第10章投资组合理论已完成

第四篇投资组合理论

第10章投资组合理论

【考试要求】10.1风险与风险厌恶

标准差、方差与风险效用函数风险厌恶的度量

10.2最优资产组合

资产组合风险的计算SMarkowitz边界与有效资产组合资本市场线最优资产组合的求解

精算师考试网官方总站：圣才学习网

【要点详解】

§10.1风险与风险厌恶

1．标准差、方差与风险

统计学中，方差和标准差是度量随机事件各种可能结果与期望结果偏离幅度的参数。在资产组合理论中，方差和标准差被用来衡量投资风险的大小。方差或标准差越大，资产未来的不确定性越大，因而风险就越大。

（1）收益率定义为：其中W0、W1为期初和期末的资产价格；D为期末的红利（对债券而言D为利息；对股票而言D为红利）；R为投资期的收益率。（2）投资者年末盈余的方差和标准差：当有2种投资选择时，设以p的概率选择第一种，期末资产为W1，以1-p的概率选择第二种，期末资产为W2，则投资者年末盈余的方差和标准差为

（3）变异系数：

精算师考试网官方总站：圣才学习网

2．效用函数

普通投资者对于风险和收益的态度的两个基本假设：

☞投资者是永不满足的，即投资者对风险相同的两个风险资产选择时，总会选择预期收益高的资产。

☞投资者是风险厌恶的，即两个期望收益率相同的风险资产，投资者偏好风险小的资产。如果没有风险溢价作为补偿，投资者不愿冒险。

（1）财富效用函数①定义：财富效用函数描述了投资者的效用与财富之间的关系。设效用函数为U（ω），其中ω为投资者的财富。基于上面两条假设，可以得出U（ω）是一个严格单增的凹函数，即

②常见的效用函数

☞线性效应函数：U（ω）=ω

☞二次效用函数：

☞指数效用函数：

☞对数效用函数：

☞幂效用函数：

精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题10.1】一个保守的决策者具有财富10万元，他的效用函数u（x）=x－0.02x2，0≤x≤25，这个决策者有机会用5万元进行投资，投资收益可以以0.5的概率获得20万元，或者一无所获。下列说法中正确的是（）。（1）决策者不会进行投资；（2）如果决策者有6万元的财富，他将进行投资；（3）如果决策者投资6万元，他将有正的收益。A．（1）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（2）（3）E．（1）（2）（3）

【答案】D

【解析】（1）决策者不进行投资时的效用价值为：u（10）=x－0.02x2｜x＝10=8决策者的财富在投资后的效用价值为：

E[u（10－5+X）]=E[u（5+X）]

=0.5×（5+x－0.02（5+x）2）｜x=20+0.5×（5+x－0.02（5+x）2）｜x=0

=0.5×（25－0.02×252）+0.5×（5－0.02×52）=8.5，即E（u（10－5+X））＞u（10），决策者将会选择投资；（2）如果决策者有6万元的财富，则决策者不进行投资时的效用价值为：

u（6）=x－0.02x2｜x＝6=5.28投资后决策者的效用价值为：

E[u（6－5+X）]=E[u（1+X）]=0.5×（1－0.02）+0.5×（21－0.02×212）=6.58，即E[u（6－5+X）]＞u（6），决策者将会选择投资；（3）在决策者投资6万元的情况下，则：

E[u（10－6+X）]=E[u（4+X）]=0.5×（4－0.02×42）+0.5×（24－0.02×242）=8.08＞u即投资6万元有正的收益。精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题10.2】某人拥有初始财富为5，财富效用函数为U（X）=kln（x），x>1，k为一常数，面临的损失服从[0，1]均匀分布，如果他从保险公司购买该风险金额保险，那么他愿付出的最高保费为（）。[2011年春季真题]

A．0.49B．0.50C．0.51D．0.52E．0.53

【答案】C

【解析】设损失额，不买保险时，其财富为，效用为，则期望效用为设保费为P，购买保险后，其财富为x=5−P，效用为，由于

可得P=0.51。

精算师考试网官方总站：圣才学习网③Jensen不等式如果U（ω）是一个凹函数，ξ是一个具有有限均值的随机变量，则下式成立：

E[U（ω+ξ）]≤[U（ω）+E（ξ）]由Jensen不等式知，如果E（ξ）=0，则

E[U（ω+ξ）]≤U（ω）

精算师考试网官方总站：圣才学习网（2）投资效用函数

①定义：假定投资者的效用仅与期望收益率和风险有关，则效用函数为期望收益率和风险的函数。投资者的效用函数是期望收益率的增函数，是标准差的减函数。最常用的效用函数为：其中μR、σR分别为期望收益率和收益率的标准差，A>0为投资者的风险厌恶系数。②无差异曲线：根据效用函数（10.2）画出无差异曲线，如图10-1

图10-1风险厌恶者的无差异曲线

风险厌恶性：无差异曲线的斜率越大，表明投资者对多冒等量的风险，期望有更高的预期收益率作为补偿，因而投资者的厌恶程度就越高；风险中性型：无差异曲线是水平的，即风险中性投资者的效用只受期望收益率的影响，与风险无关；风险偏好型：效用函数是向右下方倾斜的，即投资者愿意为收益率承担更高的风险。精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题10.3】一个投资组合的预期收益率是14％，标准差是25％，无风险利率是4％。一个投资者的效用函数是：。若投资者对风险投资组合和无风险资产感到无差异，则A=（）。A．3.1B．3.2C．3.5D．3.8E．3.9

【答案】B

【解析】如果无差异，则两种投资的效用就应该一样。对于无风险资产，标准差是零，资产的效用就是预期收益，即U=0.04。因此有风险的投资效用也是0.04。通过效用函数0.04=0.14-0.5A×0.252，解得A=3.2。精算师考试网官方总站：圣才学习网

3．风险厌恶的度量

（1）投资者风险态度假定一个投资者拥有的财富为W，随机变量ξ的期望值为0。对于任取的W:①风险厌恶：E[U（W+ξ）]<U（W）②风险中性：E[U（W+ξ）]=U（W）③风险偏好：E[U（W+ξ）]>U（W）由分析得，如果投资者的效用函数是严格凹函数，即则该投资者是风险厌恶的。精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题10.4】对于效用函数u（x）＝x－0.02x2，0≤x≤1。下列说法正确的是（）。（1）u（x）＝x－0.02x2是风险喜好型效用函数；（2）对任意a＞0和常数b，v（x）＝au（x）+b是风险厌恶型效用函数；（3）u（x）满足下列不等式a－b－0.02（a2－b2）＜（1－0.02a）（a－b）（0＜a＜b）。A．（1）B．（2）C．（3）D．（1）（2）E．（2）（3）

【答案】B

【解析】（1）由于u′（x）=（x－0.02x2）′=1—0.04x，u″（x）＝（1—0.04x）＝－0.04＜0，因此u（x）＝x－0.02x2是风险厌恶型效用函数；（2），当a＞0时，，因此v（x）也是风险厌恶型效用函数；（3）由于此效用函数是风险厌恶型的，所以在此效用曲线上取任意两点（a，u（a）），（b，u（b）），应该满足：当0＜a＜b，即即

精算师考试网官方总站：圣才学习网（2）风险厌恶的度量方法

☞当量（CEW）：对风险厌恶的投资者而言，存在使得

☞Markowitz风险溢价：

①Arrow—Pratt绝对风险厌恶系数：

②Arrow—Pratt相对风险厌恶系数：

精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题10.5】假设某投保人的效用函数为u（w）=klnw，则Arrow-Pratt相对风险系数与绝对风险系数之比为（）。A．1B．1/wC．wD．k/wE．k/w2

【答案】C

【解析】由已知得所以相对风险指数为：绝对风险指数为：故精算师考试网官方总站：圣才学习网§10.2最优资产组合

1．资产组合风险的计算

（1）由两个风险资产A和B构成的组合的情形用RA和RB分别表示风险资产A和B的收益率。假设投资者投资额为一单位货币，在两个资产中所占的比重分别为ωA和ωB，满足ωA+ωB=1。①资产组合收益率为Rp

RP=ωARA+ωBRB

②投资组合的期望收益率μP

μP=ωAμA+ωBμB

其中μP，μA，μB分别为资产组合、风险资产A和风险资产B的期望收益率。③资产组合的方差σP2④资产组合的标准差σP

其中，σA，σB分别为风险资产A和B的标准差，

为RA和RB的相关系数。精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题10.6】某投资组合包括两只股票，已知：a．股票A的期望收益率为10%，年收益率的标准差为Z；b．股票B的期望收益率为20%，年收益率的标准差为1.5Z；c．投资组合的年收益率为12%，年收益率的标准差为Z；则股票A和股票B的收益相关系数为（）。[2011年春季真题]A．0.50B．0.53C．0.56D．0.60E．0.63

【答案】C

【解析】由得：则

精算师考试网官方总站：圣才学习网（2）资产组合中包含多于两个风险资产的情形假设市场中共有N个风险资产，风险资产i的收益率记为Ri，方差为。第i个风险资产与第j个风险资产各自收益率的斜方差和相关系数记为，有投资者投资于i资产的比例为ωi，则如果市场不允许卖空，则所有的ωi都是非负的（ωi=0意味着投资者没有投资i资产）；如果市场允许无限制卖空，则ωi可以取负值，这表明卖空了i资产。称列向量为该投资组合的策略。精算师考试网官方总站：圣才学习网①该资产组合的收益率为：②该资产组合的期望收益率：③收益率的方差：当i=j时，i,j=1。因此资产组合收益率的方差还可表示为：（10.3）的另一种常用的表示方法为：，其中矩阵V为所有资产收益率的协方差矩阵，即如果资产组合中各个风险资产相互独立，我们有因此，资产组合收益率的方差为各个风险资产收益率方差的和，即

精算师考试网官方总站：圣才学习网（3）系统性风险和非系统性风险

由表明，Rp的方差由资产组合中单个风险资产的方差和风险资产收益率之间的斜方差两部分构成。第一部分为，Rp的非系统性风险，它仅与组合中的各单一资产有关；第二部分为Rp的系统性风险，它来自市场证券间的相关性。精算师考试网官方总站：圣才学习网为了分析系统性风险和非系统性风险，我们考虑如下简单的情况：投资者等比例投资于N个风险资产；且每个风险资产具有相同的方差；任何两个风险资产具有相同的相关性，即

ωi=1／N，。则该资产组合的方差可以表示为：随着风险资产数量N的增大，资产组合的方差中单个资产的方差造成的影响逐渐消失，资产组合的方差趋近于资产间的协方差；换句话说，当N→∞时，资产组合的非系统性风险趋于0，系统性风险趋于cov。图10-2说明了随着N的增大，组合的总风险σp的变化。

图10-2

精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题10.7】若风险用方差度量，则下列关于投资组合的风险陈述正确的是（）。

a．等比例投资于两只股票的组合风险比这两只股票的平均风险小

b．一个完全分散化的投资组合可以消除系统风险c．相互独立的单个股票的风险决定了该股票在一个完全分散化的投资组合中的风险贡献程度[2011年春季真题]A．只有a正确B．只有b正确C．只有c正确D．a，c正确E．a，b，c都不正确

【答案】A

【解析】a．设两只股票的收益率为ra和rb，对应的方差为，相关系数为，则等比例投资于两只股票的组合风险为：b．一个完全分散化的投资组合只能消除非系统风险，不能消除系统风险。c．在一个完全分散化的投资组合中，只有来自股票间相关性的系统风险，由于股票之间相互独立，故该组合不存在风险。精算师考试网官方总站：圣才学习网

2．Markowitz边界与有效资产组合

一致性预期假定：假定所有投资者对每个风险资产i的收益率都有一致的看法，即（E（Ri）,σi）对所有的投资者都相同。（1）两个资产的投资组合假设两个风险资产的期望收益率与标准差分别为（E（RA），σA）和，满足的相关系数为。如果投资于两个资产的投资比例分别为ω和l-ω。则该资产组合的期望收益率和标准差为：将上面两式化简，消去中间变量ω，整理就可得资产组合预期收益率与其标准差之间的关系。精算师考试网官方总站：圣才学习网

☞当

=1时，有：这说明如果两个风险资产完全正相关时，资产组合的期望收益和标准差会落在连接两个资产的连线上，如图10-3中的直线ABC。

图10-3两个风险资产组成的资产组合

精算师考试网官方总站：圣才学习网

☞当=-1时，有：

如果投资者在股票A和B的投资比例分配为：则资产组合的投资收益为：而此时资产组合的方差σp=0，资产组合为图l0-3的D点。容易得出DB的方程为：由于组合D是风险资产A和B的组合，而DB上所有点代表的资产组合均为D与B的组合，因此DB上的点代表的组合也是A与B的组合。因此图10-3中的折线ADB为时风险资产A与B的所有资产组合构成。如果相关系数介于-1和1之间时，资产组合的预期收益率和标准差构成连接两个资产的一条曲线，如图10-3中间的曲线所示。并且相关系数越大，该曲线越靠近直线ACB。相关系数越小，该曲线越靠近折线ADB。

☞可行集：给定了资产间的相关系数，由两个风险资产构成的资产组合的各种期望收益率和标准差的集合形成一条图10-3中的曲线、折线或直线。我们称三角形ADB为可行集。精算师考试网官方总站：圣才学习网（2）三个资产的投资组合通过类似的方法我们可以得到下面的图10-4。投资组合的所有期望收益率和标准差形成的集合如图中阴影部分的区域（包括边界）。对于多个风险资产的情况，可行集为图l0-5中阴影部分区域（包括边界）。图10-4三个风险资产组成的资产组合

图10-5Markowitz边界基于对投资者的假设，一个投资者选择投资组合时会遵循下面的原则：

☞第一，对相同的风险，投资者选择期望收益率最大的组合；

☞第二，对于相同的期望收益率，投资者选择风险（标准差）最小的组合。根据这两个原则，结合图10－5投资者的选择会集中在曲线ACB上（即可行集的上界）。

①Markowitz边界：曲线ACB称为投资组合的有效集，也叫Markowitz边界，该边界是凹的。②有效资产组合：Markowitz边界上任何一点所代表的组合为有效资产组合。精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题10.8】如表10-1所示的资产组合中不属于马科维茨描述的有效率边界的是（）。表10-1

A．aB．bC．cD．dE．信息不足，无法判断

【答案】D

【解析】资产组合Y不在有效边界上，资产组合X与其相比有更高的期望收益率和更低的标准差，所以投资者不会选择组合Y。

精算师考试网官方总站：圣才学习网

3．资本市场线

（1）无风险资产①定义：无风险资产是指该资产未来提供的现金流是完全确定的。②隐含含义

☞资产提供未来现金流的期限与投资期限相等；

☞不存在再投资风险。

因此无风险资产应为到期期限与投资期相同的国库券。且无风险资产与其他风险资产的相关系数和斜方差均为零。

（2）无风险资产和一个风险资产A的投资组合无风险资产的收益率记为，风险资产A的收益率记为RA，期望收益率和标准差分别记为E（RA）和σA。假定投资在风险资产A的比例为ω（0≤ω≤1）。①该投资组合的收益率RP

精算师考试网官方总站：圣才学习网②该组合的期望收益率和标准差为则且③风险报酬率或Sharpe比率λ

【例题10.9】给定最优风险投资组合的预期收益是11％，标准差是20％，无风险收益是4％，则资产配置线的斜率是（）。A．0.25B．0.35C．0.39D．0.41E．0.45

【答案】B

【解析】资产配置线的斜率公式为：

精算师考试网官方总站：圣才学习网

④资产配置线如图10—6所示，由于要求投资比例0≤ω≤1，所以该组合和可行集为线段FA。如果允许以无风险资产收益率无限制的借入资金，则该组合的可行集为射线FA上任意一点。直线A点右边的组合表示以rf贷款并投资于风险资产，因此风险资产的投资比例大于1。介于A、F两点之间的组合，表示按不同比例分别投资无风险资产和风险资产。如图l0－6所示，在对无风险资产和一个风险资产的投资组合中，所有预期收益率和标准差的组合都落在射线FA上，因此这条直线就称为资产配置线（CAL）。

图10-6资产配置线精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题10.10】一个投资者的期望效用函数为，其中Rp和分别为组合的收益率和方差，该投资组合包括一个无风险资产和一个风险资产，其中风险资产的收益率均值为8%，方差为4%，无风险资产的收益率为5%，该投资者为了最大化期望效用值，风险资产在投资组合中的比重应为（）。[2011年春季真题]

A．100%B．75%C．50%D．25%E．0%

【答案】B

【解析】设风险资产A在投资组合中的比重为w,则于是有：由得：当期望效用最大时无差异曲线与投资组合曲线相切，于是：

精算师考试网官方总站：圣才学习网（3）多个风险资产和无风险资产的投资组合假定Q是可行集中的任意一点，Q与无风险资产的组合是连接F与Q的射线（假定允许无限制借款），所有这样的射线构成一个以F为定点的锥形区域，这是增加了无风险资产后新的可行集；该区域的上边界为图10—7中的切线FM。我们称FM为资本市场线，称组合M为市场组合。M点的上方表示以rf借款并投资于M，称这样的组合为杠杆组合。

图10-7无风险资产和风险资产组合精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题10.11】假设市场组合由两个证券A和B组成，它们的投资比例分别是40%和60%。已知这两个证券的期望收益率分别是10%、15％，标准差分别是20％、28％系，其相关数为0.3。假设无风险收益率为5％。则资本市场线方程为（）。A．B．C．D．E．

【答案】C

【解析】资本市场线方程为：其中，分别代表市场组合的收益率、无风险收益率、市场组合的标准差。市场组合的预期收益率为：市场组合的标准差为：由此可以得到资本市场线方程为：所以，资本市场线方程为：精算师考试网官方总站：圣才学习网4．最优资产组合的求解

（1）不存在无风险资产的情形投资者的无差异曲线和资产组合的Markowitz边界如图l0-8所示。投资者的最优投资组合为无差异曲线和Markowitz边界的切点P。因为Markowitz边界上，只有P点处投资者的效用达到最大值。

☞无差异曲线的凸性和Markowitz边界的凹性保证了该切点的存在性和唯一性。

图10-8最优资产组合的确定

精算师考试网官方总站：圣才学习网（2）无风险资产和一个风险资产组成的投资组合考虑无风险资产和一个风险资产组成的投资组合，其Markowitz边界为资本配置线，投资者的最优资产组合为无差异曲线与资本配置线的切点，如图l0-9所示。

☞无差异曲线的凸性保证了该切点的存在和唯一性。

图10-9资产配置线和无差异曲线确定最优资产组合精算师考试网官方总站：圣才学习网

如果投资者的效用函数为如下的形式则无差异曲线的导数为又因资本市场线的斜率为因此在切点处下面的等式成立：则投资在市场组合M上的比例为：

精算师考试网官方总站：圣才学习网

注：求解投资者最优资产组合时，投资在M上的比例可能大于l，即最优资产组合为杠杆组合。比如投资者风险厌恶系数比较小，或者风险资产预期收益率比较大，风险又相对较小等都有可能造成这种情况发生。如果市场允许的借款利率高于rf最优资产组合变为以借款利率对应的资本市场线与投资者无差异曲线的切点处，即图10-10中的P点。

图10-10最优资产组合为杠杆组合的情形精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题10.12】用图10-11回答下面两题。

图10-11资本配置线和无差异曲线

1．反映投资者可获得的最大效用水平的曲线是（）。

A．1B．2C．3D．4E．无法判断

【答案】B

【解析】曲线3、4效用水平虽然更大，但与资本市场线无公共点，表明这样的效用投资者难以获得；与资本市场线相切的无差异曲线反映了投资者可获得的最大效用水平，可见为曲线2。2．反映最佳的风险资产组合的点为（）。

A．HB．EC．GD．FE．无法判断

【答案】D

【解析】F点为资产配置线与无差异曲线的切点。精算师考试网官方总站：圣才学习网（3）两个风险资产组成的投资组合