数字图象处理

数字图象处理第1页，共79页，2023年，2月20日，星期六2第八章小波图像编码第2页，共79页，2023年，2月20日，星期六38.1概述

第3页，共79页，2023年，2月20日，星期六4主要内容小波变换离散小波变换

多分辨率分析和Mallat算法

Matlab中常用小波基介绍小波变换在图像编码中的应用第4页，共79页，2023年，2月20日，星期六58.2小波变换第5页，共79页，2023年，2月20日，星期六6一维连续小波给定称为连续小波或分析小波(AnalyzingWavelet)

叫基本小波或母小波（MotherWavelet）。其中a是伸缩因子，b为平移因子。

定义

第6页，共79页，2023年，2月20日，星期六7一维连续小波变换CWT设|a|-1/2规范化因子，可使定义

是连续小波

记则函数的连续小波变换：第7页，共79页，2023年，2月20日，星期六8基小波或允许小波设则为一个基小波或允许小波。

定义

是连续小波且满足容许性条件：第8页，共79页，2023年，2月20日，星期六9允许小波的性质1．小波逆变换存在性且有

令是允许小波，对所有有：第9页，共79页，2023年，2月20日，星期六10允许小波的性质2．能量比例性

上式为能量公式，在允许性条件下，小波变换幅度的平方的积分与信号能量成正比。

令是允许小波，对所有有：第10页，共79页，2023年，2月20日，星期六11允许小波的性质3．正则性

p=1可直接由允许性条件验证，至于其他情况，能使上式成立的n越大越好.令是允许小波，要求其前n阶原点矩为零，且n越大越好，即第11页，共79页，2023年，2月20日，星期六12小波变换的性质1．线性性

如果则第12页，共79页，2023年，2月20日，星期六13小波变换的性质2．平移不变性

如果则第13页，共79页，2023年，2月20日，星期六14小波变换的性质3．伸缩共变性

如果则第14页，共79页，2023年，2月20日，星期六15小波变换的性质4．自相似性对应不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的。5．冗余性（1）由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的。也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而Fourier变换与反Fourier变换是一一对应的。（2）小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择（例如，非正交小波、正交小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性相关的）。

第15页，共79页，2023年，2月20日，星期六168.3离散小波变换第16页，共79页，2023年，2月20日，星期六17离散小波尺度离散化：取一个合理的值a0，使尺度因子只取a0的整数幂，即定义

位移离散化：当尺度取a0时，取位移b=b0，各位移为k·b0。当时，取，其中固定的。离散小波函数:

第17页，共79页，2023年，2月20日，星期六18离散小波变换离散小波变换：定义

改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。第18页，共79页，2023年，2月20日，星期六19离散小波变换定义

令：a0=2，b0=1时，尺度为2

j，而位移为2

jk即：尺度为2

j，而位移为2

jk则：二进离散小波：相应的小波变换记：第19页，共79页，2023年，2月20日，星期六20框架理论定义

设存在，对有：则称为一个框架如果A=B，则框架为紧框架有：第20页，共79页，2023年，2月20日，星期六21框架理论框架算子定义

称T为框架算子如果是框架有线性算子：I恒等算子

第21页，共79页，2023年，2月20日，星期六22框架理论对偶框架定义

则

也是框架，且其框架界为B-1和A-1称是的对偶框架设是框架令：第22页，共79页，2023年，2月20日，星期六23框架理论对偶框架算子

可以得到：设对偶框架的框架算子则：第23页，共79页，2023年，2月20日，星期六248.4多分辨率分析和Mallat算法第24页，共79页，2023年，2月20日，星期六25多分辨率分析则空间集合称为依尺度函数的多分辨率分析

定义

若下列条件成立：

(1)嵌套性：(2)稠密性：(3)分立性:(4)尺度性:(5)Riesz基存在性:中一系列嵌套函数子空间序列

构成V0的Riesz基且第25页，共79页，2023年，2月20日，星期六26小波分解和重建{Vk}一个多分辨分析,

{Wk}是{Vk}关于{Vk+1}的补空间

则：对分解

第26页，共79页，2023年，2月20日，星期六27小波分解和重建双尺度方程令：则：分解

第27页，共79页，2023年，2月20日，星期六28小波分解和重建由：推广得：分解

第28页，共79页，2023年，2月20日，星期六29小波分解和重建由于,分别是对应空间的Riesz基：所以(a)分解

第29页，共79页，2023年，2月20日，星期六30小波分解和重建将a式代入得:分解

第30页，共79页，2023年，2月20日，星期六31小波分解和重建由于：，线性无关得分解算法:，

分解算法示意图分解

第31页，共79页，2023年，2月20日，星期六32小波分解和重建重建

第32页，共79页，2023年，2月20日，星期六33小波分解和重建由于：，线性无关得重构算法:小波重建示意图重建

第33页，共79页，2023年，2月20日，星期六348.5Matlab中常用小波基介绍第34页，共79页，2023年，2月20日，星期六35常用小波函数介绍（1）Harr小波

尺度函数第35页，共79页，2023年，2月20日，星期六36常用小波函数介绍（2）Daubechies（dbN)小波系

除db1（Haar小波），其余的db系列小波函数没有解析的表达式第36页，共79页，2023年，2月20日，星期六37常用小波函数介绍（3）Symltes（symN）小波系

sym小波在保持db小波简单性的基础上提高了小波的对称性第37页，共79页，2023年，2月20日，星期六38常用小波函数介绍（4）Coiflet(coifN)小波族

具有更长支集长度和更大消失矩,是对称性比较好的小波系

coif3的小波尺度、小波函数和分解重构滤波器第38页，共79页，2023年，2月20日，星期六39常用小波函数介绍（4）Biorthogonal（biorNr.Nd）双正交小波系

正交基与正交小波变换从数学角度上说是最理想的，但Daubechis已经证明，除Haar基外，所有正交基都不具有对称性。这在图像编码这类型失真的应用中，会引入相位失真，是很不理想的，因此希望有对称性质的小波基。Cohen和Daubechies构造了一类具有紧支撑性和一定正则性的对称双正交小波基，它的主要特性体现在具有线性相位性，主要应用在信号与图像重构。第39页，共79页，2023年，2月20日，星期六40常用小波函数介绍（4）Biorthogonal（biorNr.Nd）双正交小波系

Bior2.4小波、对偶小波及滤波器第40页，共79页，2023年，2月20日，星期六41与小波函数有关的Matlab函数WAVEINFO函数：提供小波工具箱中所有小波信息。WAVEFUN函数：返回一维小波的小波函数和尺度函数（如果尺度函数存在的情况下）的近似值。

WFILTERS函数：返回指定小波的分解和重构滤波器

第41页，共79页，2023年，2月20日，星期六42与小波函数有关的Matlab函数例8。2Matlab程序waveinfo('db');%显示db系小波信息[phi,psi,xval]=wavefun('db2',10);%得到db2的尺度函数和小波函数subplot(242);plot(xval,phi,'k');%显示尺度函数axis([03-0.51.5]);axissquare;title('db2尺度函数');subplot(243);plot(xval,psi,'k');%显示小波函数axis([03-1.51.5]);axissquare;title('db2小波函数');

[lo_d,hi_d,lo_r,hi_r]=wfilters('db2');%得到db2的相关滤波器subplot(245);stem(lo_d,'ok');title('db2分解低通滤波器');subplot(246);stem(hi_d,'ok')；title('db2分解高通滤波器');subplot(247);stem(lo_r,'ok');title('db2重构低通滤波器');subplot(248);stem(hi_r,'ok');title('db2重构高通滤波器');第42页，共79页，2023年，2月20日，星期六43与小波函数有关的Matlab函数例8。2结果第43页，共79页，2023年，2月20日，星期六448.6小波变换在图像编码中的应用第44页，共79页，2023年，2月20日，星期六45数字图像的小波分解设是一个二维可分离的多分辨率分析，，其中是上的一个多分辨率分析，其尺度函数为，小波函数为，那么有相应于二维的可分离的尺度函数和三个可分离的方向敏感小波函数，，为：

第45页，共79页，2023年，2月20日，星期六46数字图像的小波分解沿着不同的方向小波函数会有变化，度量沿着列变化（例如，水平边缘），度量沿着行变化（例如，垂直边缘），则对应于对角线方向。每个小波上的H表示水平方向，V表示垂直方向，D表示对角线方向。第46页，共79页，2023年，2月20日，星期六47数字图像的小波分解由前的尺度和小波函数，定义一个伸缩和平移的基函数：第47页，共79页，2023年，2月20日，星期六48数字图像的小波分解同一维一样，可得到分解算法：第48页，共79页，2023年，2月20日，星期六49数字图像的小波分解令分解序列为Lo_D和Hi_D

数字图像小波分解数据流示意图

第49页，共79页，2023年，2月20日，星期六50数字图像的小波分解数字图像小波分解流程图

第50页，共79页，2023年，2月20日，星期六51数字图像的重构同样，则重构算法：令重构序列为Lo_R和Hi_R

数字图像小波分解数据流示意图

第51页，共79页，2023年，2月20日，星期六52数字图像的分解例其Matlab程序如下：I=imread('cameraman.tif','tif');%读入并显示原始图像figure(1)；subplot(121);imshow(I);[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(I,'db2');%用'db2'小波对图像进行一层小波解I2=[ca1,ch1*4;cv1*4,cd1*4;%组成变换后的矩阵

%图像不能反映实际情况，要作一些处理。min=min(I2(:));max=max(I2(:));subplot(122);imshow(I2,[min,max]);%显示变换后近似和细节图像X=idwt2(ca1,ch1,cv1,cd1,'db2');%用idwt2作反变换rmes=compare(I,X)%反变换结果与原始图像比较第52页，共79页，2023年，2月20日，星期六53数字图像的分解例二维小波一层分解图

第53页，共79页，2023年，2月20日，星期六54数字图像的分解例二维小波一层分解图

第54页，共79页，2023年，2月20日，星期六55数字图像的分解例多级二维小波变换结果

第55页，共79页，2023年，2月20日，星期六56小波基的选择

不同于Fourier分析，小波基不是唯一，显然选择最优的小波基用于图像编码是一个非常困难的事，一般情况下需考虑以下几个因素：小波基的正则性和消失矩；小波基的线性相位；要处理图像与小波基的相似性；小波函数的能量集中性；综合考虑压缩效率和计算复杂度。第56页，共79页，2023年，2月20日，星期六57小波基的选择

图像压缩中几种常用小波基

N0±1±3±3±445/6419/64-1/8-3/643/1281/21/4

双正交样条小波bior2.4

第57页，共79页，2023年，2月20日，星期六58小波基的选择

双正交样条小波，接近正交性的

N0±1±3±3±40.6029490.266864-0.078223-0.0168640.0267490.5575430.295636-0.028772-0.0456360第58页，共79页，2023年，2月20日，星期六59小波基的选择

双正交样条小波，接近正交性的bior4.4

N0±1±3±3±40.60.25-0.050017/2873/280-3/56-3/2800第59页，共79页，2023年，2月20日，星期六60小波基的选择

双正交样条小波(jpeg9.7)

N0±1±3±3±40.6029490.266864-0.078223-0.0168640.0267491.11510.59127-0.057544-0.0912720第60页，共79页，2023年，2月20日，星期六61小波变换域小波系数分析1.小波变换的能量紧致性分析

子图（M*N个像素）的能量定义为:

第61页，共79页，2023年，2月20日，星期六62小波变换域小波系数分析2.小波变换系数分析

图号最大值最小值均值方差能量比层能量合计LL4213.40.8696.9272141.886.31

92.01

4.36

2.56

1.07HL4109.0-113.94-0.142281.32.10LH4129.9-114.13-0.085374.92.81HH483.6-67.590.074105.80.79HL3167.3-131.52-0.191260.11.95LH3102.2-148.53-0.095248.51.86HH369.0-88.400.051474.030.55HL2139.2-117.460.097151.91.14LH2136.7-170.36-0.024138.31.04HH277.3-113.20-0.00151.30.38HL175.7-92.010.03757.80.43LH167.2-92.61-0.06158.30.43HH158.3-59.27-0.01127.90.21Lena图小波系数统计分析表

第62页，共79页，2023年，2月20日，星期六63小波变换域小波系数分析2.小波变换系数分析

各层小波系数分布图

第63页，共79页，2023年，2月20日，星期六64小波变换域小波系数分析

小波系数规律:

（1）

随着分层数的增加，小波系数的范围越来越大，说明越往后层次的小波系数越重要。（2）除LL4外，其他子带方差和能量明显减少，充分说明低频系数在图像编码中的重要性。（3）对同一方向子带，按从高层到低层（从低频到高频）子带，有：HL4→HL3→HL2→HL1，LH4→LH3→LH2→LH1，HH4→HH3→HH2→HH1，大部分情况下其方差从大到小，有一定的变换规则。（4）第一层中有90%的系数绝对值集中在0零附近。以上规律对图像压缩编码算法有很重要的指导意义

第64页，共79页，2023年，2月20日，星期六65小波变换域小波系数分析

例第65页，共79页，2023年，2月20日，星期六66直接阈值编码法

对小波系数C(i,j),在图像压缩中常用的阈值法为：

阈值化处理的关键问题是选择合适的阈值的选取，如果阈值太小，压缩效果不明显，阈值太大，压缩图像重构就是丢失很多细节，产生模糊

第66页，共79页，2023年，2月20日，星期六67直接阈值编码法小波变换系数的二种阈值方法：

对所有子带用一个全局阈值；

对各子带分别用不同的阈值；第67页，共79页，2023年，2月20日，星期六68直接阈值编码法例第68页，共79页，2023年，2月20日，星期六69基于小波树结构的矢量量化法人眼视觉系统是对高频分量不敏感，而对低频分量反应很敏感。根据这一特点，在压缩时应尽量降低低频分量的失真，即在量化编码的码率分配时，低频区码率相对高，高频区码率相对低。二级小波分解和矢量量化位率分配图第69页，共79页，2023年，2月20日，星期六70基于小波树结构的矢量量化法前面章节已经指出若对图像进行L层分解,其变换系数有以下几个特点：（1）图像的能量主要集中在低频的LL子带上。（2）子带LH，HL，HH表现出明显的方向性，它们分别代表水平、垂直和对角方向的边沿或纹理信号。（3）各子带的相应位置的系数有明显的相关性。

第70页，共79页，2023年，2月20日，星期六71基于小波树结构的矢量量化法

例矢量量化结果

第71页，共79页，2023年，2月20日，星期六72嵌入式小波零树编码（1）零树表示小波系数分三种情形：

①零树根；

②孤立零；

③重要系数。

第72页，共79页，2023年，2月20日，星期六73嵌入式小波零树编码系数编码时的扫描顺序图

第73页，共79页，2023年，2月20日，星期六74嵌入式小波零树编码系数编码的流程图

第74页，共79页，2023年，2月20日，星期六75嵌入式小波零树编码（2）逐次逼近量化

逐次逼近量化是逐次使用阈值序列T0，T1，…，TN-1以决定重要系数，其中阈值序列的选取是Ti