数学建模稳定性问题

数学建模稳定性问题第1页，共20页，2023年，2月20日，星期六一般的微分方程或微分方程组可以写成：定义称微分方程或微分方程组为自治系统或动力系统。（3.28）

若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（3.28）。称点Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点。第2页，共20页，2023年，2月20日，星期六例Logistic模型共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No=K时的解。

当No<K时，积分曲线N=N(t)位于N=K的下方；当No>K时，则位于N=K的上方。从图3中不难看出，若No>0，积分曲线在N轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和N=K有着极大的区别。定义1自治系统的相空间是指以（x1,…,xn）为坐标的空间Rn。特别，当n=2时，称相空间为相平面。空间Rn的点集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,…,n}称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。第3页，共20页，2023年，2月20日，星期六定义2设x0是（3.28）的平衡点，称：（1）x0是稳定的，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε对所有的t都成立。（2）x0是渐近稳定的，如果它是稳定的且。

微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。（3）x0是不稳定的，如果（1）不成立。根据这一定义，Logistic方程的平衡点N=K是稳定的且为渐近稳定的，而平衡点N=0则是不稳定的。第4页，共20页，2023年，2月20日，星期六解析方法定理1设xo是微分方程的平衡点：若,则xo是渐近稳定的若,则xo是渐近不稳定的证由泰勒公式，当x与xo充分接近时，有：由于xo是平衡点，故f(xo)=0。若，则当x<xo时必有f(x)>0，从而x单增；当x>xo时，又有f(x)<0，从而x单减。无论在哪种情况下都有x→xo，故xo是渐进稳定的。的情况可类似加以讨论。高阶微分方程与高阶微分方程组平衡点的稳定性讨论较为复杂，大家有兴趣可参阅微分方程定性理论。我们简单介绍一下两阶微分方程组平衡点的稳定性判别方法。第5页，共20页，2023年，2月20日，星期六考察两阶微分方程组：（3.29）

令，作一坐标平移，不妨仍用x记x’，则平衡点xo的稳定性讨论转化为原点的稳定性讨论了。将f(x1,x2)、g(x1,x2)在原点展开，（3.29）又可写成:考察（3.29）的线性近似方程组:（3.30）其中：第6页，共20页，2023年，2月20日，星期六记λ1、λ2为A的特征值则λ1、λ2是方程：det（A-λI）=λ2-(a+b)λ+(ad–bc)=0的根令p=a+d,q=ad-bc=|A|，则，记。讨论特征值与零点稳定的关系（1）若△>0，可能出现以下情形：

①若q>0，λ1λ2>0。当p>0时，零点不稳定；当p<0时，零点稳定若q<0，λ1λ2<0

当c1=0时，零点稳定当c1≠0时,零点为不稳定的鞍点③q=0，此时λ1=p，λ2=0，零点不稳定。（2）△=0，则λ1=λ2:

λ有两个线性无关的特征向量当p>0时，零点不稳定当p<0时，零点稳定第7页，共20页，2023年，2月20日，星期六②如果λ只有一个特征向量当p≥0时，零点不稳定当p>0时，零点稳定（2）△<0，此时若a>0，零点稳定若a=0，有零点为中心的周期解

综上所述：仅当p<0且q>0时，（3.30）零点才是渐近稳定的；当p=0且q>0时（3.30）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。非线性方程组（3.29）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立:定理2若（3.30）的零点是渐近稳定的，则（3.29）的平衡点也是渐近稳定的；若（3.30）的零点是不稳定的，则（3.29）的平衡点也是不稳定的。第8页，共20页，2023年，2月20日，星期六第9页，共20页，2023年，2月20日，星期六高维几乎线性微分方程组的稳定性关于本节前边所讨论的按线性近似决定平面几乎线性近似系统的奇点的理论可以推广到高维情况。但是高维系统相空间中轨线的相图更加复杂，而实际问题往往更关心是解的稳定性，所以下边我们将主要讨论按线性近似决定高阶微分方程组零解的稳定性问题。阶常系数线性微分方程组为此先讨论阶线性方程组零解的稳定性。第10页，共20页，2023年，2月20日，星期六(5.4.27)的任一解均可表示为形如的线性组合，这里为系数矩阵的特征方程的根（为阶单位阵），为的多项式，其次数低于所对应的初等因子的次数，由线性方程组解的理论可以得出如下定理。第11页，共20页，2023年，2月20日，星期六定理5.2

系统(5.4.27)的系数矩阵的特征为

则(1)若均具有负实部，则系统(5.4.27)的零解是渐近稳定的；(2)若中至少有一个具有正实部，则系统

(5.4.27)的零解是不稳定的；(3)若中没有正实部的根，但是有零根或零实部的纯虚根，则当零根或零实部根的初等因子都是一次时(5.4.27)的零解是稳定的。当零根或零实部的根中至少有一个的初等因子大于1时系统(5.4.27)的零解是不稳定的。第12页，共20页，2023年，2月20日，星期六特征方程的不容易求得，无法判断其正负例5.4.4

研究方程组(5.4.28)零解的稳定性。解方程组的系数矩阵为特征方程为第13页，共20页，2023年，2月20日，星期六

Routh-Hurwitz判据定理5.3

对一元次常系数代数方程其中，做行列式式中，当时，则(5.4.30)的所有根均具有负实部的充要条件是的一切主子式都大于零，即下边不等式同时成立：第14页，共20页，2023年，2月20日，星期六

……

对于上边例子中方程(5.4.29)，，故(5.4.29)的根均具有负实部，因此方程组(5.4.28)的零解是渐近稳定的。第15页，共20页，2023年，2月20日，星期六定义同(5.4.27)，下面考虑非线性微分方程组(5.4.31)其中第16页，共20页，2023年，2月20日，星期六且满足及。这时(5.4.31)也称为几乎线性系统，且是其解。定理5.4

若的所有特征根均具有负实部，则(5.4.31)的零解是渐近稳定的。若的特征根中至少有一个具有正实部，则系统(5.4.31)的零解是不稳定的。第17页，共20页，2023年，2月20日，星期六例5.4.5

讨论非线性方程组的零解的稳定性。解原方程组在原点处的线性近似方程组的系数矩阵为第18页，共20页，2023年，2月20日，星期六容易求出它的3个特征根为有一个正实根，而非线性项满足(5.4.32)，因此由定理5.4知系统(5.4.33)的零解是不稳定的。说明：(1)由定理5.3得到的常系数的线性方程组的稳定性是大范围的，而由定理5.4得到的非线性方程组的稳定性是小范围的。(2)当系统(5.4.31)的线性近似系统(5.4.27)的系