条件概率 全概公式

条件概率全概公式第1页，共31页，2023年，2月20日，星期六若事件B已发生，则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1)式。第2页，共31页，2023年，2月20日，星期六掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，P(A

)=1/6，B={掷出偶数点}，P(A|B)=？例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}，容易看到：第3页，共31页，2023年，2月20日，星期六例1设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？解设A表示“能活到20岁以上”，B表示“能活到25岁以上”。则由已知从而所求的概率为第4页，共31页，2023年，2月20日，星期六由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)2、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率第5页，共31页，2023年，2月20日，星期六例2在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率。解：设表示“第i次取得次品”（i=1，2，3）,B表示“第三次才取到次品”，则第6页，共31页，2023年，2月20日，星期六3、事件的相互独立性对乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)，有的问题中事件B发生的概率与事件A发生的条件下事件B发生的概率是相等的，即相当于无条件概率，B是否发生与A无关，从而此时称A与B是相互独立的。第7页，共31页，2023年，2月20日，星期六我们也称A，B，C是相互独立的事件。对三个事件A，B，C，如果成立：定理若事件A与B是相互独立的，则,与都是相互独立的。与第8页，共31页，2023年，2月20日，星期六

例3一个均匀的正四面体,将第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上着红色，故同理可知

第9页，共31页，2023年，2月20日，星期六对以上三事件A、B、C，成立:对于多个随机事件，若是相互独立的，则n个事件中至少有一个发生的概率为但所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们是两两独立的。第10页，共31页，2023年，2月20日，星期六例4若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为0.002,求在有1500人看电影的剧场中有感冒病毒的概率。解以表示事件“第i个人带有感冒病毒”（i=1,2,…，1500），假定每个人是否带有感冒病毒是相互独立的，则所求概率为第11页，共31页，2023年，2月20日，星期六

从这个例子可见，虽然每个带有感冒病毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。第12页，共31页，2023年，2月20日，星期六它们下方的数是它们各自正常工作的概率。求电路正常工作的概率。例5下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.第13页，共31页，2023年，2月20日，星期六解将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有代入得第14页，共31页，2023年，2月20日，星期六二、全概率公式贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0第15页，共31页，2023年，2月20日，星期六1、全概率公式:在一些教材中，常将全概率公式叙述为：之一同时发生，则是两两互斥的事件，且设另有一事件B,它总是与设为随机试验的样本空间，是两两互斥的事件，且全概率公式:第16页，共31页，2023年，2月20日，星期六例6甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率。则对任一事件B，有称满足上述条件的为完备事件组。第17页，共31页，2023年，2月20日，星期六设B={飞机被击落}Ai={飞机被i人击中},i=1,2,3，则B=A1B+A2B+A3B求解如下:由全概率公式为求P(Ai),设Hi={飞机被第i人击中}i=1,2,3可求得:依题意，第18页，共31页，2023年，2月20日，星期六将数据代入计算得:于是即飞机被击落的概率为0.458。第19页，共31页，2023年，2月20日，星期六

例7有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大?解设A、B、C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D表示抽得产品为正品，第20页，共31页，2023年，2月20日，星期六从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到：则由已知，第21页，共31页，2023年，2月20日，星期六该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”。某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:第22页，共31页，2023年，2月20日，星期六接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。是两两互斥的事件，且设另有一事件B,它总是之一同时发生，则与第23页，共31页，2023年，2月20日，星期六该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件第24页，共31页，2023年，2月20日，星期六当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。例8同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混合在一起。（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率；（2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、发生可能性大小的认识。第25页，共31页，2023年，2月20日，星期六乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？解设事件A表示“取到的产品为品”，分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”由已知（1）由全概率公式得：第26页，共31页，2023年，2月20日，星期六由贝叶斯公式得由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小。第27页，共31页，2023年，2月20日，星期六

例9假定具有症状中一个或数个的疾病为其中

S1=食欲不振

S2=胸痛

S3=呼吸急促

S4=发热现从20000份患有疾病的病历卡中统计得到下列数字：疾病人数出现S中一个或几个症状人数775075005250420070003500第28页，共31页，2023年，2月20日，星期六试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的可资依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？