离散时间信号与系统的变换域分析

离散时间信号与系统的变换域分析演示文稿现在是1页\一共有122页\编辑于星期日1（优选）离散时间信号与系统的变换域分析现在是2页\一共有122页\编辑于星期日2二.变换域分析法1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域分析。2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。现在是3页\一共有122页\编辑于星期日3§2-1Z变换的定义及收敛域一.Z变换

拉普拉斯变换对采样信号进行拉普拉斯变换现在是4页\一共有122页\编辑于星期日4Z变换定义：序列的Z变换定义如下：*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。现在是5页\一共有122页\编辑于星期日5二.收敛域1.定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。现在是6页\一共有122页\编辑于星期日63.一些序列的收敛域(1).预备知识

阿贝尔定理:

如果级数，在收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收敛。|z+|为最大收敛半径。现在是7页\一共有122页\编辑于星期日7同样,对于级数，满足的z，

级数必绝对收敛。|z_|为最小收敛半径。现在是8页\一共有122页\编辑于星期日80n2n1n(n)...(2).有限长序列现在是9页\一共有122页\编辑于星期日9现在是10页\一共有122页\编辑于星期日10x(n)n0n1..1...(3).右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,现在是11页\一共有122页\编辑于星期日11收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为

Rx-<|z|≤∞;两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞;

Rx-为最小收敛半径。现在是12页\一共有122页\编辑于星期日12(4)因果序列它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为：现在是13页\一共有122页\编辑于星期日13(5)左边序列x(n)0nn2现在是14页\一共有122页\编辑于星期日14

第二项为有限长序列,其收敛域;

第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为;为最大收敛半径.现在是15页\一共有122页\编辑于星期日15双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。

(6)双边序列0nx现在是16页\一共有122页\编辑于星期日16第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：当Rx-<Rx+时，其收敛域为现在是17页\一共有122页\编辑于星期日17其收敛域应包括即 充满整个Z平面。[例2-1]求序列

的Z变换及收敛域。解：这相当 时的有限长序列，现在是18页\一共有122页\编辑于星期日18当 时，这是无穷递缩等比级数。[例2-2]求序列

的Z变换及收敛域。

解：现在是19页\一共有122页\编辑于星期日19*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。收敛域：现在是20页\一共有122页\编辑于星期日20[例2-3]求序列 变换及收敛域。同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。收敛域：*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。现在是21页\一共有122页\编辑于星期日21

§2-3Z反变换一.定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。现在是22页\一共有122页\编辑于星期日22z变换公式：C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c现在是23页\一共有122页\编辑于星期日231.留数法由留数定理可知： 为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点，Res[]表示极点处的留数。二.求Z反变换的方法现在是24页\一共有122页\编辑于星期日242、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：留数的求法：1、当Zr为一阶极点时的留数：现在是25页\一共有122页\编辑于星期日25[例2-4]已知解:1）当n≥-1时, 不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点 因此，求z反变换。现在是26页\一共有122页\编辑于星期日262）当n≤-2时，X(z)zn+1中的zn+1构成n+1阶极点。因此C内有极点：z=1/4(一阶),z=0为(n+1)

阶极点；而在C外仅有z=4(一阶)这个极点:现在是27页\一共有122页\编辑于星期日272.部分分式法

有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有或

的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。现在是28页\一共有122页\编辑于星期日28通常，X(z)可

表成有理分式形式：因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：

现在是29页\一共有122页\编辑于星期日29的z反变换。[例2-5]利用部分分式法，求解：分别求出各部分分式的z反变换（可查P39表2-1-1），然后相加即得X(z)的z反变换。现在是30页\一共有122页\编辑于星期日30现在是31页\一共有122页\编辑于星期日313.幂级数展开法(长除法)

因为x(n)的Z变换为Z-1

的幂级数，即

所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|>Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若收敛域|Z|<Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成

Z的正幂级数。现在是32页\一共有122页\编辑于星期日32[例2-6]试用长除法求

的z反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应左边序列(双边序列)*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。现在是33页\一共有122页\编辑于星期日33现在是34页\一共有122页\编辑于星期日34现在是35页\一共有122页\编辑于星期日35

4-Z)

4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z

2233314141444411655116...现在是36页\一共有122页\编辑于星期日36

Z-—)Z141+—Z+—Z+—Z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—Z116-1—Z116-1—Z116-1-—Z164-2—Z164-2—Z164-2-——Z1256-3——Z1256-3...现在是37页\一共有122页\编辑于星期日37现在是38页\一共有122页\编辑于星期日38 §2-4Z变换的基本性质和定理如果 则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性现在是39页\一共有122页\编辑于星期日39[例2-7]已知,求其z变换。解：现在是40页\一共有122页\编辑于星期日402.序列的移位如果 则有：[例2-8]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。现在是41页\一共有122页\编辑于星期日413.Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：现在是42页\一共有122页\编辑于星期日424.序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证明：现在是43页\一共有122页\编辑于星期日435.共轭序列如果，则证明：现在是44页\一共有122页\编辑于星期日446.翻褶序列如果，则证明：现在是45页\一共有122页\编辑于星期日457.初值定理证明：现在是46页\一共有122页\编辑于星期日468.终值定理证明：现在是47页\一共有122页\编辑于星期日47又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。现在是48页\一共有122页\编辑于星期日489.有限项累加特性证明：现在是49页\一共有122页\编辑于星期日49现在是50页\一共有122页\编辑于星期日5010.序列的卷积和(时域卷积定理)

现在是51页\一共有122页\编辑于星期日51证明：现在是52页\一共有122页\编辑于星期日52[例2-9]解：现在是53页\一共有122页\编辑于星期日5311.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）现在是54页\一共有122页\编辑于星期日54[例2-10]解：现在是55页\一共有122页\编辑于星期日55现在是56页\一共有122页\编辑于星期日56

12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）如果则有:现在是57页\一共有122页\编辑于星期日57*几点说明：现在是58页\一共有122页\编辑于星期日58§2-5Z变换与拉氏变换Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设为连续信号，为其理想抽样信号，则现在是59页\一共有122页\编辑于星期日59序列x(n)的z变换为，考虑到,显然，当时，序列x(n)的z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换现在是60页\一共有122页\编辑于星期日602.Z变换与拉氏变换的关系(S、Z平面映射关系）

S平面用直角坐标表示为：

Z平面用极坐标表示为：又由于所以有：因此， ;这就是说，Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部Ω相对应。现在是61页\一共有122页\编辑于星期日61

=0,即S平面的虚轴

r=1,即Z平面单位圆；

σ→σσ<0,即S的左半平面r<1,即Z的单位圆内；→>0,即S的右半平面r>1,即Z的单位圆外。→j→00(1).r与σ的关系现在是62页\一共有122页\编辑于星期日62Ω=0，S平面的实轴， ω=0，Z平面正实轴；

Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线，ω=Ω0T,Z:始于

原点的射线；

Ω S:宽 的水平条带，ω整个z平面.0jIm[Z]Re[Z](2).ω与Ω的关系（ω=ΩT）ω现在是63页\一共有122页\编辑于星期日633.Z变换和傅氏变换的关系连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即

我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ

的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,

这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等于理想抽样信号的傅氏变换。

现在是64页\一共有122页\编辑于星期日64以后，用数字频率ω作为Z平面的单位圆的参数，，ω表示Z平面的辐角，且现在是65页\一共有122页\编辑于星期日651.正变换:2.反变换:$2.6序列的傅立叶变换是频率ω的连续函数，且为周期函数，周期为2π。现在是66页\一共有122页\编辑于星期日66所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。现在是67页\一共有122页\编辑于星期日67序列傅立叶变换的收敛条件

1）一致收敛条件若满足绝对可和条件：

则一致收敛现在是68页\一共有122页\编辑于星期日682）均方收敛

若序列不满足绝对可和条件，而满足以下的平方可和条件：则序列绝对可和，则它一定是平方可和的；但平方可和的序列不一定绝对可和。也就是满足一致收敛就一定满足均方收敛；而满足均方收敛就不一定满足一致收敛。现在是69页\一共有122页\编辑于星期日693）有些序列不满足一致收敛也不均方收敛但是可以引入冲激函数，也可以求出它们的傅立叶变换

现在是70页\一共有122页\编辑于星期日70解：其中现在是71页\一共有122页\编辑于星期日71现在是72页\一共有122页\编辑于星期日72幅度谱相位谱

现在是73页\一共有122页\编辑于星期日73由于序列为有限长序列，所以一定是绝对可和的。因而该矩形序列的傅立叶级数是一致收敛的。现在是74页\一共有122页\编辑于星期日74例2：求因果指数序列

的傅立叶变换，讨论其收敛性解：收敛条件：，即，满足绝对可和：现在是75页\一共有122页\编辑于星期日75$2.7序列傅立叶变换的性质

1．线性现在是76页\一共有122页\编辑于星期日762．序列的移位

现在是77页\一共有122页\编辑于星期日773．频域的相移现在是78页\一共有122页\编辑于星期日784．序列的反褶若则：现在是79页\一共有122页\编辑于星期日795．序列的共轭现在是80页\一共有122页\编辑于星期日806．微分性质现在是81页\一共有122页\编辑于星期日817．时域卷积定理若：则：现在是82页\一共有122页\编辑于星期日828．序列相乘（频域卷积定理）若：则：

现在是83页\一共有122页\编辑于星期日839．序列相关若：

则：现在是84页\一共有122页\编辑于星期日8410．巴塞伐尔定理若现在是85页\一共有122页\编辑于星期日85$2.8周期序列的傅立叶变换（1）复指数序列的傅立叶变换正变换：

反变换：现在是86页\一共有122页\编辑于星期日86（2）常数序列的傅立叶变换

设，则表示为：正变换：反变换：

现在是87页\一共有122页\编辑于星期日87（3）周期为N的抽样序列串的傅立叶变换

设周期为N的抽样序列串表示为：其傅立叶变换为：现在是88页\一共有122页\编辑于星期日88利用冲激函数的性质

上式可写成：

现在是89页\一共有122页\编辑于星期日89现在是90页\一共有122页\编辑于星期日90现在是91页\一共有122页\编辑于星期日91§2.9序列傅立叶变换的一些对称性质一、共轭对称序列与共轭反对称序列1.共轭对称序列设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。设序列其中分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则再将-n代入，则根据定义，则

这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。现在是92页\一共有122页\编辑于星期日922.共轭反对称序列设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n)则称序列为共轭反对称序列。同样有：根据定义，则这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。*特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。现在是93页\一共有122页\编辑于星期日93二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和现在是94页\一共有122页\编辑于星期日94现在是95页\一共有122页\编辑于星期日95三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和其中，现在是96页\一共有122页\编辑于星期日96四、两个基本性质证明：现在是97页\一共有122页\编辑于星期日97证明：现在是98页\一共有122页\编辑于星期日98五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部证明：现在是99页\一共有122页\编辑于星期日992.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部证明：现在是100页\一共有122页\编辑于星期日100六、序列的共轭对称、共轭反对称部分与其傅氏变换的实、虚部的关系1.序列的共轭对称部分的傅氏变换等于其傅氏变换的实部：证明：现在是101页\一共有122页\编辑于星期日1012.序列的共轭反对称部分的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以j，证明：现在是102页\一共有122页\编辑于星期日102七、序列为实序列的情况现在是103页\一共有122页\编辑于星期日103现在是104页\一共有122页\编辑于星期日104现在是105页\一共有122页\编辑于星期日1058.实序列也有如下性质：现在是106页\一共有122页\编辑于星期日106线性移不变系统h(n)为单位抽样响应h(n)x(n)(n)

H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且

在单位圆 上的系统函数就是系统的频率

响应。§2-10离散系统的系统函数 及频率响应一.系统函数:现在是107页\一共有122页\编辑于星期日107 我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：∑|h(n)|<∞。 z变换H(z)的收敛域由满足∑|h(n)z-n|<∞的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有∑|h(n)|<∞，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。 因果系统的单位抽样响应为因果序列，

其收敛域为R+<|z|≤∞；而因果稳定系统的系统函数收敛域为1≤|z|≤∞，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。二.因果稳定系统现在是108页\一共有122页\编辑于星期日108三.系统函数和差分方程的关系线性移不变系统常用差分方程表示：取z变换得：对上式因式分解，令得：现在是109页\一共有122页\编辑于星期日109四.系统的频率响应的意义系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位圆上的变换称作系统频率响应。也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。对于线性移不变系统：现在是110页\一共有122页\编辑于星期日110

五.频率响应的几