微积分高斯公式

微积分高斯公式第1页，共28页，2023年，2月20日，星期六定义:设有向量场其中P,Q,R

具有连续一阶偏导数,在场中点M(x,y,z)处称为向量场F在点M

的散度.记作divergence0、梯度、散度与旋度记作称为向量场F在点M

的旋度.第2页，共28页，2023年，2月20日，星期六I、线性规则若是可微的数量函数，则第3页，共28页，2023年，2月20日，星期六II、乘积规则

III、链规则第4页，共28页，2023年，2月20日，星期六注意：第5页，共28页，2023年，2月20日，星期六练习1、设f二次可微，求其中第6页，共28页，2023年，2月20日，星期六一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的有向闭曲上有连续的一阶偏导数,下面先证:的方向取外侧,向量场面所围成,则有(Gauss公式)即：第7页，共28页，2023年，2月20日，星期六证明:设为XY型区域,则第8页，共28页，2023年，2月20日，星期六所以若

不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：第9页，共28页，2023年，2月20日，星期六例1.用Gauss

公式计算其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解:

这里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐标)及平面z=0,z=3

所围空间思考:

若改为内侧,结果有何变化?若

为圆柱侧面(取外侧),如何计算?第10页，共28页，2023年，2月20日，星期六例2.利用Gauss公式计算积分其中为锥面解:作辅助面取上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧.所围区域为,则第11页，共28页，2023年，2月20日，星期六利用重心公式,注意第12页，共28页，2023年，2月20日，星期六例3.设为曲面取上侧,求解:

作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标第13页，共28页，2023年，2月20日，星期六在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例4.

设函数其中是整个边界面的外侧.分析:高斯公式第14页，共28页，2023年，2月20日，星期六证:令由高斯公式得移项即得所证公式.(见P171)第15页，共28页，2023年，2月20日，星期六*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1.连通区域的类型设有空间区域

G,

若G

内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G

为空间二维单连通域;

若G

内任一闭曲线总可以张一片全属于G

的曲面,则称G

为空间一维单连通域

.例如,球面所围区域环面所围区域立方体中挖去一个小球所成的区域不是二维单连通区域.既是一维也是二维单连通区域;是二维但不是一维单连通区域;是一维但第16页，共28页，2023年，2月20日，星期六2.闭曲面积分为零的充要条件定理2.在空间二维单连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则①证:“充分性”.

根据高斯公式可知②是①的充分条件.的充要条件是:②“必要性”.用反证法.已知①成立,第17页，共28页，2023年，2月20日，星期六因P,Q,R

在G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域则由高斯公式得与①矛盾,故假设不真.因此条件②是必要的.取外侧,第18页，共28页，2023年，2月20日，星期六三、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为第19页，共28页，2023年，2月20日，星期六若为方向向外的闭曲面,

当>0时,说明流入的流体质量少于当<0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.流出的,表明内有泉;表明内有洞;根据高斯公式,流量也可表为③第20页，共28页，2023年，2月20日，星期六方向向外的任一闭曲面

,

记所围域为,设是包含点

M且为了揭示场内任意点M处的特性,在③式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.第21页，共28页，2023年，2月20日，星期六表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A

处处有,则称A

为无源场.例如,

匀速场故它是无源场.说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且第22页，共28页，2023年，2月20日，星期六*例5.置于原点,电量为q

的点电荷产生的场强为解:

计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.第23页，共28页，2023年，2月20日，星期六内容小结1.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:第24页，共28页，2023年，2月20日，星期六2.通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为G内任意点处的散度为第25页，共28页，2023年，2月20日，星期六3.场论中的三个重要概念设

梯度:散度:旋度:则第26页，共28页，2023年，2月20日，星期六思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)(2)为第27页，共28页，2