电磁场与电磁波课件：第一章矢量分析

2023/4/201

第一章矢量分析1.1矢量代数1.2三种正交坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的通量与旋度1.6无旋场与无散场1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理2023/4/2021.1矢量代数一、矢量与矢量场1、标量：一个只用大小描述的物理量。矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示

矢量的代数表示：矢量的大小或模：矢量的单位矢量：常矢量：大小和方向均不变的矢量。

注意：单位矢量不一定是常矢量。

2、矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用斜体加黑字母或带箭头的字母表示。

矢量的几何表示2023/4/203矢量用坐标分量表示zxy2023/4/2043.矢量的代数运算（1）矢量的加减法四边形法则三角形法则2023/4/205（3）矢量的标积（点积）定义：——矢量的标积符合交换律q矢量与的夹角（2）标量乘矢量2023/4/206（4）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量与的叉积用坐标分量表示为写成行列式形式为不满足交换律不满足结合律2023/4/207若，则若，则（5）矢量的混合积2023/4/208证:2023/4/209证：2023/4/2010有：三重矢量积2023/4/2011Ex1:已知三个矢量求：（1）；（2）；（3）；

解

(1)（2）（3)-112023/4/2012Ex1:已知三个矢量；（5）；（6）求：（4）解

(4)（5）2023/4/2013

描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间一定的情况下，它们是唯一的，其大小或方向与所选择的坐标系无关，即对于坐标系的变换，和的大小与方向保持不变。

在正交坐标系：直角坐标柱面坐标球面坐标1.2三种常用的正交曲线坐标系2023/4/20141、直角坐标系单位方向矢量：矢量函数：其位置矢量：空间任一点P（x0,y0,z0):坐标变量:变量取值范围：微分元：2023/4/20152、圆柱坐标系单位方向矢量：矢量函数：其位置矢量：空间任一点P(r0,ψ0,z0)变量取值范围微分元2023/4/2016柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．2023/4/20173、球面坐标系单位方向矢量：矢量函数：位置矢量：变量取值范围:微分元：2023/4/2018如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．球面坐标与直角坐标的关系为2023/4/20194.坐标单位矢量之间的关系

直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系ofxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系foqrz单位圆

柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系qq2023/4/20201.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。

例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。

例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：

确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。

场是物理量数值的无穷集合从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：2023/4/2021标量场的等值面

等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场用等值面来描述标量场的等值面互不相交。（如果相交则交点处的函数值无法确定）

等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。标量场的等值线(面)2023/4/2022方向导数的定义：标量场函数u的等值面在某一点M处沿某一方向l的变化率,称为该标量场u

沿l方向的方向导数。2方向导数

对于一个标量场除了了解标量场u(x,y,z)的总体分布情况，还要讨论其等值面随空间的变化。例如，温度场2023/4/2023例如，温度场L1:(0-30)/100=-3/10C/mL2:(0-30)/200=-3/20C/mL3:(0-30)/800=-3/8C/m同一温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不同。每米温度的变化2023/4/2024一般情况下，标量场u在M0点沿着某方向l

的方向导数对于三元函数意义：方向导数表示标量场沿某方向的空间变化率。特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。2023/4/20253.标量场的梯度（或）定义：标量场u在M0点处的梯度是一个矢量，记作gradu。

大小：该点的最大方向导数，即沿过该点等值面的法线方向的方向导数。方向：过M0点等值面的法线方向。规定：沿等值面增加的方向为正法线。2023/4/2026标量场u沿l方向上的方向导数，就等于该标量场的梯度沿该方向的投影。4.梯度与方向导数的关系2023/4/20275.梯度的计算式：在直角坐标系中，由方向导数与梯度的关系可得标量场u沿三个方向导数为：xyz2023/4/2028梯度的表达式：圆柱坐标系

球坐标系直角坐标系

哈密顿算子：（矢量微分算子）2023/4/2029将（2，-1，1）代入解因为例求标量场在点处的梯度和沿矢量方向的方向导数。2023/4/2030l

的方向矢量方向导数2023/4/2031例2已知证明解：2023/4/20322023/4/20332023/4/20341.4矢量场的通量散度一、矢量线（力线）矢量场：设空间某一矢量函数，它的大小及方向随空间位置变化，则称该区域存在一矢量场A例如：速度场，电场，磁场

在河里水流的速度、大小、方向不一样，为形象的描述矢量场，通常在矢量场中作一些曲线，使曲线上每一点的切线方向与相应的场矢量方向一致。该点附近曲线的疏密和该点矢量的大小成正比，这样的曲线族称为矢量的场“力线”和“场线”。我们通过“力线”形象的描述和分析矢量场的分布和性质。2023/4/2035矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；ab二、矢量场的通量先介绍有向面元：

规定面元的正法线为：有向面积元：通量的定义：矢量场分布所在的区域中任一点P,在P附近取一面元，其正法线方向为。则矢量场穿过面元的通量为面积元矢量P2023/4/2036通过闭合面S的通量的物理意义：a)若，闭合面内有产生矢量线的正源；b)若，闭合面内有吸收矢量线的负源；c)若，闭合面内无源。

矢量场的通量

若S为闭合曲面

矢量穿过有限大面积S

的通量为2023/4/2037

在场空间中任意点P处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在P点处的散度为：三、矢量场的散度1、散度的定义2、散度的物理意义1)矢量场的散度是一个标量；2）矢量场的散度是矢量场穿过包围单位体积的闭合面的通量，又称通量密度。通量：是一个积分量，范围比较大，无法反映每一点的性质。

散度：是一个微分值，比较小，能够反映每一点的性质。2023/4/20383、散度的计算1)在直角坐标系下：(无源）(正源)

负源)3)表征该点单位体积内源的强度。

讨论：在矢量场中，i）若，则该矢量场称为有源场，为源密度；ii）若处处成立，则该矢量场称为无源场。哈密顿算符2023/4/20392)在圆柱坐标系下：3)在球面坐标系下：2023/4/2040四、散度定理（矢量场的高斯定理）

该公式表明了区域V

中场

与边界S上的场之间的关系。由散度的定义每一小体积有：该式只对微小体积成立。对于有限大体积V，分为许多小体积相加：2023/4/2041例已知电荷q所产生的电场强度为求其在任何一点M处的散度。解：可见，除点电荷q所在位置（r=0）外，电场强度的散度处处为零。2023/4/20421.5矢量场的环流旋度一、矢量的环流

环流的计算环流的定义：设有矢量场，沿场中任一闭合的有向路径l的积分，叫作沿曲线l的环流。即：讨论：1）线元矢量的定义；3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动。2)反映矢量场漩涡源分布情况。2023/4/2043例如：流速场2023/4/2044二、矢量的旋度1.环流面密度在场矢量空间中，围绕空间某点P取一面元S，其边界曲线为l，面元法线方向为，当面元面积无限缩小时，可定义在点P处的环量面密度P环流面密度的计算公式：其中为点P处的方向余弦该极限值为矢量场A在P点处沿

方向的环流密度。2023/4/20452.矢量场的旋度式中：表示面元单位法线方向；矢量A的旋度，记作：矢量场的旋度是一个矢量：大小：环流密度的最大值；方向：最大环流密度的方向。物理意义：旋涡源密度矢量。由旋度的定义可知，沿任一方向l的环流密度等于矢量场的旋度沿该方向的投影。（旋度在该方向的分量）2023/4/20463.旋度的物理意义4.旋度的计算1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；2）矢量场在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度。2023/4/2047例求矢量场在点处的旋度和沿矢径方向l的环流密度。

解：M处的矢径方向矢量场A在M处沿矢径方向的环流密度2023/4/2048

斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。曲面的剖分方向相反大小相等结果抵消

从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即三、斯托克斯定理2023/4/2049斯托克斯定理的证明

环流面密度＝旋度在法线方向的投影矢量闭合线积分＝旋度的面积分（通量）2023/4/2050四、矢量场旋度的重要性质矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零2023/4/2051梯度的旋度恒为零推论：如果一个矢量场F的旋度恒等于零，则该矢量场可由标量场的梯度来表示。2023/4/2052任意矢量旋度的散度恒为零推论：如果一个矢量场B的散度为零，则该矢量场可以表示为另一个矢量场的旋度。即：2023/4/20531.矢量场的源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；

旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6无旋场与无散场2023/4/20542.矢量场按源的分类（1）无旋场性质：

，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋场可以用标量场的梯度表示为例如：静电场2023/4/2055（2）无散场

仅有旋度源而无散度源的矢量场，即性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场2023/4/2056（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无散场部分2023/4/20571.7拉普拉斯运算与格林定理

1.拉普拉斯运算

标量拉普拉斯运算概念：——拉普拉斯算符直角坐标系计算公式：圆柱坐标系球坐标系2023/4/2058

矢量拉普拉斯运算定义：即注意：对于非直角分量，直角坐标系中：如：2023/4/20592.格林定理

根据散度定理令设

及为任意两个标量场，在区域V中具有连续的二阶偏导数。则有由于2