，共48页，2023年，2月20日，星期六例13:袋中有4个红球，3个白球，每次从中任取一个不放回的取二次，求下列事件的概率。（1）第二次才取到红球。（2）第二次取到红球。解：设表示第i次取到的是红球。i=1,2(1)P{第二次才取到红球}第39页，共48页，2023年，2月20日，星期六（2）四、全概率公式与贝叶斯公式设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件，且即则（全概率公式）（贝叶斯公式）第40页，共48页，2023年，2月20日，星期六小结：用全概率公式求解问题一般应具有三个条件。（1）问题是求一个事件（如设为A）的概率P(A)；（2）A的发生可能有“多种原因”或“多种条件”或“多种情况下发生”的诸事件记为：B1，B2，…，Bn，满足和（3）由题中条件易求出注意（4）k=1,2,….n第41页，共48页，2023年，2月20日，星期六例14某库内有同型产品1000件，其中500件是甲厂生产的300件是乙厂生产的，200件是丙厂生产的。已知甲厂产品次品