【知识点解析】专题训练5　三角形中的四种常见说理类型

三角形中的四种常见说理类型学习了全等三角形及等腰三角形的性质后，与此相关的几何题的类型非常丰富，常见的类型有：说明相等关系，位置关系，线段的和差关系，倍分关系等.知识点睛1类型说明相等关系1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.试说明：DE＝DF.解：如图，连接AD.因为AB＝AC，D是BC的中点，所以∠EAD＝∠FAD.又因为AE＝AF，AD＝AD，所以△AED≌△AFD(SAS)．所以DE＝DF.2类型说明位置关系2.如图，已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形PCE.试说明：AE∥BC.题型1说明平行关系解：因为△ABC，△PCE均为等边三角形，所以BC＝AC，PC＝EC，∠ACB＝∠ABC＝∠PCE＝60°.所以∠ACB－∠ACP＝∠PCE－∠ACP，即∠BCP＝∠ACE.所以△CBP≌△CAE(SAS)．所以∠CAE＝∠CBP＝60°.所以∠CAE＝∠ACB.所以AE∥BC.3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点．试说明：DG⊥EF.题型2说明垂直关系解：如图，连接ED，FD.因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.在△BDE和△CFD中，所以△BDE≌△CFD(SAS)．所以DE＝DF.又因为G是EF的中点，所以DG⊥EF.3类型说明倍分关系4.如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D.猜想∠DBC与∠A的数量关系，并说明理由．题型1说明角的倍分关系解：∠DBC＝∠A.理由如下：方法一：因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C.所以∠C＝(180°－∠A)．因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°－∠C＝90°－(180°－∠A)＝90°－90°＋∠A＝∠A.方法二：如图，过点A作AE⊥BC于点E，则∠EAC＋∠C＝90°.因为AB＝AC，所以∠EAC＝∠BAC.因为BD⊥AC，所以∠DBC＋∠C＝90°.所以∠DBC＝∠EAC＝∠BAC.5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE.试说明：AH＝2BD.题型2说明线段的倍分关系解：因为AD，BE是△ABC的高，所以∠ADB＝∠AEH＝∠BEC＝90°.又因为∠BHD＝∠AHE，所以∠EBC＝∠EAH.在△BCE和△AHE中，所以△BCE≌△AHE(ASA)．所以BC＝AH.又因为AB＝AC，AD⊥BC，所以BC＝2BD.所以AH＝2BD.3类型说明和、差关系6.如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.试说明：AB＋BD＝AC.解：如图，延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E.所以∠ABC＝180°－∠ABE＝∠E＋∠BAE＝2∠E.又因为∠ABC＝2∠C，所以∠E＝∠C.所以AE＝AC.因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC.因为∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，所以∠BAE＝∠C.又因为∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝180°－∠ADC