时间序列分析与预测

时间序列分析与预测第1页，共89页，2023年，2月20日，星期六第9章时间序列分析第一节时间序列的对比分析第二节长期趋势分析第三节季节变动分析第四节循环波动分析第2页，共89页，2023年，2月20日，星期六学习目标1. 掌握时间序列对比分析的方法2. 掌握长期趋势分析的方法及应用3. 掌握季节变动分析的原理与方法4. 掌握循环波动的分析方法第3页，共89页，2023年，2月20日，星期六第一节时间序列的对比分析一.时间序列及其分类二.时间序列的水平分析三.时间序列的速度分析第4页，共89页，2023年，2月20日，星期六时间序列及其分类第5页，共89页，2023年，2月20日，星期六时间序列

（一个例子）表9-1国内生产总值等时间序列年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)人口自然增长率(‰)居民消费水平(元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.811433311582311717111851711985012112112238912362612481014.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.538038961070133117812311272629443094第6页，共89页，2023年，2月20日，星期六时间序列

(概念要点)1. 同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列2. 形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成3. 排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式第7页，共89页，2023年，2月20日，星期六时间序列的分类绝对数时间序列一系列绝对数按时间顺序排列而成时间序列中最基本的表现形式反映现象在不同时间上所达到的绝对水平分为时期序列和时点序列时期序列：现象在一段时期内总量的排序时点序列：现象在某一瞬间时点上总量的排序相对数时间序列一系列相对数按时间顺序排列而成平均数时间序列一系列平均数按时间顺序排列而成第8页，共89页，2023年，2月20日，星期六时间序列的分类时间序列平均数序列绝对数序列相对数序列时期序列时点序列第9页，共89页，2023年，2月20日，星期六时间序列

（一个例子）表9-1国内生产总值等时间序列年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)人口自然增长率(‰)居民消费水平(元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.811433311582311717111851711985012112112238912362612481014.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.538038961070133117812311272629443094第10页，共89页，2023年，2月20日，星期六时间序列的水平分析第11页，共89页，2023年，2月20日，星期六发展水平与平均发展水平

（概念要点）发展水平现象在不同时间上的观察值说明现象在某一时间上所达到的水平表示为Y1，Y2，…，Yn或Y0

，Y1，Y2，…，Yn平均发展水平现象在不同时间上取值的平均数，又称序时平均数说明现象在一段时期内所达到的一般水平，如对股票价格、股票价格指数的分析中经常采用不同类型的时间序列有不同的计算方法第12页，共89页，2023年，2月20日，星期六绝对数序列的序时平均数

（计算方法）计算公式：【例9.1】

根据表11.1中的国内生产总值序列，计算各年度的平均国内生产总值

时期序列第13页，共89页，2023年，2月20日，星期六时间序列

（一个例子）表9-1国内生产总值等时间序列年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)人口自然增长率(‰)居民消费水平(元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.811433311582311717111851711985012112112238912362612481014.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.538038961070133117812311272629443094第14页，共89页，2023年，2月20日，星期六绝对数序列的序时平均数

（计算方法）时点序列—间隔不相等Y1Y2Y3YnY4Yn-1T1T2T3Tn-1时点序列—以“天”为间隔的时点序列序时平均数可按上述公式计算第15页，共89页，2023年，2月20日，星期六绝对数序列的序时平均数

（计算方法）计算步骤计算出两个点值之间的平均数用相隔的时期长度(Ti)加权计算总的平均数Y1Y2Y3YnY4Yn-1T1T2T3Tn-1第16页，共89页，2023年，2月20日，星期六绝对数序列的序时平均数

（实例）表9-2某种股票1999年各统计时点的收盘价统计时点1月1日3月1日7月1日10月1日12月31日收盘价(元)15.214.217.616.315.8【例9.2】设某种股票1999年各统计时点的收盘价如表9-2，计算该股票1999年的年平均价格第17页，共89页，2023年，2月20日，星期六绝对数序列的序时平均数

（计算方法）当间隔相等(T1=T2=…=Tn-1)时，有时点序列—间隔相等Y1Y2Y3YnYn-1第18页，共89页，2023年，2月20日，星期六绝对数序列的序时平均数

（实例）【例9.3】

根据表9-1中年末总人口数序列，计算1991～1998年间的年平均人口数

第19页，共89页，2023年，2月20日，星期六时间序列

（一个例子）表9-1国内生产总值等时间序列年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)人口自然增长率(‰)居民消费水平(元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.811433311582311717111851711985012112112238912362612481014.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.538038961070133117812311272629443094第20页，共89页，2023年，2月20日，星期六相对数序列的序时平均数

（计算方法）先分别求出构成相对数或平均数的分子ai和分母

bi的平均数再进行对比，即得相对数或平均数序列的序时平均数基本公式为第21页，共89页，2023年，2月20日，星期六相对数序列的序时平均数

（计算方法与实例）【例9.4】已知1994~1998年我国的国内生产总值及构成数据如表9-3。计算1994~1998年间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重表9-3我国国内生产总值及其构成数据年份19941995199619971998国内生产总值(亿元)

其中∶第三产业(亿元)

比重(%)46759.414930.031.958478.117947.230.767884.620427.530.174772.424033.332.179552.826104.332.8第22页，共89页，2023年，2月20日，星期六相对数序列的序时平均数

（计算结果）解：第三产业国内生产总值的平均数全部国内生产总值的平均数第三产业国内生产总值所占平均比重第23页，共89页，2023年，2月20日，星期六增长量

（概念要点）报告期水平与基期水平之差，说明现象在观察期内增长的绝对数量根据基期不同，分为逐期增长量与累积增长量逐期增长量报告期水平与前一期水平之差计算形式为：Δi=Yi-Yi-1(i=1,2,…,n)累积增长量报告期水平与某一固定时期水平之差计算形式为：Δi=Yi-Y0(i=1,2,…,n)各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量第24页，共89页，2023年，2月20日，星期六平均增长量

（概念要点）1.观察期内各逐期增长量的平均数2.描述现象在观察期内平均增长的数量3.计算公式为第25页，共89页，2023年，2月20日，星期六时间序列的速度分析第26页，共89页，2023年，2月20日，星期六发展速度

（要点）报告期水平与基期水平之比说明现象在观察期内相对的发展变化程度有环比发展速度与定期发展速度之分第27页，共89页，2023年，2月20日，星期六环比发展速度与定基发展速度

（要点）环比发展速度报告期水平与前一期水平之比定基发展速度报告期水平与某一固定时期水平之比第28页，共89页，2023年，2月20日，星期六环比发展速度与定基发展速度

（关系）观察期内各环比发展速度的连乘积等于最末期的定基发展速度

两个相邻的定基发展速度，用后者除以前者，等于相应的环比发展速度第29页，共89页，2023年，2月20日，星期六增长速度

（要点）增长量与基期水平之比又称增长率说明现象的相对增长程度计算公式为第30页，共89页，2023年，2月20日，星期六环比增长速度与定基增长速度

（要点）环比增长速度基逐期增长量与前一时期水平之比定基增长速度累计增长量与某一固定时期水平之比第31页，共89页，2023年，2月20日，星期六发展速度与增长速度的计算

（实例）【例9.5】

根据表9-3中第三产业国内生产总值序列，计算各年的环比发展速度和增长速度，及以1994年为基期的定基发展速度和增长速度

表9-3我国国内生产总值及其构成数据年份19941995199619971998国内生产总值(亿元)

其中∶第三产业(亿元)

比重(%)46759.414930.031.958478.117947.230.767884.620427.530.174772.424033.332.179552.826104.332.8第32页，共89页，2023年，2月20日，星期六表9-4第三产业国内生产总值速度计算表年份19941995199619971998国内生产总值(亿元)14930.017947.220427.524033.326104.3发展速度(%)环比定基—100120.2120.2113.8136.8117.7161.0108.6174.8增长速度(%)环比定基——20.220.213.836.817.761.08.674.8解：第33页，共89页，2023年，2月20日，星期六某企业1996-2000年产量增长速度年份19961997199819992000环比增长速度（%）20（2）2515（5）定基增长速度（%）（1）50（3）（4）132.5(例题分析)【例】某企业几年来产量不断增长，已知1996年比1995年增长20%，1997年比1995年增长50%，1998年比1997年增长25%，1999年比1998年增长15%，2000年比1995年增长132.5%，计算下表空缺数字202587.5115.67.8第34页，共89页，2023年，2月20日，星期六解：第35页，共89页，2023年，2月20日，星期六平均发展速度

（要点）观察期内各环比发展速度的平均数说明现象在整个观察期内平均发展变化的程度通常采用几何法(水平法)计算计算公式为第36页，共89页，2023年，2月20日，星期六平均增长速度

（要点）说明现象在整个观察期内平均增长变化的程度通常用平均发展速度减1来求得计算公式为第37页，共89页，2023年，2月20日，星期六平均发展速度与平均增长速度

（算例）【例9.6】

根据表9.4中的有关数据，计算1994～1998年间我国第三产业国内生产总值的年平均发展速度和年平均增长率表9-4第三产业国内生产总值速度计算表年份19941995199619971998国内生产总值(亿元)14930.017947.220427.524033.326104.3发展速度(%)环比定基—100120.2120.2113.8136.8117.7161.0108.6174.8增长速度(%)环比定基——20.220.213.836.817.761.08.674.8第38页，共89页，2023年，2月20日，星期六平均发展速度平均增率解：第39页，共89页，2023年，2月20日，星期六例题分析)【例】某地区GDP“九五”前三年平均发展速度为112%，后两年平均发展速度为109%，求该地区“九五”期间GDP平均发展速度和平均增长速度解：第40页，共89页，2023年，2月20日，星期六从最初水平Y0出发，每期按平均发展速度R发展，经过n期后将达到最末期水平Yn按平均发展速度推算的最后一期的数值与最后一期的实际观察值一致只与序列的最初观察值Y0和最末观察值Yn有关如果关心现象在最后一期应达到的水平，采用水平法计算平均发展速度比较合适平均发展速度

（几何法的原理）第41页，共89页，2023年，2月20日，星期六年度化增长率

（要点）增长率以年来表示时，称为年度化增长率或年率可将月度增长率或季度增长率转换为年度增长率计算公式为m为一年中的时期个数；n为所跨的时期总数季度增长率被年度化时，m＝4月增长率被年度化时，m＝12当m＝n时，上述公式就是年增长率第42页，共89页，2023年，2月20日，星期六年度化增长率

（实例）

【例9.7】已知某地区的如下数据，计算年度化增化增长率1999年1月份的社会商品零售总额为25亿元，2000年1月份在零售总额为30亿元1998年3月份财政收入总额为240亿元，2000年6月份的财政收入总额为为300亿元2000年1季度完成的国内生产总值为500亿元，2季度完成的国内生产总值为510亿元1997年1季度完成的工业生产总值为350亿元，2季度完成的工业生产总值为280亿元第43页，共89页，2023年，2月20日，星期六年度化增长率

（计算结果）解：由于是月份数据，所以m=12；从1999年一月到2000年一月所跨的月份总数为12，所以n=12即年度化增长率为20%，这实际上就是年增长率，因为所跨的时期总数为一年。也就是该地区社会商品零售总额的年增长率为20%

第44页，共89页，2023年，2月20日，星期六年度化增长率

（计算结果）解：

m=12，n=27

年度化增长率为该地区财政收入的年增长率为10.43%

第45页，共89页，2023年，2月20日，星期六年度化增长率

（计算结果）解：由于是季度数据，所以m=4，从一季度到二季度所跨的时期总数为1，所以n=1

年度化增长率为即根据第一季度和第二季度数据计算的国内生产总值年增长率为8.24%

第46页，共89页，2023年，2月20日，星期六年度化增长率

（计算结果）解：

m=4，从1997年四季度到2000年四季度所跨的季度总数为12，所以n=12

年度化增长率为即根据1998年四季度到2000年四季度的数据计算，工业增加值的年增长率为7.72%，这实际上就是工业增加值的年平均增长速度第47页，共89页，2023年，2月20日，星期六速度的分析与应用

（需要注意的问题）当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度

例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5、2、0、-3、2万元，对这一序列计算速度，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析在有些情况下，不能单纯就速度论速度，要注意速度与绝对水平的结合分析第48页，共89页，2023年，2月20日，星期六速度的分析与应用

（一个例子）表9-5甲、乙两个企业的有关资料年份甲

企

业乙

企

业利润额(万元)增长率(%)利润额(万元)增长率(%)1996500—60—1997600208440【例9.8】

假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如表9-5

第49页，共89页，2023年，2月20日，星期六速度的分析与应用

（增长1%绝对值）速度每增长一个百分点而增加的绝对量用于弥补速度分析中的局限性计算公式为甲企业增长1%绝对值＝500/100＝5万元乙企业增长1%绝对值＝60/100＝0.6万元第50页，共89页，2023年，2月20日，星期六第二节长期趋势分析时间序列的构成要素与模型线性趋势第51页，共89页，2023年，2月20日，星期六时间序列的构成要素与模型

（要点）构成因素长期趋势(Seculartrend)季节变动(SeasonalFluctuation)循环波动(CyclicalMovement)不规则波动(IrregularVariations)把这些影响因素同时间序列的关系用一定的数学关系式表示出来，就构成了时间序列的分解模型将各因素分别从时间序列中分离出去并加以测定的过程，称为时间序列的构成分析4.模型乘法模型：Yi=Ti×Si×Ci×Ii

加法模型：Yi=Ti+Si+Ci+Ii

第52页，共89页，2023年，2月20日，星期六长期趋势呈现出某种持续向上或持续下降的状态或规律时间序列的构成因素第53页，共89页，2023年，2月20日，星期六季节变动时间序列在一年内重复出现的周期性波动第54页，共89页，2023年，2月20日，星期六循环变动

围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动

不规则波动除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动第55页，共89页，2023年，2月20日，星期六时间序列的构成要素与模型

（构成要素与测定方法）线性趋势时间序列的构成要素循环波动季节变动长期趋势剩余法移动平均法移动中位数法线性模型法不规则波动非线性趋势趋势剔出法按月(季)平均法Gompertz曲线指数曲线二次曲线修正指数曲线Logistic曲线第56页，共89页，2023年，2月20日，星期六长期趋势分析现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态由影响时间序列的基本因素作用形成时间序列的主要构成要素有线性趋势和非线性趋势第57页，共89页，2023年，2月20日，星期六线性趋势第58页，共89页，2023年，2月20日，星期六线性趋势现象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律测定方法有移动平均法移动中位数法线性模型法第59页，共89页，2023年，2月20日，星期六移动平均法

(MovingAverageMethod)测定长期趋势的一种较简单的常用方法通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，计算出一系列移动平均数由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到修匀作用，削弱了原序列中短期偶然因素的影响，从而呈现出现象发展的变动趋势移动步长为K(1<K<n)的移动平均序列为为了避免平均数不受异常数据的影响，可采用中位数代替平均数，即为移动中位数法第60页，共89页，2023年，2月20日，星期六移动平均法

(实例)表9-61981～1998年我国汽车产量数据年份产量(万辆)年份产量(万辆)19811982198319841985198619871988198917.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3519901991199219931994199519961997199851.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00【例9.9】已知1981～1998年我汽车产量数据如表9-6。分别计算三年和五年移动平均趋势值，以及三项和五项移动中位数，并作图与原序列比较

移动平均法Excel第61页，共89页，2023年，2月20日，星期六移动平均法

(趋势图)05010015020019811985198919931997产量五项移动平均趋势值五项移动中位数汽车产量（万辆）

图9-1汽车产量移动平均趋势图（年份）第62页，共89页，2023年，2月20日，星期六移动平均法

(应注意的问题)移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置对于偶数项移动平均需要进行“中心化”移动间隔的长度应长短适中如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度若时间序列是季度资料，应采用4项移动平均若为月份资料，应采用12项移动平均第63页，共89页，2023年，2月20日，星期六年份粮食产量3年移动4年移动4年移正19931994199519961997199819992000200120022.862.833.053.323.213.253.543.874.073.79__2.913.073.193.263.333.553.823.91__3.023.103.213.333.473.683.81__3.063.153.273.403.583.75__(例题分析)Excel第64页，共89页，2023年，2月20日，星期六线性模型法

（概念要点与基本形式）现象的发展按线性趋势变化时，还可用线性模型表示线性模型的形式为

—时间序列的趋势值

t—时间标号

a—趋势线在Y轴上的截距

b—趋势线的斜率，表示时间t

变动一个单位时观察值的平均变动数量第65页，共89页，2023年，2月20日，星期六线性模型法

（a和b的最小二乘估计）趋势方程中的两个未知常数

a和

b

按最小二乘法(Least-squareMethod）求得根据回归分析中的最小二乘法原理使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线根据趋势线计算出各个时期的趋势值第66页，共89页，2023年，2月20日，星期六线性模型法

（a和b的最小二乘估计）1.根据最小二乘法得到求解a

和b

的标准方程为取时间序列的中间时期为原点时有t=0，上式可化简为解得：解得：第67页，共89页，2023年，2月20日，星期六线性模型法

(实例及计算过程)表9-8汽车产量直线趋势计算表年份时间标号t产量(万辆)Yit×Ytt2趋势值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合计1711453.5818411.9621091453.58【例9.10】利用表9-6中的数据，根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程，计算出1981～1998年各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较第68页，共89页，2023年，2月20日，星期六线性模型法

（计算结果）根据上表得a

和

b

结果如下汽车产量的直线趋势方程为$Yt

=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004

×20=180.51(万辆)2000年汽车产量的预测值为第69页，共89页，2023年，2月20日，星期六线性模型法

(趋势图)05010015020019811985198919931997汽车产量趋势值

图9-2汽车产量直线趋势（年份）汽车产量（万辆）第70页，共89页，2023年，2月20日，星期六第三节季节变动分析一.季节变动及其测定目的季节变动的分析方法与原理季节变动的调整第71页，共89页，2023年，2月20日，星期六季节变动及其测定目的季节变动现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动各年变化强度大体相同、且每年重现指任何一种周期性的变化时间序列的又一个主要构成要素测定目的确定现象过去的季节变化规律消除时间序列中的季节因素第72页，共89页，2023年，2月20日，星期六季节变动的分析原理将季节变动规律归纳为一种典型的季节模型季节模型由季节指数所组成季节指数的平均数等于100%根据季节指数与其平均数(100%)的偏差程度测定季节变动的程度如果现象没有季节变动，各期的季节指数等于100%如果某一月份或季度有明显的季节变化，各期的季节指数应大于或小于100%第73页，共89页，2023年，2月20日，星期六季节变动的分析原理季节模型时间序列在各年中所呈现出的典型状态，这种状态年复一年以相同的形态出现由季节指数组成，各指数刻划了现象在一个年度内各月或季的典型数量特征如果分析的是月份数据，季节模型就由12个指数组成；若为季度数据，则由4个指数组成各个指数的平均数等于100％为条件而构成的，它反映了某一月或季度的数值占全年平均值的大小第74页，共89页，2023年，2月20日，星期六季节变动的分析原理季节指数反映季节变动的相对数以全年月或季资料的平均数为基础计算的平均数等于100%月(或季)的指数之和等于1200%(或400%)指数越远离其平均数(100%)季节变动程度越大计算方法有按月(季)平均法和趋势剔出法第75页，共89页，2023年，2月20日，星期六按月(季)平均法

(原理和步骤)根据原时间序列通过简单平均计算季节指数假定时间序列没有明显的长期趋势和循环波动计算季节指数的步骤计算同月(或同季)的平均数计算全部数据的总月(总季)平均数计算季节指数(S)

第76页，共89页，2023年，2月20日，星期六按月(季)平均法

(实例)表9-151978～1983年各季度农业生产资料零售额数据年份销售额(亿元)一季度二季度三季度四季度19781979198019811982198362.671.574.875.985.286.588.095.3106.3106.0117.6131.179.188.596.495.7107.3115.464.068.768.569.978.490.3【例9.15】

已知我国1978～1983年各季度的农业生产资料零售额数据如表11.15。试用按季平均法计算各季的季节指数第77页，共89页，2023年，2月20日，星期六按月(季)平均法

(计算表)表9-16农业生产资料零售额季节指数计算表年份销售额(亿元)一季度二季度三季度四季度全年合计19781979198019811982198362.671.574.875.985.286.588.095.3106.3106.0117.6131.179.188.596.495.7107.3115.464.068.768.569.978.490.3293.7324.0346.0347.5388.5423.3合计456.5644.3582.4439.82123.0同季平均76.08107.3897.0773.3088.46季节指数(%)86.01121.39109.7382.86100.00第78页，共89页，2023年，2月20日，星期六趋势剔除法

(原理和步骤)先将序列中的趋势予以消