数学建模训练 第一章 建立数学模型

数学建模训练第一章建立数学模型第1页，共33页，2023年，2月20日，星期六玩具、照片、房屋模型……~实物模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型：为了一定目的，对原型的主要特征进行简化、抽象得到的一个低代价近似替代物。你常见的模型数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的对象,从而更有效地解决实际问题。1.1

什么是数学模型第2页，共33页，2023年，2月20日，星期六解：用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解你熟悉的数学模型——“航行问题”第3页，共33页，2023年，2月20日，星期六作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答问题（船速每小时20千米/小时）。航行问题建立数学模型的基本步骤That’sall？第4页，共33页，2023年，2月20日，星期六更现实的“航行问题”水速、船速不是常数；航行条件限制调度问题经济问题………第5页，共33页，2023年，2月20日，星期六扩展阅读：中国大学生数学建模竞赛

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可在竞赛网站下载A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A11A711A11A8A11A911A11A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一第6页，共33页，2023年，2月20日，星期六一句话小结数学模型是复杂现实问题的合理简化，可反映现实问题的主要特征。第7页，共33页，2023年，2月20日，星期六通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的对象,从而更有效地解决实际问题。建立数学模型的全过程（包括模型假设，模型表述、问题求解、结果解释、结论检验等）数学模型(MathematicalModel)数学建模（MathematicalModeling)数学模型和数学建模第8页，共33页，2023年，2月20日，星期六你身边的数学模型：购房贷款作为房产公司的代理人，你要迅速准确回答客户各方面的问题。现在要制作一个软件，根据客户所选房屋的建筑面积、每平方米单价、首付比例，贷款种类、贷款期限、还款方式等信息计算下列信息：房款总额、首付款额、月还款额等。NEW第9页，共33页，2023年，2月20日，星期六分析与假设贷款种类:[1]商业[2]公积金[3]组合(一般)还款方式:等额本息,等额本金假设首付比例、贷款期限符合政府规定假设自借款日一个月后，每月固定时间还款不考虑贷款利率的变化（当前计算结果贷款利率改变以后失效）第10页，共33页，2023年，2月20日，星期六数学建模房款总额T=建筑面积S×每平方米单价R首付款额F=房款总额T×首付比例p考虑组合贷款(其他为特例)。设公积金贷款AT-F元，那么商业贷款为B=T-F-A元设后台变量：公积金贷款N1月，年利率r1，商业贷款N2月，年利率r2。月还款额怎么算？概念：月利率=年利率/12第11页，共33页，2023年，2月20日，星期六等额本息情形设公积金月还M元，第n个月公积金贷款欠款xn.那么xn=xn-1(1+r1/12)-M,计算得xn=xn-2(1+r1/12)2-M(1+r1/12)-M

=…=x0(1+r1/12)n-M[(1+r1/12)n-1+…+1]由于x0=A,xN1=0.那么A

(1+r1/12)N1-12M[(1+r1/12)N1-1]/r1=0这样M=Ar1(1+r1/12)N1

/12/[(1+r1/12)N1-1]同理可以计算商业贷款月还款额第n月还款额公式第12页，共33页，2023年，2月20日，星期六等额本金情形月还本贷款本金／还款月数，利息月月清月还款额＝（贷款本金／还款月数）＋（所欠本金×当月利率）第一个月公积金月还A/N1+Ar1/12第二个月公积金月还A/N1+(A-A/N1)r1/12….第N1个月公积金月还A/N1+A[1-(N1-1)/N1]r1/12第n月还款额公式第13页，共33页，2023年，2月20日，星期六后继工作/例子收集数据，编写软件(界面\计算)，写说明书。例子:80平米,单价15000元,首付30%,公积金40万,期限20年,第一套房商业利率7.05%*0.85,公积金利率4.9%(2012年1月1日～6月7日).[T,F,M]=hmorgage2012(80,15000,0.3,400000,240,240,1)等额本息(1):5768元/月(总借84万，约还138万)等额本金(2):7331，7315，…,3516(约还130万)第14页，共33页，2023年，2月20日，星期六习题补充题1:如果是第二套住房，且全部为商业贷款（基准利率*1.1）,等额本息每个月要付多少?最新情况(2012年7月6日)：第一套房商业利率6.55%*0.85，公积金4.5%.补充题2:如果原案例（第一套）是2012年3月1日贷款买房，2013年的月还款将调整为多少？(提示：存量房贷利率每年1月1日调整一次,可假设2012年8月以后利率不再调整)第15页，共33页，2023年，2月20日，星期六一句话小结只要你留意，数学建模就在你身边数学建模正在不断更新中第16页，共33页，2023年，2月20日，星期六场景1.3示例：

如何施救药物中毒两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是100~200mg，儿童是3~5mg/kg.过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高，浓度100μg/ml会出现严重中毒,浓度200μg/ml可致命.医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200μg/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.第17页，共33页，2023年，2月20日，星期六调查与分析转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药物体外认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型”

.药量x(t)药量y(t)血液系统对药物的吸收率和排除率可以由半衰期(下降一半所需时间)确定.半衰期可以从药品说明书上查到(氨茶碱被吸收的半衰期为5h，排除的半衰期为6h)

.第18页，共33页，2023年，2月20日，星期六通常，血液总量约为人体体重的7%

~8%，体重50~60kg的成年人有4000ml左右的血液.目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml.调查与分析血药浓度=药量/血液总量口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍.临床施救的办法：体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证.第19页，共33页，2023年，2月20日，星期六模型假设

1.胃肠道中药物向血液的转移率与x(t)成正比，比例系数λ(>0)，总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道,x(0)=1100.2.血液系统中药物的排除率与y(t)成正比，比例系数μ(>0)，t=0时血液中无药物,y(0)=0.3.氨茶碱被吸收的半衰期为5h，排除的半衰期为6h.4.孩子的血液总量为2000ml.胃肠道中药量x(t),血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）.第20页，共33页，2023年，2月20日，星期六模型建立转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药物体外药量x(t)药量y(t)???注意:药物的转移\排除并不是匀速的!第21页，共33页，2023年，2月20日，星期六模型建立x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数λ),转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药物体外药量x(t)药量y(t)y(t)由吸收而增长的速度是λx，由排除而减少的速度与y(t)成正比(比例系数μ).血药浓度=药量/血液总量x(0)=1100y(0)=0第22页，共33页，2023年，2月20日，星期六模型求解

药物吸收的半衰期为5h药物排除的半衰期为6h只考虑血液对药物的排除第23页，共33页，2023年，2月20日，星期六血液总量2000ml血药浓度200μg/ml结果及分析胃肠道药量血液系统药量血药浓度100μg/mly(t)=200mg严重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3h后将有生命危险！y(2)=236.5第24页，共33页，2023年，2月20日，星期六施救方案

口服活性炭使药物排除率μ增至原来的2倍.

孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t)λ=0.1386(不变)，μ=0.1155×2=0.2310注意：施救前的

μ与施救后的

μ不同，须分段计算！第25页，共33页，2023年，2月20日，星期六施救方案

t=5.26z=318施救后血液中药量z(t)显著低于y(t).

z(t)最大值低于致命水平.要使z(t)在施救后立即下降，可算出μ至少应为0.4885.若采用体外血液透析，μ可增至0.1155×6=0.693，血液中药量下降更快(习题7)；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定.第26页，共33页，2023年，2月20日，星期六一句话小结数学建模用数学方法可以帮助我们（以较低的成本）对情况的发展做预判，从而帮助我们做出正确的决策。数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的对象,从而更有效地解决实际问题。第27页，共33页，2023年，2月20日，星期六习题P21:ex6,ex7第28页，共33页，2023年，2月20日，星期六数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究