固体物理(第11课)金属电子论和索末菲模型

第5章金属(自由)电子论金属:导电、导热、延展、光亮、易加工。金属晶体都是密排结构，提高结合能。面心立方：AgAuCuAlNiPb六方密集：BeMgZnCa少数体心立方：LiNaKRbCsCrMnW金属原子配位数很多，超过其价电子数。价电子形成非局域电子，因此每个原子有很多空轨道，因此，非局域电子移动容易，近似于自由电子。汤姆逊发现电子，提出电子在电场作用下运动，形成电流。同时气体分子运动论也已成熟。15.1经典的金属自由电子论5.1.1特鲁德模型(示意图)为了说明导电、导热等物理现象。金属由正离子和电子组成，满壳层电子与原子核构成原子实，外壳层电子即价电子数为-eZ，受到原子核束缚较弱，称为传导电子，弥散于金属内部，构成自由电子气体。服从玻尔兹曼统计：e-hω/kT，在外电场作用下服从牛顿运动定律。每个电子对热容的贡献是3kBT/2。但与实验值相差较大。2金属自由电子模型（钾）18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+18-19+31电子气浓度势垒限制电子逸出其中NL为单胞数，na为单胞中原子数，Z为价电子数，a3为单胞体积，ρ为元素密度，NA为阿伏加德罗常数，M为原子量，典型值为1022~1023个/cm3电子势垒模型455条假设

1.独立电子假设：忽略电子-电子之间的库仑排斥力2.自由电子假设：电子速度各向同性，电子和离子碰撞，忽略电子-离子的库仑吸引力。3.碰撞假设：碰撞后电子方向随机，速度只与温度有关，单个电子的平均能量为：4.驰豫时间近似(relaxationtimeapproximation)电子与离子两次碰撞之间的平均时间间隔，1/为碰撞概率，平均自由程(meanfreepath)：l=v。在无外力作用时，电子的平均集体运动速度按照exp(-T/)的方式趋于0，弛豫时间与电子速度和位置无关。5.隐含假设：电子是经典粒子（当时没有量子力学）67直流电导8金属电子的平均自由程9金属的比热特鲁德模型认为金属中电子具有经典理想气体分子的运动特征，它们遵循玻尔兹曼统计规律：每个电子有三个自由度，每个自由度有kBT/2的平均能量，共有3kBT/2内能，电子气比热CV=3kBn/2,在高温下相当于晶格振动的比热,这与实验不相符。从经典理论来看，只能说明电子没有热运动，直接动摇了经典电子运动论。量子力学和费米统计规律建立后，这一矛盾才解决。并在此基础上建立了新的金属电子理论。10作业1特鲁德模型对金属晶体中的电子作了哪些假设,试根据特鲁德模型推导金属晶体中电压与电流的关系.试说明特鲁德模型中金属中的电子对热容的贡献.11补充12131415161718薛定谔方程简介1920补充：倒易格点与晶格及电子波函数的关系边长为L的金属中，电子以波长(Na/nx+

Na/nx+Na/nx)的平面简谐波存在。晶格常数为a的简立方晶格常数b为2π/a的倒易格点。b对应面间距。最大的k，对应波长为2a。最小的k，对应波长为L。K越小，所对应波长越长。ba21补充资料：三维晶格情况下的波矢示意图2223kxkykzΓ2425说明电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子波长为na/l，即L/l，na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面波与晶面垂直。可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩-卡门周期性边界条件。驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。265.2索末菲自由电子论前提:1925年1月，物理学家泡利提出了不相容原理：一切由自度等于半整数的粒子——费米子组成的系统中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。这一原理解释了原子的电子壳层结构和元素周期律，推动了电子自旋概念的确立。费米和狄拉克分别在泡利不相容原理及玻尔兹曼统计基础上，提出电子服从某一统计规律，后来称为费米－狄喇克统计分布。电子、质子、中子（全同粒子）275.2.1索末菲自由电子气模型独立电子：电子之间无相互作用自由电子：近似于自由电子,即单电子近似。忽略离子作用，不考虑碰撞，忽略晶格周期场。引入了泡利不相容原理服从费米－狄喇克统计分布根据量子力学的波动现象，电子的波函数满足自由电子的薛定谔方程。28平均势能为能量零点，电子处于无限深度的势阱内，需作功才能逸出,电子的运动满足薛定谔方程。L=N×a295.2.2单电子的本征态和本征能量1.电子气的本征态30第一种解法：驻波解该解称为驻波解，表示晶体内电子的平均动量和平均速度为0，和实际不符，不利于处理金属内部电子的输运问题。所以选用周期性边界条件，获得行波解。31通过周期性边界条件导致了波矢k的量子化。金属中电子的能量是不连续的、分立的，每一组nx、ny、nz确定了一个波矢k，对应两个量子态。第二种解法：行波解它是自由电子波函数，是前进的平面波，称为行波解32波矢k3334由于每一个k对应于一个能量状态(能级)，每个能带中共有N个能级，因固体物理学原胞数N很大，一个能带中众多的能级可以近似看作是连续的，称为准连续。由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相反的电子，所以每个能带可以容纳2N个电子。其中图2.5K空间的状态分布3536作业21.简要说明索末菲模型的