2018年秋新课堂高中数学人教B版必修四学案第2章21213向量的减法

向量的减法学习目标：1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义．(重点)2.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义．(难点)3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)[自主预习·探新知]1．向量的减法(1)向量减法的定义：已知向量a，b(如图2­1­27)，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，作eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，则b＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝a，向量eq\o(BA,\s\up8(→))叫做向量a与b的差，并记作a－b，即eq\o(BA,\s\up8(→))＝a－b＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)).图2­1­27(2)向量减法的两个重要结论：①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．②一个向量eq\o(BA,\s\up8(→))等于它的终点相对于点O的位置向量eq\o(OA,\s\up8(→))减去它的始点相对于点O的位置向量eq\o(OB,\s\up8(→))，或简记“终点向量减始点向量”．2．相反向量(1)相反向量的定义：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a.(2)相反向量的性质：①a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；②－(－a)＝a；③零向量的相反向量仍是0，即0＝－0.(3)向量减法的理解：在向量减法的定义式b＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝a的两边同时加(－b)，由b＋(－b)＝0得eq\o(BA,\s\up8(→))＝a＋(－b)，这就是说，从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．思考：“向量的减法实质是向量加法的逆运算”，这种说法对吗？[提示]对．利用相反向量的定义，就可以把向量减法化为向量加法．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)设b是a的相反向量，判断下列说法的正误．(1)a与b的长度必相等．()(2)a∥b.()(3)a与b一定不相等．()(4)a是b的相反向量．()[解析]由相反向量的定义可知|a|＝|b|，a∥b，a也是b的相反向量，故(1)(2)(4)正确．当a＝0时，0＝－0，此时b＝0，所以可以有a＝b＝0.故(3)错误．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，则eq\o(BD,\s\up8(→))的相反向量是()【导学号：79402054】A．a－b B．b－aC．a＋b D．－a－bA[eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝b－a，所以eq\o(BD,\s\up8(→))的相反向量为a－b.]3．下列等式中，正确的个数为()①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.A．3 B．4C．5 D．6C[只有⑥不正确，故选C.]4．在△ABC中，D为BC的中点，设eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(BD,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝d，则d－a＝________.[解析]d－a＝d＋(－a)＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＝c.[答案]c[合作探究·攻重难]向量减法及其几何意义(1)eq\o(AC,\s\up8(→))可以写成：①eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))；②eq\o(AO,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))；③eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))；④eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)).其中正确的是()A．①② B．②③C．③④ D．①④(2)化简：①eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝________；②eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(CO,\s\up8(→))＝________.(3)已知菱形ABCD的边长为2，则向量eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))的模为________，|eq\o(AC,\s\up8(→))|的范围是________．[思路探究]运用向量减法的三角形法则及相反向量求解．[解析](1)因为eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))，所以选D.(2)①eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝0；②eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(CO,\s\up8(→))＝(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))－(eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(CO,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→)).(3)因为eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，又|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝2，所以|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝2.又因为eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，且在菱形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝2，所以||eq\o(AB,\s\up8(→))|－|eq\o(AD,\s\up8(→))||<|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))|<|eq\o(AB,\s\up8(→))|＋|eq\o(AD,\s\up8(→))|，即0<|eq\o(AC,\s\up8(→))|<4.[答案](1)D(2)①0②eq\o(AB,\s\up8(→))(3)2(0,4)[规律方法]1．向量加法与减法的几何意义的联系：(1)如图所示，平行四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，则eq\o(AC,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up8(→))＝a－b.(2)类比||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可知||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．3．向量加减法化简的两种形式：(1)首尾相连且为和．(2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．[跟踪训练]1．下列各式中不能化简为eq\o(AD,\s\up8(→))的是()【导学号：79402055】A．(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→)))－eq\o(CB,\s\up8(→))B．eq\o(AD,\s\up8(→))－(eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))C．－(eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→)))－(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→)))D．－eq\o(BM,\s\up8(→))－eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(MB,\s\up8(→))D[选项A中(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→)))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))；选项B中eq\o(AD,\s\up8(→))－(eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－0＝eq\o(AD,\s\up8(→))；选项C中－(eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→)))－(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→)))＝－eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(MC,\s\up8(→))－eq\o(DA,\s\up8(→))－eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(MB,\s\up8(→))＝(eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→)))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→)).]利用已知向量表示其他向量如图2­1­28所示，已知eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，eq\o(OD,\s\up8(→))＝d，eq\o(OE,\s\up8(→))＝e，eq\o(OF,\s\up8(→))＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：图2­1­28(1)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))；(2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))；(3)eq\o(BF,\s\up8(→))－eq\o(BD,\s\up8(→)).[思路探究]运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向量a，b，c，d，e，f的和与差来表示．[解](1)∵eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OD,\s\up8(→))＝d，∴eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(OD,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝d－b.(2)∵eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，eq\o(OF,\s\up8(→))＝f，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))＝(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋(eq\o(OF,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))＝b＋f－a－c.(3)∵eq\o(OD,\s\up8(→))＝d，eq\o(OF,\s\up8(→))＝f，∴eq\o(BF,\s\up8(→))－eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(OF,\s\up8(→))－eq\o(OD,\s\up8(→))＝f－d.[规律方法]1．解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．2．通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“－”改为“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－eq\o(AB,\s\up8(→))”改为“eq\o(BA,\s\up8(→))”．[跟踪训练]2.如图2­1­29，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AE,\s\up8(→))＝c，试用a，b，c表示向量eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))及eq\o(CE,\s\up8(→)).图2­1­29[解]∵四边形ACDE为平行四边形，∴eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))＝c，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝b－a，eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝c－a，eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＝c－b，∴eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝b－a＋c.向量减法的三角不等式及其取等条件[探究问题]1．若|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝5，则|eq\o(BC,\s\up8(→))|的取值范围是什么？[提示]由eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))及三角不等式，得|eq\o(BA,\s\up8(→))|－|eq\o(AC,\s\up8(→))|≤|eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|≤|eq\o(BA,\s\up8(→))|＋|eq\o(AC,\s\up8(→))|，又因为|eq\o(BA,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝8，所以3≤|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝|eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|≤13，即|eq\o(BC,\s\up8(→))|∈[3,13]．2．已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？[提示]它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．(2)当a，b不共线时，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，则a＋b＝eq\o(OB,\s\up8(→))，如图(1)所示，根据三角形的性质，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图(2)所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.设a和b的长度均为6，夹角为eq\f(2π,3)，则|a－b|等于________．[思路探究]画出平行四边形数形结合求解．[解析]如图，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，则|a－b|＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|，在Rt△BCO中，∠BOC＝eq\f(π,3)，|eq\o(BO,\s\up8(→))|＝6，∴|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝3eq\r(3)，∴|a－b|＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝6eq\r(3).[答案]6eq\r(3)[规律方法]利用“三角形法则、平行四边形法则”把向量问题转化为平面几何的问题，然后利用平面几何中的方法进行数量的计算或位置关系的判断也是本节的一个解题技巧，采用数形结合的方法常可以简化运算，达到巧解的目的.[跟踪训练]3．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.【导学号：79402056】[解]如图，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，再以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则有eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up8(→))＝a－b，即|a＋b|与|a－b|是平行四边形的两条对角线的长度，又因为|a＋b|＝|a－b|，所以该四边形为矩形，从而|a－b|＝eq\r(62＋82)＝10.[当堂达标·固双基]1．化简eq\o(PM,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))所得结果是()A．eq\o(MP,\s\up8(→)) B.eq\o(NP,\s\up8(→))C．0 D.eq\o(MN,\s\up8(→))C[本题考查向量的加法与减法．法一利用减法做，要注意①共始点，②方向指向被减向量．Peq\o(M,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(NM,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝0；法二把减法转化为加法：eq\o(PM,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(PM,\s\up8(→))＋eq\o(NP,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(NP,\s\up8(→))＋eq\o(PM,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(NM,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝0；法三利用结合律先计算加法：eq\o(PM,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→))＝(eq\o(PM,\s\up8(→))＋eq\o(MN,\s\up8(→)))－eq\o(PN,\s\up8(→))＝eq\o(PN,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＝0.]2．如图2­1­30所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()【导学号：79402057】图2­1­30A.eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→)) B.eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))C.eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→)) D.eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＝0C[A项显然正确，由平行四边形法则知B项正确.eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(DB,\s\up8(→))，故C项错误．D项中eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))＝0.]3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(OF,\s\up8(→))＋eq\o(OE,\s\up8(→)) B.eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(OF,\s\up8(→))－eq\o(OE,\s\up8(→))C.eq\o(EF,\s\up8(→))＝－eq\o(OF,\s\up8(→))＋eq\o(OE,\s\up8(→)) D.eq\o(EF,\s\up8(→))＝－eq\o(OF,\s\up8(→))－eq\o(OE,\s\up8(→))B[因为O，E，F三点不共线，所以在△OEF中，由向量减法的几何意义，得eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(OF,\s\up8(→))－eq