用直线的倾斜角与斜率

用直线的倾斜角与斜率2023/4/231第1页，共27页，2023年，2月20日，星期六在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？问题引入xyOlP（x，y）为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来．问题2023/4/232第2页，共27页，2023年，2月20日，星期六对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定？问题引入问题xyOl2023/4/233第3页，共27页，2023年，2月20日，星期六

我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一条直线的位置吗？已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？问题引入问题xyOll’l’’P答：不能2023/4/234第4页，共27页，2023年，2月20日，星期六

过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？问题引入问题xyOll’l’’P2023/4/235第5页，共27页，2023年，2月20日，星期六

容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述直线的倾斜程度呢？问题引入问题xyOll’l’’P2023/4/236第6页，共27页，2023年，2月20日，星期六当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angleofinclination）．xyOl直线的倾斜角2023/4/237第7页，共27页，2023年，2月20日，星期六零度角锐角

直角

钝角

当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。)180,0[ooÎa2023/4/238第8页，共27页，2023年，2月20日，星期六直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程度相同的直线其倾斜角相同．xyOl

已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角α．也不能确定一条直线的位置．但是，直线上的一个点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线．直线的倾斜角2023/4/239第9页，共27页，2023年，2月20日，星期六

确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：

直线上的一个定点以及它的倾斜角，

二者缺一不可．确定直线的要素xyOlP2023/4/2310第10页，共27页，2023年，2月20日，星期六坡高坡底坡度

设想:是否可以用直线倾斜角的正切来描述直线的倾斜程度呢?直线的斜率2023/4/2311第11页，共27页，2023年，2月20日，星期六定义:我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示,即1.可以用倾斜角的正切来刻画直线的倾斜程度.倾斜角是直角的直线没有斜率.结论:2.如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．2023/4/2312第12页，共27页，2023年，2月20日，星期六注意：1、斜率可看成关于倾斜角的函数k=tanα2、直线的斜率可取一切实数3、任何直线都有倾斜角,但是不一定有斜率!所以要注意垂直于x轴和不垂直于x轴两种情况讨论.4、倾斜角侧重于几何直观来刻画直线的方向;而斜率侧重于代数表示来刻画直线的方向.2023/4/2313第13页，共27页，2023年，2月20日，星期六如：倾斜角时，直线的斜率如：倾斜角为时，由即这条直线的斜率为倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度．2023/4/2314第14页，共27页，2023年，2月20日，星期六Oxy例2、如图，直线的倾斜角=300，直线l2⊥l1，求l1，l2的斜率。2023/4/2315第15页，共27页，2023年，2月20日，星期六4.

判断正误：

③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有斜率.（）

①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为（）

④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大()

⑤两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等()

⑥平行于x轴的直线的倾斜角是()

②直线的斜率的范围是（）

√

2023/4/2316第16页，共27页，2023年，2月20日，星期六已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？两点的斜率公式问题给定两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），并且x1≠x2，如何计算直线P1P2的斜率k．2023/4/2317第17页，共27页，2023年，2月20日，星期六yxO2023/4/2318第18页，共27页，2023年，2月20日，星期六斜率公式公式的特点:(1)与两点的顺序无关;(2)公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角;(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂直,α=9002023/4/2319第19页，共27页，2023年，2月20日，星期六已知点，判断直线的倾斜角是例1的斜率

∵∴直线的倾斜角是钝角.解：直线锐角还是钝角.yxO(3,-3)(5,-4)53-3-42023/4/2320第20页，共27页，2023年，2月20日，星期六1．已知直线上两点，运用上述公式计算直线斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？无关两点的斜率公式思考2．当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？不适用2023/4/2321第21页，共27页，2023年，2月20日，星期六当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？经过两点的直线的斜率公式为：两点的斜率公式思考成立2023/4/2322第22页，共27页，2023年，2月20日，星期六例2在平面直角坐标系中画出过（3，2）且斜率为-3的直线.解：设是直线上一点，根据公式有可取作过(3,2)(2,5)的直线即可.xyO(3,2)(2,5)32252023/4/2323第23页，共27页，2023年，2月20日，星期六例3的直线斜率是12？2023/4/2324第24页，共27页，2023年，2月20日，星期六反思提高2.由平面上一点和这条直线的倾斜角(或这条直线的斜率)可以唯一确定这条直线且这两个条件缺一不可;1.直线倾斜角和斜率的概念2