2020版高考数学（理）一轮复习通用版讲义选修第二节参数方程

第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt，))并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数.(2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt.))参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性.(2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)，点斜式))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ))(θ为参数)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ为参数)[熟记常用结论]经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数).若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝eq\f(t1＋t2,2)；(2)|PM|＝|t0|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2)))；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))中的x，y都是参数t的函数.()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数).参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量.()(3)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝1＋2sinθ))(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.()(4)已知椭圆的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝4sint))(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝eq\f(π,3)，点O为原点，则直线OM的斜率为eq\r(3).()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×二、选填题eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ))(θ为参数)的对称中心()y＝2xy＝－2x上y＝xy＝x＋1上解析：选B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝x＋1，,sinθ＝y－2.))所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上.l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝1－4t))(t为参数)与曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝m＋\r(5)sinθ))(θ为参数)相切，则实数m的值为()A.－4或6 B.－6或4C.－1或9 D.－9或1解析：选A由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝1－4t))(t为参数)，得直线l：2x＋y－1＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝m＋\r(5)sinθ))(θ为参数)，得曲线C：x2＋(y－m)2＝5，因为直线l与曲线C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即eq\f(|m－1|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，解得m＝－4或m＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中，若曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，则其普通方程为____________.解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))(0≤θ＜π)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))(t∈R)，则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为eq\f(x2,5)＋y2＝1(0≤y≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t得普通方程为y2＝eq\f(4,5)x，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5)))C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ，,y＝cos2θ＋1))(θ为参数)，则曲线C的普通方程为____________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ，,y＝cos2θ＋1))(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1).答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1)考点一参数方程与普通方程的互化[基础自学过关][题组练透]l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t为参数)，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝eq\f(|－2a|,\r(5))≤4，解得－2eq\r(5)≤a≤2eq\r(5).即实数a的取值范围为[－2eq\r(5)，2eq\r(5)].xOy中，已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－8＋t，,y＝\f(t,2)))(t为参数)，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2s2，,y＝2\r(2)s))(s为参数)，设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.解：直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2eq\r(2)s)，从而点P到直线l的距离d＝eq\f(|2s2－4\r(2)s＋8|,\r(12＋－22))＝eq\f(2s－\r(2)2＋4,\r(5))，当s＝eq\r(2)时，dmin＝eq\f(4\r(5),5).因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值eq\f(4\r(5),5).[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.(2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒]将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.考点二参数方程的应用[师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，过点(0，－eq\r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.[解](1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝eq\f(π,2)时，l与⊙O交于两点.当α≠eq\f(π,2)时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－eq\r(2).l与⊙O交于两点需满足eq\f(\r(2),\r(1＋k2))＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))或α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).综上，α的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).(2)l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－\r(2)＋tsinα))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t为参数，\f(π,4)＜α＜\f(3π,4))).设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝eq\f(tA＋tB,2)，且tA，tB满足t2－2eq\r(2)tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2eq\r(2)sinα，tP＝eq\r(2)sinα.又点P的坐标(x，y)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tPcosα，,y＝－\r(2)＋tPsinα，))所以点P的轨迹的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cos2α))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α为参数，\f(π,4)＜α＜\f(3π,4))).[解题技法]一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直线l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.解：(1)曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数).直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝eq\f(4,3).当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为eq\f(22\r(5),5).当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为eq\f(2\r(5),5).考点三参数方程与极坐标方程的综合应用[师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosα，,y＝2sinα))(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6))).(1)求曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；(2)若过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))(极坐标)且倾斜角为eq\f(π,3)的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求eq\f(|AP|,|AM|·|AN|)的值.[解](1)由题意可得曲线C的普通方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为eq\f(ρ2cos2θ,9)＋eq\f(ρ2sin2θ,4)＝1，即ρ2＝eq\f(36,4＋5sin2θ).因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))，所以ρ2＝4ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝4ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinθ－\f(1,2)cosθ))，又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝2eq\r(3)y－2x，所以曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq\f(36,4＋5sin2θ)，曲线D的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2eq\r(3)y＝0.(2)由点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(2)cos\f(π,4)＝2，,y＝2\r(2)sin\f(π,4)＝2，))所以A(2,2).因为直线l过点A(2,2)且倾斜角为eq\f(π,3)，所以直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcos\f(π,3)，,y＝2＋tsin\f(π,3)))(t为参数)，代入eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1可得，eq\f(31,4)t2＋(8＋18eq\r(3))t＋16＝0，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－eq\f(32＋72\r(3),31)，t1t2＝eq\f(64,31)，所以eq\f(|AP|,|AM|·|AN|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2))),|t1t2|)＝eq\f(4＋9\r(3),16).[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)).(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线l过点P(1,0)且与曲线C交于A，B两点，若|PA|＋|PB|＝eq\r(5)，求直线l的倾斜角α.解：(1)由ρ＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝2(cosθ＋sinθ)⇒ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)⇒x2＋y2＝2x＋2y⇒(x－1)2＋(y－1)2＝2，故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)由条件可设直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)，代入圆的方程，有t2－2tsinα－1＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝2sinα，t1t2＝－1，|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝eq\r(4sin2α＋4)＝eq\r(5)，解得sinα＝eq\f(1,2)或sinα＝－eq\f(1,2)(舍去)，故α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋tcosα，,y＝4＋tsinα))(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosθ，,y＝－1＋2sinθ))(θ为参数).(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围.解：(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率k＝eq\f(5,2).(2)由圆C的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosθ，,y＝－1＋2sinθ))(θ为参数)，得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2.由直线l的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋tcosα，,y＝4＋tsinα))(t为参数，α为倾斜角)，得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)，即kx－y＋4－3k＝0.当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即eq\f(|5－2k|,\r(k2＋1))＜2，解得k＞eq\f(21,20).即直线l的斜率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,20)，＋∞)).2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.解：(1)曲线C的直角坐标方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα；当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－eq\f(42cosα＋sinα,1＋3cos2α)，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acosθ(a＞0).(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值.解：(1)由ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)两边同乘以ρ得，曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0).由直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，消去t，得直线l的普通方程为x－y＋2＝0.(2)将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))代入y2＝2ax，得t2－2eq\r(2)at＋8a＝0，由Δ＞0得a＞4，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝2eq\r(2)a，t1t2＝8a，∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|t1－t2|2＝|t1t2|，∴(2eq\r(2)a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(2).(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解：(1)C1的普通方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(eq\r(3)cosα，sinα).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝eq\f(|\r(3)cosα＋sinα－4|,\r(2))＝eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－2)).当且仅当α＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为eq\r(2)，此时P的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosα，,y＝sinα))(α为参数).在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ.(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)若射线l：y＝kx(x≥0)分别交C1，C2于A，B两点(A，B异于原点)，当k∈(1，eq\r(3)]时，求|OA|·|OB|的取值范围.解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosα，,y＝sinα，))可得(x－1)2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，即C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.方程ρcos2θ＝sinθ可化为ρ2cos2θ＝ρsinθ(*)，将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入(*)式，可得x2＝y，所以C2的直角坐标方程为x2＝y.(2)因为A，B异于原点，所以联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＋y2＝1，,y＝kx，))可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k2＋1)，\f(2k,k2＋1)))；联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y＝x2，))可得B(k，k2).故|OA|·|OB|＝eq\r(1＋k2)·eq\f(2,k2＋1)·eq\r(1＋k2)·|k|＝2|k|.又k∈(1，eq\r(3)]，所以|OA|·|OB|∈(2,2eq\r(3)].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(3,5)t，,y＝－2＋\f(4,5)t))(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝tanθ.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，－\f(π,4)))，求eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)的值.解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t可得，曲线C1的普通方程为4x＋3y－2＝0.由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，曲线C2的直角坐标方程为y＝x2.(2)由点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，－\f(π,4)))，可得点P的直角坐标为(2，－2)，∴点P在曲线C1上.将曲线C1的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(3,5)t，,y＝－2＋\f(4,5)t))(t为参数)代入y＝x2，得9t2－80t＋150＝0，设t1，t2是点A，B对应的参数，则t1＋t2＝eq\f(80,9)，t1t2＝eq\f(50,3)＞0.∴eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)＝eq\f(|PA|＋|PB|,|PA|·|PB|)＝eq\f(|t1＋t2|,|t1t2|)＝eq\f(8,15).xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，直线l的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝a，且l过点A，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝\r(3)sinα))(α为参数).(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；(2)过点B(－1,1)且与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M，N两点，求|BM|·|BN|的值.解：(1)由直线l过点A，得eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,4)))＝a，故a＝eq\r(2)，则易得直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.由点到直线的距离公式，得曲线C1上的点到直线l的距离d＝eq\f(|2cosα＋\r(3)sinα－2|,\r(2))＝eq\f(|\r(7)sinα＋φ－2|,\r