2020高考物理系列模型之过程模型专题圆周运动模型3学案1718

专题08力学中圆周运动模型⑶模型界定本模型只局限于力学范围内的圆周运动，（一）讨论圆周运动中的传动及水平面内的匀速圆周运动，（二）讨论竖直平面内的圆周运动及天体的圆周运动问题.本模型不涉及电磁学范围内的圆周运动，电磁学范围内的圆周运动另有等效重力场、动态圆模型等进行专题研究模型破解3.圆周运动中的动力学问题（ii）竖直平面内的圆周运动①圆周运动中的速度/a--在向心加速度的表达式 中中,v是物体相对圆心的瞬时速度，在圆心静止时才等于物体的对地速度②变速圆周运动中的向心力在变速圆周运动中，向心力不是物体所受合外力,是物体在半径方向上的合力.③竖直平面内圆周运动的类型竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种.常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动.若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动.④变速圆周运动中的正交分解应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法.以物体所在的位置为坐标原点，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿半径（法线）方向，此方向上的合力即向心力改变物体速度的方向；另一个沿切线方向，此方向的合力改变物体速度的大小.⑤处理竖直平面内圆周运动的方法在物体从一点运动至另点的过程中速度之间的联系由能量观点（动能定理、机械能守恒定律）列方程,在物体经过圆周上某一点时速度与外力之间的联系由牛顿运动定律列方程，两类方程相结合是解决此类问题的有效方法.

⑥竖直平面内变速圆周运动的最高点与最低点例1.如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g,空气阻力不计,要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力,则例1题图A.该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于A.该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于2攵B.该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于C.盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于2mgD.盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于2mg【答案】BE解析】要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则有mg二卷二解得该盒干做匀速圆周运动的速度，二麻，该盒子做匀速圆周运动的周期为T=?=2%「选项二错误B正确;在最低点时.盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动的向心力面F-mg=鼻二解得选项CD错误一例2.一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径户叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成6角的方向以速度v0抛出，如图(b)所示。则在其轨迹最高点P处得曲率半径是下； ¥血^曳A.目 B.目口3e 3 1Ev0cos身%cosaC.2d.W2优【答案】C【解析】物体做斜抛运动，运动中只受重力作用，到达最高点时速度v沿水平方向，大小等V3mg-m—于vfosa,因轨迹上P点的曲率圆圆心在「点正下方，由牛顿第二定律 。，故有型演练,小1.如图所示，物体A放在粗糙板上随板一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，且板始终保持水平，位置i、n在同一水平高度上，则X工丁……一练1图a.物体在位置i、n时受到的弹力都大于重力b.物体在位置i、n时受到的弹力都小于重力c.物体在从位置I运动到位置n的过程中受到的摩擦力先增大后减小d.物体在从位置i运动到位置n的过程中受到的摩擦力先减小后增大【答案】BD练1普图物体在I位置都有指向圆心的向心加速度%将&正交分解,在两位置都具有竖直向下的加速度分量1故物体处于失重状态，对板的压力应小于物体的重力，A错误B正确.由于物体与木板一起运动，物体所受的摩掇力为静摩掇力.与压力大小无关.因物体在从位署I运动到位匿II的过程中二向心加速度a的水平分量先减小后增大，而物体在水平方向上只受到摩擦力的作用曲牛顿第二定律可知C错误D正确一(I)轻绳模型如图1所示,此模型包括沿圆形轨道内侧运动的小球,其共同特征是在最高点时均无支撑.a小球能通过最高点的条件如图2所示，在最高点A:?；＞0b小球能过最高点A的临界条件c小球能做完整圆周运动时在最低点B满足的条件d小球不脱离轨道在最低点B满足的条件修之用或也W序e小球沿圆周运动过程中绳中张力变化情况在最低点绳中张力最大，在最高点时绳中张力最小，此两点处绳中张力大小差值恒定，即备一西二$加里小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,绳中张力单调减小.f变速圆周上的最高点与最低点小球位于最高点处时：动能最小、势能最大、绳中张力最小，小球在此处最易脱轨，小球在此处不脱轨是保证小球做完整圆周运动的充要条件.小球位于最高点处时：动能最大、势能最小、绳中张力最大,绳在此处最易断裂.g圆周运动中的能量小球沿圆周运动过程中只受到重力与绳的拉力，运动中机械守恒.但满足能量守恒的过程不一定能够发生,需注意小球脱离轨道后做斜上抛运动,动能不能全部转化为重力势能.例3.过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径舄=？"111、"二1dm。一个质量为优=L°kg的小球(视为质点)，从轨道的左侧A点以飞=INOm”的初速度沿轨道向右运动，a、B间距4=*°m。小球与水平轨道间的动摩擦因数加二°工，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不口相互重叠。重力加速度取3=10,计算结果保留小数点后一位数字。试求(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；(2)如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距上应是多少；(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径"应满足的条件；小球最终停留点与起点工的距离。第一国忧道G―>1<—上>1<~36.0m,【答案】(l)10.0N(2)12.5m(3)当°《招工0・4小时当1.0m工舄工27.9m时36.0m,小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F,根据牛顿第二定律【解析】(1)设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为vj艮据动能定理v?F+mg=由①②得F=10.0N(2)设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意mg=由④⑤得— £)—2昨耳=g而W 也竟Z=12.5m(3)要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论:I.轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3应满足mg-5g(L]+2D-2的g%=g制vj-g他宕由⑥⑦⑧得%—0.4网II.轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3,根据动能定理-1mg-\-2L'\-2mgR3—0—-切〉;解得为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足区炉+区一氏J解得R=27.9m解得3综合hII,要使小球不脱密轨道J则第三个圆轨道的半杼须满足下面的条件0 <D,4m.Dm££K27.9m当。立儿MQ.4m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为；则-5班,=o-；刈君Zr=36.0m当1.0m石舄工27.9m时，小球最终焦停留点与起始点a的距离为『，Z?=2/—2!l—4—2£)=26,Qm例4.如图所示，质量为m的小球用细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动，已知小球运动到最高点时对绳的拉力为mg,则小球运动到最低点时对绳的拉力为（ ）（fill」斯图A.3mg B.5mgC.7mg D.9mg【答案】C那=㈱岂- F-mg=m—【解析】在最高点： ，，在最低点： 页1.1.2mgR=—黑谭—-房下；由机械能守恒定律： 2 2 ；由此可得正确选项为C.

例5.如图所示，半径r=0.5m的光滑圆轨道被竖直固定在水平地面上，圆轨道最低处有一小球（小球的半径比r小很多）。现给小球一个水平向右的初速度vo,要使小球不脱离轨道运动，v应满足 （）.Q..B.v0三2A^m/sB.v0三2A^m/sD.v0^ m/sA.vo<5m/sC.v.N^^m/s【答案】DE解析】:小球不脱离轨道有两种情况』一种情况是小球能轨道上速度腻小到零，小球在轨道上做往返运动,此种情况下要求小球上升的最高点不高于圆心，即g加4=烧卫用0%歹J可得5W/耘=飞玩班.-''打另一种情况是小球能通过圆弧的最高点这种情况要求小球在最高点的速度满足用与之制反，再结合机械能守恒有联立可解得守恒有联立可解得为之卮阳'"，答案为D。例6.如图所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5l,过E作水平线EF,在EF上钉铁钉D,若线能承受的最大拉力是9mg,现将小球拉直水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，不计线与钉子碰撞时的能量损失.求钉子位置在水平线上的取值范围.、¥后2【答案】曰IWxWl【解析】这是一个圆周运动与机械能两部分知识综合应用的典型问题.题中涉及两个临界条件：一是线承受的最大拉力不大于9mg；另一个是在圆周运动的最高点的瞬时速度必须不小于海(r是做圆周运动的半径).设在D点绳刚好承受最大拉力，设DE=x1,贝小AD=M+手悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：r1=l-AD=l—l……①当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F,此时小球的速度v,由牛顿第二定律有：TOC\o"1-5"\h\zF—mg=" ②结合FW9mg可得： W8mg ③由机械能守恒定律得：mg(2+r1)=3mv12即：V2=2g(?+r1) ④由①②③式联立解得：x1W3l ⑤随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大.转至最高点的临界速度而也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径r越大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了.设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x2,如图，例&答图贝U：AG=r=l-AG=l-mvlTOC\o"1-5"\h\z在最高点：mgW勺 ⑦由机械能守恒定律得：mg（2-r2）=3mv22 ⑧正由④⑤⑥联立得：X2三行l ⑨币2在水平线上EF上钉子的位置范围是：白IWxWal例7.一小球以初速度v°竖直上抛，它能到达的最大高度为H,下列几种情况中，哪种情况小球不可能达到高度H（忽略空气阻力）国触 图。 图曰制国触 图。 图曰制一颖图A.以初速V。沿光滑斜面向上运动（图a）B.以初速vo沿光滑的抛物线轨道从最低点向上运动（图b）H->R>—C.以初速v。沿半径为R的光滑圆轨道从最低点向上运动（图c, 2）D.以初速v。沿半径为R的光滑圆轨道从最低点向上运动（图d、R>H）【答案】CE解析】：由题意知当物体的动能全部转化为重力势能时物体上升的高度为H除了在图C外:物体的速度都可以在轨道上减小到零,即动能都可以完全转化为重力势能一在图C中;由于白A?,物体能上升到圆心上方」目又不可能沿圆周运动到最高点:故物体必在圆心上方某处脱离轨道儆斜上抛运动，到达最高点时还具有水平方向上的速度,物体的动能不能全部重力势能,则其上升的高度必小于H,答案为C.模型演练10

2.光滑的水平轨道AB与半径为R的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点，其中圆轨道在竖直平面内，B为最低点，D为最高点。一质量为m的小球以初速度V。沿AB运动，恰能通过最高点，则练工圉练工圉R越大，V。越大R越大，小球经过R越大，V。越大R越大，小球经过B点后的瞬间对轨道的压力越大m越大，V。越大m与R同时增大，初动能Ek。增大【答案】AD=Lmv；-2R【解析】从a点到d点由机械能守恒有2 2，在A及D点由牛顿第二定律有仁『咤、4喂,联立可解得二席”点% 叫二N.『射，可见ad正确BC错误.3.如图所示，质量为m的小球在竖直面内的光滑圆形轨道内侧做圆周运动，通过最高点且刚好不脱离轨道时的速度为v,则当小球通过与圆心等高的A点时，对轨道内侧的压力大小为练3练3图A.mgB.2mgC.3mgD.5mg【答案】Cv2mg=,明一【解析】：在最高点刚好不脱离轨道时 衣，在A点时所需向心力水平，则向心力刚11V? 12 1 2N;阿—mv+mgR=—烟尸式好完全由轨道的弹力来提供， ，，再由机械能守恒有2 2立可解得C项结果。4.如图所示，在同一竖直平面内有两个正对着的半圆形晃滑轨道，轨道的半径都是R。轨道端点所在的水平线相隔一定的距离X。一质量为m的小球能在其间运动而不脱离轨道，经过最低点B时的速度为产。小球在最低点B与最高点A对轨道的压力之差为△,CW>°）。不计空气阻力。则练4图A.溜、北一定时，R越大，9尸一定越大B.溜、北一定时，管越大，△尸一定越大C.活、R一定时，x越大，△尸一定越大D.逸、R一定时，越大，△尸一定越大【答案】C【解析】：在最低点,时， ,在最高点"时—唱,再由机械能守恒有1. 1 *=7一J=讶跃64二二）工冽L=mg（2R+ mv",口」解得 一一 尺）可以看出，AF与丫无关，ED错鼠结合表达式可知A错误C正确。5.质量为m的小球由长为L的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，且AB=L,E为AB的中点，过E作水平线EF,在EF上某一位置钉一小钉D,如图所示.现将小球悬线拉至水平，然后由静止释放，不计线与钉碰撞时的机械能损失.12

1"1"练5图⑴若钉子在E点位置，则小球经过B点前后瞬间，绳子拉力分别为多少？⑵若小球恰能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，求钉子D的位置离E点的距离x.币H2)6L(3)4mg币H2)6L(3)4mgT-T]]-mg=mtT=5mg【答案】(1)3mg,5mg(J【解析】:(1)mgl=之mv2T2-mg=m^ /.Tj3mgQXb球恰好能在竖直平面内做圆周运动，在最高点时有速度^此时他圆周运动的半径为门则嗯TOC\o"1-5"\h\z：mvi; ®\o"CurrentDocument"且nig=m— ②由几何关系:③由以上三式可得:-l,g ® -®(3)小球做圆周运动到达最低点时，速度设为v2则当T-mg=m「 ⑥以后小球做平抛运动过B点，在水平方向有x=v2t ⑦\o"CurrentDocument"1 11在竖直方向有：L/2-r=之gt2 ⑧ 由④⑤⑥⑦⑧式可得T=4mg5同6.质量为m的小球，用轻软绳系在边长为a的正方形截面木柱的顶角A处(木柱水平，图中斜线部分为其竖直横截面)，如图2,软绳长为4a,软绳所能承受13的最大拉力为『二?煨g,软绳开始时拉直并处于水平状态。问此时至少应以多大的初速度竖直下抛小球，才能使绳绕在木柱上且各小段均做圆周运动最后击中A点。【答案】2屈＜%＜出晒【解析】在最低点，对小球应用牛顿第二定律得:由上式可看出，R1小时，T大，绳子易断。故小球在最低点时，应取以B为圆心，即R1=3a,并保障绳子不能被拉断。设开始下抛的初速度为V。，从开始至最低点应用机械能守恒定律得:联立以上三式可得：为二阿^

mg-m若小球恰好能通过最高点，则在最高点处有： ％,由该式可见R2最大时，通过最高点所需匕越大，故应取C点为圆心，即R2=2a,才能完成圆周运动。1212—喀玲=—篦片+浦印从开始至最高点应用机械能守恒定律得：2 2联立以上各式可解得：％"2"故所求为：2质＜%＜"而7.如图所示，P点与N点等高，Q点有一光滑钉子，Q点与E点等高，O是摆的悬点，0、N、Q、M在同一竖直线上.Q为MN的中点.将质量为m的摆球拉到与竖直方向成60°的P点后无初速释放.当球摆到最低点时悬线被钉子挡住，球沿以Q为中心的圆弧继续运动，下列对小球第一次过M点后的描述和最终状态的描述中正确的是14A.在过M点后小球向左摆到N点后自由下落B.在过M点后小球将在NM之间做自由下落C.在过M点的瞬间，绳对小球的拉力为小球重力的5倍D.小球最终将绕Q点来回摆动【答案】CD【解析】：设摆线长OP为l,在P点静止释放后，由机械能守恒定律知，小球通过E点时的:Wm唯所以支二自速度为 又由于P与N等高，EN为圆周的部分轨道，任何一点都具有速度，所以选项AB错误.小球在过M点的瞬间，绳对小球的拉力与球的重力的bT-m旦=m―--合力提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得： 4又据机械能守mg-=—恒定律得： 22联立①②得：Fl5mM故选项C正确庙于小球第一次过E点后，将在EN点之间某点f极斜抛运动『在细绳绷紧的瞬间，由于冲击作用使小球的机械能损耗『下一次小球可能摆不到E点一若下一次小球仍能通过E点『将第二次做斜抛运动,直到机械能小于E=：mgb而绕Q点来回摆动，所以描述终极状态的选项D正确一8.晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞离水平距离d后落地，如题图所示，已知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为3d/4,15重力加速度为g,忽略手的运动半径和空气阻力。练9图⑴求绳断时球的速度大小练9图⑴求绳断时球的速度大小v1和球落地时球的速度大小V2（2）问绳承受的最大拉力多大？⑶改变绳长，使球重复上述运动.若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大,绳长应为多少?最大水平距离为多少？【答案】（1）历晾口 巫“工(2)3mg(3)当L=d/2时，x=3d.【解析】：（1）设绳断后球飞行的时间为t,由平抛运动规律有L=—gp竖直方向 2水平方向联立解得 ,国由机械能守恒定律有1mlmrj3一掰口，二一喀n+网区（〃一一以）⑵设绳能承受的拉力大小为T,这也是球受到绳的最大拉力。球做圆周运动的半径为R=3d/4对小球运动到最低点，由牛顿第二定律和向心力公式有T-mg=mV2/R，11联立解得T=3mg。⑶设绳长为L,绳断时球的速度大小为v3,绳承受的最大拉力不变，有T-mg=mV2/L316

解得v3=绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-L,水平位移为x,飞行时间为“根据平抛运动规律1有d-L=2gt12,x=V3t]联立解得x=4” .273当L=d/2时，x有极大值，最大水平距离为,x=3d.B.若把斜面弯成如图所示的半圆弧状，物体仍能沿'升高成hC.若把斜面从C点锯断或弯成如图所示的半圆弧状，物体都不能升高h,因为机械能不守恒D.若把斜面从C点锯断或弯成如图所示的半圆弧状,物体都不能升高h,但机械能仍守恒【答案】D【解析】在每种情况下无论物体在脱离轨道前后都只有重力做功，机械能都是守恒的.若把斜面从匚点第新，物体从C点冲出后做斜上抛运动,运动到最高点时速度不为零，故能上升的最大高度小于%若把斜通舞成图示半圆弧状，物体不能轨道上升到最高点,在圆心与最高点之间某一位置脱离轨道后也做斜上抛亘动，同理可知苴上升的最大高度也小于忆只有□正确.10.半径为R的圆桶固定在小车上，有一个光滑的小球静止在圆桶最低点，如图所示。小车以速度v向右匀速运动，当小车遇到障碍物时，突然停止运动，在这之后，关于小球在圆桶中上升的高度的判断，正确的是17A.不可能等于V2/2gB.不可能大于V2/2gC.不可能小于V2/2gD.不可能等于2R【答案】B【解析】当h^—跑当，小球上升到圆心上方某处时离开轨道做斜上抛运【解析】当h^—跑当，小球上升到圆心上方某处时离开轨道做斜上抛运，小球能上升的最大高度不大于圆心所在高度，小球速度能在轨道上减小到零，动能可全部转化为重力势能，由能量守恒知小球上升的最大高度—mv2>mgh动，到达最高点时速度不为零，即初动能不能全部转化为重力势能，2 ，有*，当，小球可在竖直平面内做完整的圆周运动，*，当，小球可在竖直平面内做完整的圆周运动，Ih-2R<—,故只有B正确.(II)轻杆模型如图3所示,此模型包括沿圆形管轨道内运动的小球、套在光滑环上的小球,其共同特征是在最高点时均有支撑.a小球能通过最高点的条件18最高点时均有支撑.