振动与波概论

振动与波概论第1页，共100页，2023年，2月20日，星期六一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧—物体系统平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧—质量忽略不计，形变满足胡克定律

物体—可看作质点简谐振动微分方程令得解第2页，共100页，2023年，2月20日，星期六结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：当时摆球对C点的力矩二、微振动的简谐近似单摆l第3页，共100页，2023年，2月20日，星期六其通解为：一、简谐振动的运动学方程4-2简谐振动的运动学简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程速度加速度第4页，共100页，2023年，2月20日，星期六x～t,v～t,a～t三种曲线：第5页，共100页，2023年，2月20日，星期六二、简谐振动的特征量：A：振幅,单位：mT:周期,单位：s：圆频率，单位：rad/s:

相位，它是反映质点在t时刻振动状态的物理量。单位：rad:

初相,

t＝0时刻的位相。第6页，共100页，2023年，2月20日，星期六谐振动的曲线表示法说明:1）x～t曲线不是质点运动的轨迹。2）质点在a、c两时刻的运动状态（位移、速度）相同，因此，a、c时间间隔是一个周期。3）一个周期内没有相同的运动状态。质点的运动状态如相同，则对应的位相之间必相差2π或2π的整数倍。abcA-A0T2Ttx第7页，共100页，2023年，2月20日，星期六即：得：由t=0时，x=x0,v=v0(初始条件）常数A和

的确定第8页，共100页，2023年，2月20日，星期六例1、劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的木块按下图两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期。证：第9页，共100页，2023年，2月20日，星期六5-10017X(cm)t(s)A=10cmT=12st=0∵v0<0

∴例2.一谐振动的余弦曲线如图，求A，ω和第10页，共100页，2023年，2月20日，星期六例3：说明X2与X1的位相差：在位相上：X2比X1超前在时间上：X2比X1超前第11页，共100页，2023年，2月20日，星期六三、简谐振动的旋转矢量表示法0t=0xt+0t=toX1、2象限，投影点P:v<03、4象限，投影点P:v>0P第12页，共100页，2023年，2月20日，星期六用旋转矢量表示相位关系同相反相比超前第13页，共100页，2023年，2月20日，星期六∵va<0∴旋转矢量a如图红线所示，0=2π/3例4.已知如图所示的简谐振动曲线，试写出振动方程t(s)420-2-41bx(cm)aat=0bt=1s

x则做旋转矢量图∵vb>0∴旋转矢量b如图蓝线所示，t+0=5π/3第14页，共100页，2023年，2月20日，星期六求振动方程解题思路：作旋转矢量图OXt=0t=1s例5：021t(s)X(m)第15页，共100页，2023年，2月20日，星期六符合符合符合符合只要符合以下条件中任意一条，质点即作简谐振动：小结：谐振动的特征第16页，共100页，2023年，2月20日，星期六以弹簧振子为例谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数4-3简谐振动的能量第17页，共100页，2023年，2月20日，星期六动能势能情况同动能。机械能简谐振动系统机械能守恒第18页，共100页，2023年，2月20日，星期六由起始能量求振幅xtTEEpoEtEk(1/4)kA2第19页，共100页，2023年，2月20日，星期六实际振动系统系统沿x轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。在该位置（取x=0）附近将势能函数作级数展开微振动系统一般可以当作谐振动处理第20页，共100页，2023年，2月20日，星期六图示为双原子分子的势能曲线Ep，r是两原子之间的距离。设其中一个原子静止于0点，r0处曲线斜率为零，两原子相互作用力为零，r0为分子内两原子间的平衡距离。此时Ep最低，分子在r0附近做微振动，此振动可以近似看做谐振动。双原子分子微振动势能曲线第21页，共100页，2023年，2月20日，星期六例1.一单摆的悬线长l=1.5m，在顶端固定点的铅直下方0.45m处有一小钉,如图，设两方摆动均较小，问单摆的左右两方振幅之比A１／Ａ２为多少？

0.45解：

左右摆长分别为l１＝1.5－0.45＝1.05m,l2＝1.5m,将单摆的摆动近似看作简谐振动，摆动过程中总机械能守恒。第22页，共100页，2023年，2月20日，星期六一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动,其频率仍为质点同时参与同方向同频率的谐振动:合振动:4-4简谐振动的合成*振动的频谱分析第23页，共100页，2023年，2月20日，星期六如A1=A2,则A=0两分振动相互加强两分振动相互减弱分析若两分振动同相：若两分振动反相:第24页，共100页，2023年，2月20日，星期六合振动不是简谐振动式中随t缓变随t快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动二.同方向不同频率简谐振动的合成分振动合振动当2≈1时,第25页，共100页，2023年，2月20日，星期六拍

合振动忽强忽弱的现象拍频

:单位时间内强弱变化的次数

=|2-1|

xtx2tx1t第26页，共100页，2023年，2月20日，星期六*三、振动的频谱分析振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。若周期振动的频率为:0则各分振动的频率为:0、20、30(基频,二次谐频,三次谐频,…)按傅里叶级数展开第27页，共100页，2023年，2月20日，星期六方波的分解0tx1t0x3t0x5t0x1+x3+x5+x0x0t第28页，共100页，2023年，2月20日，星期六一、阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。4-5阻尼振动受迫振动共振第29页，共100页，2023年，2月20日，星期六阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子受阻力系统固有角频率阻尼系数弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比—阻力系数第30页，共100页，2023年，2月20日，星期六弱阻尼弱阻尼

每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，阻尼振动的准周期越接近于谐振动的固有周期。阻尼振动的准周期振幅按指数衰减第31页，共100页，2023年，2月20日，星期六临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置第32页，共100页，2023年，2月20日，星期六二、受迫振动受迫振动振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程令周期性外力——策动力第33页，共100页，2023年，2月20日，星期六稳定解(1)频率:等于策动力的频率p(2)振幅:(3)初相:特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化阻尼振动简谐振动第34页，共100页，2023年，2月20日，星期六三、共振在一定条件下,振幅出现极大值,振动剧烈的现象。1、位移共振(1)共振频率:(2)共振振幅:第35页，共100页，2023年，2月20日，星期六2、速度共振——能量共振一定条件下,速度振幅极大的现象。速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。

第36页，共100页，2023年，2月20日，星期六不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。1、内在的非线性因素发生非线性振动的原因：振动系统内部出现非线性回复力振动系统的参量不能保持常数，如漏摆、荡秋千。*4-6

非线性振动简介一、非线性振动概述单摆（或复摆）的回复力矩自激振动第37页，共100页，2023年，2月20日，星期六1、外在的非线性影响非线性阻尼的影响策动力为位移或速度的非线性函数如如线性振动与非线性振动的最大区别：线性振动满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理第38页，共100页，2023年，2月20日，星期六近似简化、图解、计算机处理研究方法：微扰法二、非线性振动研究的方法及意义相平面法第39页，共100页，2023年，2月20日，星期六声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波。波既可以是运动状态的传递而非物质的自身运动，也可以是物质本身的运动结果，甚至把波直接看作一种粒子。第五章机械波各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如，声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，至于光波有时可以直接把它看作粒子—光子的运动（光的波粒二相性）。第40页，共100页，2023年，2月20日，星期六5-1机械波的产生和传播一、机械波产生的条件如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。1、有作机械振动的物体，即波源2、有连续的介质波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。后面质点的振动规律与前面质点的振动规律相同，只是位相上有一个落后。第41页，共100页，2023年，2月20日，星期六二、横波和纵波横波——振动方向与传播方向垂直，如电磁波纵波——振动方向与传播方向相同，如声波。第42页，共100页，2023年，2月20日，星期六第43页，共100页，2023年，2月20日，星期六横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体中传播。纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、液体、气体中传播。结论：机械波向外传播的是波源（及各质点）的振动状态和能量。第44页，共100页，2023年，2月20日，星期六三、波线和波面波场--波传播到的空间。波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的曲面。波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态传到的波面。波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。四、简谐波波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。

各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直，沿波线方向各质点的振动相位依次落后。第45页，共100页，2023年，2月20日，星期六波线波面波面波线平面波球面波波面波线波线波面第46页，共100页，2023年，2月20日，星期六1、波长λ—同一时刻，两个相邻的相位差为2的振动质点间的距离。波源完成一次全振动，波传播的距离等于一个波长。

3、频率n—单位时间内质点振动的次数。2、波的周期T

—波传过一个波长的时间，也就是波源完成一次全振动所需的时间。五、波长、波的周期和频率

波速第47页，共100页，2023年，2月20日，星期六在波动过程中，某一振动状态在单位时间内传播的距离。波速由介质的弹性性质和惯性性质决定。4、波速：

式中：F为弦线和柔绳中的张力，为密度。例：横波在弦线和柔绳中的传播速度：第48页，共100页，2023年，2月20日，星期六一、平面简谐波的波动方程平面简谐波简谐波的波面是平面。(可当作一维简谐波研究）5-2平面简谐波的波动方程一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，x轴即为某一波线设原点振动表达式：y表示该处质点偏离平衡位置的位移x为p点在x轴的坐标第49页，共100页，2023年，2月20日，星期六p点的振动方程：t时刻p处质点的振动状态重复时刻O处质点的振动状态O点振动状态传到p点需用沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动为p点的振动落后与原点振动的时间沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程第50页，共100页，2023年，2月20日，星期六若波源（原点）振动初位相不为零则波矢，表示在2长度内所具有的完整波的数目。第51页，共100页，2023年，2月20日，星期六二、波动方程的物理意义1、如果给定x，即x=x0tTTx0处质点的振动初相为为x0处质点落后于原点的位相为x0处质点的振动方程则y=y(t)若x0=则x0处质点落后于原点的位相为2是波在空间上的周期性的标志第52页，共100页，2023年，2月20日，星期六2、如果给定t，即t=t0

则y=y(x)表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布，即给定了t0

时刻的波形同一波线上任意两点的振动位相差XYOx1x2同一质点在相邻两时刻的振动位相差T是波在时间上的周期性的标志第53页，共100页，2023年，2月20日，星期六3.如x,t均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形t时刻的波形方程t+t时刻的波形方程t时刻,x处的某个振动状态经过t，传播了x的距离第54页，共100页，2023年，2月20日，星期六在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x行波讨论各质点在给定时刻的振动方向

t时刻

t+

时刻第55页，共100页，2023年，2月20日，星期六例1：沿X轴正方向传播的平面简谐波、在t=0时刻的波形如图，问（1）原点O的初相及P点的初相各为多大？（2）已知A及，写出波动方程。0p解题思路：YO思考:1、求O、P两点之间的位相差。2、若上图为t=2s时刻的波形图，重新讨论上面各问题。第56页，共100页，2023年，2月20日，星期六YOOp思考:1、求O、P两点之间的位相差。2、若上图为t=2s时刻的波形图，重新讨论上面各问题。第57页，共100页，2023年，2月20日，星期六例2：一平面简谐波某时刻的波形图如下，则OP之间的距离为多少厘米。0p220cm解题思路：YO设波向右传播（P点落后于O点)O点位相P点位相第58页，共100页，2023年，2月20日，星期六例3：如图，已知P点的振动方程：写出波动方程。或第59页，共100页，2023年，2月20日，星期六例4：如图，已知P点的振动方程：写出波动方程。或第60页，共100页，2023年，2月20日，星期六例5:一平面简谐波以波速u=0.5m/s沿x轴负方向传播,t=2s时刻的波形如图所示,求波动方程。x(m)y(m)o0.512u解：设波动方程为:由图可得:=2m,A=0.5m=2=2u/=/2YOv>0第61页，共100页，2023年，2月20日，星期六*三、平面波的波动微分方程沿x方向传播的平面波动微分方程求t的二阶导数求x的二阶导数第62页，共100页，2023年，2月20日，星期六一、波的能量和能量密度波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。有一平面简谐波质量为在x处取一体积元质点的振动速度5-3波的能量*声强体积元内媒质质点动能为第63页，共100页，2023年，2月20日，星期六体积元内媒质质点的弹性势能为体积元内媒质质点的总能量为：1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，这不同于孤立振动系统。说明2）在波传动过程中，任意体积元的能量dE在做周期性变化，波动的过程实际上也是能量传播的过程。第64页，共100页，2023年，2月20日，星期六

能量极小能量极大弹性势能与媒质元的相对形变量的平方成正比，也就是与波形图上的斜率平方成正比。第65页，共100页，2023年，2月20日，星期六能量密度

单位体积介质中所具有的波的能量。平均能量密度

一个周期内能量密度的平均值。此式适用于各种弹性波第66页，共100页，2023年，2月20日，星期六能流:单位时间内通过介质中某一截面的能量。二、波的能流和能流密度平均能流：在一个周期内能流的平均值。

如果S是任意的截面，此时上式应改为：

也适用于球面波单位：W第67页，共100页，2023年，2月20日，星期六能流密度（波的强度I）：通过垂直于波速方向的单位面积的平均能流。波强是矢量，其方向与波速方向相同。波强是与振幅的平方成正比，其单位是W/m2。能流电流能量电量能流密度电流密度第68页，共100页，2023年，2月20日，星期六例：如图，某一点波源发射功率为40瓦，求球面波上单位面积通过的平均能流。r=1m解：第69页，共100页，2023年，2月20日，星期六（1）在均匀不吸收能量的介质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。证明：因为所以在单位时间内通过和面的能量应该相等所以平面波振幅相等。

平面波和球面波的振幅第70页，共100页，2023年，2月20日，星期六设距波源单位距离的振幅为A，则距波源r处的振幅为（2）球面波振幅与它离波源的距离成反比。第71页，共100页，2023年，2月20日，星期六*三、波的吸收波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。波强的衰减规律：*四、声压、声强和声强级声压：介质中有声波传播时的压力与无声波时的静压力之间的压差。平面简谐波，声压振幅为第72页，共100页，2023年，2月20日，星期六引起人听觉的声波有频率范围和声强范围声强级人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定声强：声波的能流密度。频率越高越容易获得较大的声压和声强第73页，共100页，2023年，2月20日，星期六一、

惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。S2S1用惠更斯原理解释波的传播行为5-4惠更斯原理波的叠加和干涉第74页，共100页，2023年，2月20日，星期六惠更斯原理解释波的衍射：如你家在大山后,听广播和看电视哪个更容易?(若广播台、电视台都在山前侧)※狭缝（障碍）线度越接近波的波长衍射现象越明显。第75页，共100页，2023年，2月20日，星期六二、波的叠加各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。波传播的独立性原理或波的叠加原理：说明：振动的叠加仅发生在单一质点上波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上能分辨不同的声音正是这个原因第76页，共100页，2023年，2月20日，星期六能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。第77页，共100页，2023年，2月20日，星期六两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为波的干涉。相干条件恒定的相位差振动方向相同两波源具有满足相干条件的波源称为相干波源。三、波的干涉相同的频率｛第78页，共100页，2023年，2月20日，星期六传播到p点引起的振动分别为：在p点的振动为同方向同频率振动的合成。设有两个相干波源S1和S2发出的简谐波在空间p点相遇。合成振动为：第79页，共100页，2023年，2月20日，星期六其中：由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。其中：第80页，共100页，2023年，2月20日，星期六相长干涉的条件：相消干涉的条件：第81页，共100页，2023年，2月20日，星期六当两相干波源为同相波源时，相干条件写为相长干涉相消干涉称为波程差波的非相干叠加SS2S1产生相干波源的一种方法第82页，共100页，2023年，2月20日，星期六例位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相位差为，其A、B相距30米，波速为400米/秒，求:A、B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：第83页，共100页，2023年，2月20日，星期六因为：第84页，共100页，2023年，2月20日，星期六5-5驻波一、驻波方程驻波是两列振幅、频率相同，但传播方向相反的简谐波的叠加。第85页，共100页，2023年，2月20日，星期六函数不满足它不是行波它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。驻波的特点：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。第86页，共100页，2023年，2月20日，星期六驻波的形成第87页，共100页，2023年，2月20日，星期六1、波腹与波节驻波振幅分布特点二、驻波的特点第88页，共100页，2023年，2月20日，星期六相邻波腹间的距离为：相邻波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为：因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。第89页，共100页，2023年，2月20日，星期六2、驻波的位相的分布特点时间部分提供的相位对于所有的x是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。第90页，共100页，2023年，2月20日，星期六当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。三、半波损失入射波在反射时发生反相位的现象称为半波损失。折射率较大的媒质称为波密媒质；折射率较小的媒质称为波疏媒质.有半波损失无半波损失当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。第91页，共100页，2023年，2月20日，星期六在绳长为l的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件：*四、简正模式（或本征振动）即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些频率称为弦振动的本征频率，对应的振动方式称为该系统的简正模式（Normalmode).对应k=2,3,…的频率为谐