数学竞赛中的不等式研究

数学竞赛中的不等式研究不等式是数学分析中重要的一个领域。不等式的研究内容涵盖了数学竞赛中的不等式，以及更广泛的实数、矩阵和向量不等式等。在数学竞赛中，不等式是考生面临的必考题型之一。熟练掌握不等式的性质和解题方法，是竞赛中得分的重要因素。在本文中，我们将讨论一些不同类型的不等式，并介绍一些解题技巧。一、基础不等式1、均值不等式均值不等式是指对于任意非负实数$a_1,a_2,\\cdots,a_n$，有下列的不等式成立$$\\dfrac{a_1+a_2+\\cdots+a_n}{n}\\geq\\sqrt[n]{a_1a_2\\cdotsa_n}$$当取等条件为$a_1=a_2=\\cdots=a_n$时。如果取等条件不成立，根据不等关系可知有“$>$”。均值不等式是不等式题目中最常用的不等式之一。经常被用于证明或者构造出其他不等式。2、柯西不等式柯西不等式是指对于实数$a_1,a_2,\\cdots,a_n$和实数$b_1,b_2,\\cdots,b_n$，有下列的不等式成立$$(a_1^2+a_2^2+\\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\\cdots+b_n^2)\\geq(a_1b_1+a_2b_2+\\cdots+a_nb_n)^2$$当取等条件为$a_1:b_1=a_2:b_2=\\cdots=a_n:b_n$时。柯西不等式表示了两个向量点积的上界。由于其与向量的内积的密切相关，因此常常被用于不等式证明。二、具体问题1.证明不等式对于$x,y,z>0$，证明不等式$$\\dfrac{x}{y}+\\dfrac{y}{z}+\\dfrac{z}{x}\\geq3$$解法：将要证明的不等式中的变量$x,y,z$分别平方相加，得$$\\dfrac{x^2}{y^2}+\\dfrac{y^2}{z^2}+\\dfrac{z^2}{x^2}+2\\left(\\dfrac{x}{y}\\dfrac{y}{z}+\\dfrac{y}{z}\\dfrac{z}{x}+\\dfrac{z}{x}\\dfrac{x}{y}\\right)\\geq9$$即$$\\dfrac{x^2}{y^2}+\\dfrac{y^2}{z^2}+\\dfrac{z^2}{x^2}+2\\left(\\dfrac{x}{z}+\\dfrac{y}{x}+\\dfrac{z}{y}\\right)\\geq9$$我们可以再次尝试将所有的变量用$x+y+z$表示出来，即$$\\dfrac{x^2}{y^2}+\\dfrac{y^2}{z^2}+\\dfrac{z^2}{x^2}+2\\left(\\dfrac{x}{z}+\\dfrac{y}{x}+\\dfrac{z}{y}\\right)=\\dfrac{x^2}{y^2}+\\dfrac{y^2}{z^2}+\\dfrac{z^2}{x^2}+2\\left(\\dfrac{x}{z}+\\dfrac{y}{x}+\\dfrac{z}{y}\\right)\\dfrac{y^2}{y^2}.$$然后使用均值不等式$$\\dfrac{x}{y}+\\dfrac{y}{z}+\\dfrac{z}{x}\\geq3\\sqrt[3]{\\dfrac{xyz}{xyz}}=3$$证毕。2.解出不等式对于$x,y>0$，求$x+y$的最小值，其中$$\\dfrac{x^2+1}{x}+\\dfrac{y^2+4}{y}=5$$解法：观察到等式两边同时有一个$5$的约束，为了方便，我们将$x+y$作为等式的另一个变量。根据均值不等式，有$$\\dfrac{x^2}{x}+1+\\dfrac{y^2}{y}+4\\geq\\dfrac{(x+y)^2}{x+y}\\Rightarrowx+y\\geq5.$$然后我们来证明一个看似简单的引理：若$x,y>0$且$\\dfrac{x^2+1}{x}+\\dfrac{y^2+4}{y}=5$，则$x,y\\in(0,1]$。证明如下：$$\\dfrac{x^2+1}{x}+\\dfrac{y^2+4}{y}=5\\Rightarrowx^2+1+\\dfrac{4x}{y}+y^2\\geq5x\\Rightarrowy^2+1+x(x-\\dfrac{4}{y})\\geq5x$$将$y>1$的情况考虑出来，$x-\\dfrac{4}{y}<x-4<0$，因此$x(x-\\dfrac{4}{y})<0$，故$$y^2+1+x(x-\\dfrac{4}{y})\\leqy^2+1<5x$$这样就与刚才的不等式矛盾了。因此$y\\in(0,1]$。类似地，可以得出$x\\in(0,1]$。接下来，我们考虑关于$x$的一元二次方程$$x^2-(5-\\dfrac{4}{y})x+1=0$$计算其判别式$\\Delta=(5-\\dfrac{4}{y})^2-4\\geq0$，可以得到$$y\\geq\\dfrac{4}{5+\\sqrt{5}}$$我们同时也可以得到$x$的取值范围$$x\\in(5-\\dfrac{4}{y}-\\sqrt{(5-\\dfrac{4}{y})^2-4},5-\\dfrac{4}{y}+\\sqrt{(5-\\dfrac{4}{y})^2-4})$$通过计算可以得到，当$y=\\dfrac{4}{5+\\sqrt{5}}$时，取到最小值，此时$x=\\dfrac{5-\\sqrt{5}}{2}$，$x+y=\\dfrac{5}{2}$。三、高阶不等式1、斯特林不等式设$n>1$，则有$$\\sqrt{2\\pin}\\left(\\dfrac{n}{e}\\right)^n<n!<e\\sqrt{n}\\left(\\dfrac{n}{e}\\right)^n$$解法：不等式的函数极值不清楚，需要借助数学思想进行变换。定义函数$$f(x)=x\\ln(x)-x+\\ln(\\sqrt{2\\pix})$$计算得其导数$$f'(x)=\\ln(x)-1+\\dfrac{1}{2x}.$$那么$f(x)$的极值点为$x=1$或$x=\\dfrac{1}{2}$。计算进而得到$f(1)=-\\dfrac{1}{2}\\ln(2\\pi)$，$f(\\dfrac{1}{2})=\\dfrac{1}{2}\\ln(4\\pi)-\\dfrac{1}{2}-2\\ln(2)$，因此原式显然成立。2、插值法插值法是指通过使用已知的一些不等式，来构造出一个新的不等式。一个常用的插值方法是Holder不等式。设实数$a_1,a_2,\\cdots,a_n$和实数$b_1,b_2,\\cdots,b_n$，则有以下Holder不等式：$$\\left(\\sum_{i=1}^{n}a_i^p\\right)^q\\le\\left(\\sum_{i=1}^{n}b_i^p\\right)^{\\frac{q}{p}}\\cdot\\left(\\sum_{i=1}^{n}a_i^q\\right)^{\\frac{1}{p}}$$其中$\\frac{1}{p}+\\frac{1}{q}=1$，为Ho