数学八年级下册第6章平行四边形教案北师大版

1平行四边形的性质

第1课时平行四边形的边、角特征

1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，使学生理解平行四边形的概念和性

质．

2．探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等的性质．

3．在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识和合作交流的习惯．

重点

理解并掌握平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质以及性质的应用．

难点

能够运用平行四边形的性质进行有关的证明和计算．

一、情境导入

我们一起来观察下面的图片，想一想它们是什么几何图形的形象？

学生观察回答：平行四边形．

平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？

这节课我们一起来探讨平行四边形的定义及其性质．

二、探究新知

1．平行四边形的概念

活动：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张．将纸对折，剪下两张叠放的三角

形纸片，将它们相等的一边重合，拼出一个四边形．

(1)你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；

(2)给出小明拼出的四边形如下图，观察这个四边形的两组对边有怎样的位置关系？说

说你的理由．

处理方式：教师先让学生分小组讨论交流，并积极引导学生发现这个图形是平行四边

形，它的两组对边分别平行．

平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的不相邻

的两个顶点连成的线段叫做它的对角线．平行四边形表示为“”．

强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形；②两组对边分别平行，即AD∥BC

且AB∥DC.

2.平行四边形的性质

(1)平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗？

(2)你还发现平行四边形有哪些性质呢？

这个探索活动与第一环节的探索活动有所不同，这个探索活动是从整体的角度研究平行

四边形中心对称性的特征，明确了两条对角线的交点就是其对称中心，感知平行四边形的对

边，对角的性质．

师生共同归纳总结：

平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中

心．平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等．

思考：有哪些方法可以说明平行四边形的边、角特征？

(1)通过剪纸、拼纸片及旋转，可以观察到平行四边形的对边、对角分别相等．

1

(2)可以通过推理来证明这个结论．

例：已知：如图①，四边形ABCD是平行四边形．

求证：AB＝CD，BC＝DA.

证明：如图②，连接AC.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC,AB∥CD.

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

在△ABC和△CDA中，

∵∠1＝∠2，AC＝CA，∠3＝∠4，

∴△ABC≌△CDA(ASA)．

∴AB＝CD,BC＝DA.学生独立证明：平行

四边形的对角相等．

定理：平行四边形的对边相等．定理：

平行四边形的对角相等．

三、举例分析

例已知：如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.

求证：BE＝DF.

处理方式：先找三名学生板书，其余学生在练习本上完成后小组内进行讨论交流，小

组长对本组学生出现的答案进行汇总并尽可能通过交流达到统一．教师结合学生的板书情况，

对做题的格式进行规范和强调．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD.

∴∠BAE＝∠DCF.

又∵AE＝CF，

∴△BAE≌△DCF(SAS)．

∴BE＝DF.

议一议：如果已知平行四边形一个内角的度数，能确定其他三个内角的度数吗？

由平行四边形对边分边平行得到邻角互补；又由于平行四边形对角相等，由此已知平行

四边形一个内角的度数，可以确定其他三个为角的度数．

四、练习巩固

1．在▱ABCD中．

(1)若∠A＝130°，则∠B＝______，∠C＝______，∠D＝______；

(2)若∠A＋∠C＝200°，则∠A＝______，∠B＝______；

(3)连接AC，若∠D＝80°，∠DAC＝40°，则∠B＝______，∠BAC＝______．

2．如图，在▱ABCD中，BC＝10cm，AC＝8cm，BD＝14cm.则△ABC与△DBC的周长哪个

长，长多少？

五、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

六、课外作业

1．教材第137页“随堂练习”第2题．

2

2．教材第137页习题6.1第1～4题．

在整个教学设计中，知识的获得并不是传统式的灌输，而且首先设置了一些问题来慢慢

诱导启发，而问题的设置又具有阶梯性，这样做起到了两个作用：一是知识的问题化，使得

学生有思考、交流、合作的空间，真正体现了以学生为主体的原则；二是问题的层次化，降

低了学生探究的难度，更容易突破难点．其次，平行四边形的定义和性质定理的探究，全部

是通过学生自己动手实践操作、观察、验证，小组合作交流探讨得到，真正做到了“以学生

为主体，探究为主线”的教育理念．

第2课时平行四边形的对角线特征

1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．

2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题．

3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．

重点

掌握平行四边形对角线互相平分的性质．

难点

能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算和证明．

一、情境导入

首先给大家讲一个故事(电脑显示)：一位饱经沧桑的老人，经一辈子的辛勤劳动，到晚

年的时候，他已经拥有一块近似平行四边形的土地．他决定把这块土地分给他的四个孩子，

他是这样分的：

当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分得的地少，同学们，老人这样分地合理

吗？

师：合理不合理关键看平行四边形的对角线有什么性质，这节课我们就来研究．(板书

课题)

二、探究新知

问题1：如图，平行四边形ABCD中有哪些线段相等？还有一些线段可以通过平移或旋

转得到，你能找出来吗？

结论：线段AO沿AO方向平移|AO|后可得线段OC，线段BO沿BO方向平移|BO|后

可得线段OD；线段OA绕点O沿某一方向旋转180°后能与线段OC重合，线段OB绕点O沿

某一方向旋180°后能和线段OD重合．

处理方式：教师引导学生在平行四边形中通过平移、旋转的方法发现平行四边形对角线

互相平分的性质．

活动效果：能够达到引导、发现目的并且复习了平移、旋转的知识．

问题2：你发现平行四边形两条对角线之间有什么关系？(平行四边形的对角线互相平

分)

思考：你能设法验证你的结论吗？

3

解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，

∴AD＝BC，AD∥BC(平行四边形对边平行且相等)．

∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO.

∴△AOD≌△COB(ASA)．

∴OA＝OC，OB＝OD(全等三角形的对应边相等)，

即平行四边形对角线互相平分．

师生归纳：平行四边形性质定理：平行四边形对角线互相平分．

思考：你还有其他证明方法吗？与同伴交流．(利用

“ASA”证△ABO≌△CDO)

注意：

因为有上节课的基础，学生对于定理的证明已具备一定的基础，但是在证明完定理后应

该给学生强调：定理的证明只是让学生进一步理解定理，而在定理的运用时则没必要这么麻

烦，直接由平行四边形可得出其对角线互相平分．

三、举例分析

例1如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别

与AD，BC交于点E，F.求证：OE＝OF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC.OA＝OC.

∴∠DAC＝∠ACB.又∵∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF(ASA)．

∴OE＝OF.

思考：还有其他证明方法吗？(也可以证明△BOF≌△DOE.)

处理方式：学生先交流、讨论后再独立完成，最后教师给予讲解．

例2如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,∠ADB＝90°，OA＝6，OB＝

3.求AD和AC的长度．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC＝6，OB＝OD＝3.

∴AC＝12.

又∵∠ADB＝90°，

∴在Rt△ADO中，根据勾股定理，得

OA2＝OD2＋AD2，

∴AD＝33.

处理方式：学生互换互批，并找出解题步骤中的疏忽．教师注意巡视指导．

四、练习巩固

1.如图，ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知△AOD的周长是80cm，AD的长

是35cm，求AC＋BD的长．

2.已知▱ABCD的周长是28cm，AC与BD交于点O，其中△AOB的周长比△OBC的周长多

4cm，则AB＝________cm，BC＝________cm.

3．如图，在▱ABCD中，EF过对角线的交点O，且分别交BC，AD于E，F两点，若AB＝4

cm，BC＝7cm，OE＝3cm，求四边形EFDC的周长．

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五、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

六、课外作业

1．教材第139页“随堂练习”．

2．教材第139页习题6.2第1～4题．

本节课的内容较为简单，对于性质的证明也只是用三角形全等去研究．在教学中注意渗

透解决四边形问题时可以转化成三角形的转化思想．学生在写已知和求证时遇到困难，以后

在这方面要加强练习．对于性质的应用先从最简单的计算开始，避免学生不用今天所学的性

质进行计算，而是先证明全等再寻找线段相等关系．当我们遇到这类问题的时候，应该是帮

学生打开思路，让他们豁然开朗．

2平行四边形的判定

第1课时平行四边形的判定定理1和定理2

1．经历平行四边形判别方法的探索过程，发展学生合情推理能力，逐步掌握说理的基

本方法．

2．探索并证明平行四边形的判定定理，发展演绎推理能力，并能应用平行四边形的判

定方法解决问题.

3．体会证明过程中的类比、转化等数学思想，培养学生的学习热情．

重点

平行四边形判定定理的探究，运用平行四边形的判定定理解决问题．

难点

掌握综合法证明问题的思路方法．

一、复习导入

问题1：平行四边形的定义是什么？

问题2：平行四边形有哪些性质？

问题3：小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃ABCD，但他不小心碰碎了一部分，

他只好拿着剩下的玻璃去玻璃店，聪明的技师很快将原来的平行四边形画了出来，你知道他

用的是什么方法吗？

二、探究新知

探究一：

取四根木条，其中两根长度相等，另两根长度也相等，能否在平面内将这四根木条首尾

顺次相接搭成一个平行四边形？说说你的理由．

预设学生回答：

1．选择相等的两根木条作为对边，并且只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组

对边才能摆出平行四边形．

2．有两组对边分别相等的四边形一定是平行四边形．

3．连接对角线，利用三角形全等和平行四边形的定义证

明．定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

已知：如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.

求证：四边形ABCD是平行四边形．

5

证明：如图②，连接BD.

在△ABD和△CDB中，

∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，

∴△ABD≌△CDB(SSS)．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

∴AB∥CD，AD∥CB.

∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义)．

处理方式：学生以小组为单位，利用课前准备好的学具动手操作、观察，完成探究活动，

共同得到：

(1)只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组对边才能得到平行四边形．

(2)通过观察、实验、猜想到：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

注意事项：

(1)学生在拼四边形时，能否将长度相等的两木条作为四边形的对边；

(2)改变四边形形状的过程中，能否观察得到在此过程中它始终是一个平行四边形；

(3)学生能否通过独立思考、小组合作得出正确的证明思路．

探究二：

1．取两根长度相等的细木条，你能将它们摆放在一张纸上，使得这两根细木条的四个

端点恰好是一个平行四边形的四个顶点吗？

2．如果四边形有一组对边相等，那么还需添加什么条件，才能使它成为平行四边形？

定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

“綊”这个符号，读作：平行且等于．

已知：如图①，在四边形ABCD中，AB綊CD.

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：如图②，连接AC.

∵AB∥CD，∴∠BAC＝

∠ACD.又∵AB＝CD，AC

＝CA，

∴△BAC

≌△DCA(SAS)．

∴BC＝AD.

∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．

思考：我们进行证明时都用到哪些辅助线？证明的过程都用到什么方法呢？

总结：证明时连接对角线，将四边形化为三角形，然后用到了证明三角形全等的方

法．

注意事项：

(1)学生实验操作的准确性；

(2)学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现；

(3)学生使用几何语言的规范性和严谨性．

三、举例分析

例如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点．求证：四边形BFDE

是平行四边形．

处理方式：学生分组交流，探讨如何利用平行四边形的判定定理证明，学生说出证明

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思路，教师展示证明过程．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC(平行四边形的对边相等)，

AD∥BC(平行四边形的定义)．∵E，

F分别是AD和BC的中点，

11

∴ED＝AD，BF＝BC.

22

∴ED＝BF.

又∵ED∥BF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

四、练习巩固

1．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是()

A．AB＝CD，AD＝BCB．AB＝CD，AB∥CD

C．AB＝CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC

2．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，∠A＋∠B＝180°，那么四边形ABCD是平行四边形

吗？说说你的理由．

3.如图，在四边形ABCD中，AB綊CD，BF＝DE.求证：四边形AECF是平行四边形．

4．你能用两个全等的三角尺(含30°，60°角)拼出平行四边形吗？说明理由．

五、课堂小结通过本节课的学习，

你有什么收获？

六、课外作业

1．教材第142页“随堂练习”第1、2题．

2．教材第142～143页习题6.3第1～3题．

本节课在引入的环节上，采用复习引入的方式．首先复习了平行四边形的定义和性质，

唤起学生对已有知识的回忆，让学生初步感受平行四边形的性质与判定的区别与联系，为平

行四边形的性质和判定的综合运用作了铺垫．本节课判定方法的得出都非常重视知识的发生、

形成过程，让学生亲历了类比、观察、实验、猜想、验证、推理的整个过程，培养学生的探

究能力，发展学生的合情推理能力．学生把所学知识加以灵活地运用，有效地激发了学生的

学习兴趣，提高了学习效率．数学的学习要重视学习方法的指导．本节课通过由浅入深的练

习和灵活的变式，引导学生抓住图形的基本特征和题目的内在联系，达到触类旁通的效

果．

第2课时平行四边形的判定定理3

1．会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理．

2．理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理，并学会简单运用．

3．经历平行四边行判别条件的探索过程，在探究活动中发展学生的合情推理意识．

重点

平行四边形判定方法的探究、运用．

难点

对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用．

一、情境导入

活动1：将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到ABC的位置(如图)，这时四边形ABBA

11111

就是平行四边形．

问题：能说说这样做的道理吗？

活动2：将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，得到如图的四边形．

设疑：你认为这个四边形是平行四边形吗？

二、探究新知活动一：操作猜想

现在将你手中两根长度不等的细木条摆放在一张纸上，能否使得这两根细木条的四个端

点恰好是一个平行四边形的四个顶点呢？做一做，与同伴交流．

处理方式：学生以小组为单位，利用课前准备好的学具动手操作、观察、猜想、讨论、

交流．

预设展示：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，四边形ABCD是平行

四边形．

活动二：理论证明

以上活动事实，你能用文字语言表达吗？你能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜

想？

处理方式：通过学生的互相交流，口述其推理论证过程，根据学生的认知水平，教师应

估计学生可能会在推理论证时遇到困难，所以应加以适当引导．

预设展示：定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．已知：如图，四边形

ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA＝OC，OB＝OD.

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证法一：证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD(SAS)，

∴△AOB≌△COD.

∴AB＝CD.

同理可得：BC＝AD.

∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．

证法二：证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD，

∴△AOB≌△COD(SAS)．

∴AB＝CD，∠ABO＝∠CDO.

∴AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．

教师总结：平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．可以直接

成为我们证明命题的依据．

三、举例分析

例已知：如图①，E，F是ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF.

求证：四边形BFDE是平行四边形．

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证明：如图②，连接BD，交AC于点O.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD.

又∵AE＝CF，

∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.

∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边

形)．这道题你还有其他证法吗？说一说与大家共享．

师生共同讨论其他解题思路．

预设展示：

1．可以证明△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，进而得到BE＝DF，DE＝BF，所以四边形BFDE

是平行四边形．

2．也可以利用三角形全等，证明BE綊DF或DE綊BF，从而得到四边形BFDE是平行四

边形．

四、练习巩固

1．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥

BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.其中一定能判断这个四边

形是平行四边形的条件共有()

A．1组B．2组C．3组D．4组

2．如图是一张折叠椅的侧面示意图，AB，CD相交于点O，且在O处被互相平分，AC和

BD平行吗？

3.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.

(1)求证：△BDE≌△CDF；

(2)连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．

五、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

六、课外作业

1．教材第144页“随堂练习”．

2．教材第145页习题6.4第1～3题．

本节课的设计通过探究活动的开展探索平行四边形的判定方法，通过对判定方法的进一

步理解，典型例题的分析，精选的随堂练习，学生一定能够掌握平行四边形的判定方法及应

用判定方法解决实际问题．

第3课时平行线间的距离

1．认识平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离处处相等，并了解其简单应用．

2．利用平行四边形的性质和判定研究“夹在平行线之间的平行线段相等”，发展演绎

推理能力．

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3．在运用平行四边形的性质和判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的

逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力．

重点

平行四边形的性质和判定的应用及平行线之间的距离．

难点

平行四边形的性质和判定的综合运用．

一、复习导入

问题1：什么是平行四边形？

问题2：平行四边形有哪些性质？

问题3：判定四边形是平行四边形的方法有哪些？

问题4：在笔直的铁轨上，夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？

二、探究新知

活动一：探究平行线之间的距离

课件出示：

已知：如图，直线a∥b,A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为点C，

点D.

求证：AC＝BD.

证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，

∴AC∥BD.∵AB∥CD，

∴四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义)．

∴AC＝BD.

思考1：什么是点到直线的距离？

思考2：根据所学知识，你能用自己的语言说说什么是平行线之间的距离？

总结：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离都相等，

这个距离称为平行线之间的距离．

注意：距离是指垂线段的长度，是大于0的．

活动目的：

通过对平行四边形性质和判定方法的简单应用，引入了平行线之间的距离的概念，深化

对知识的理解．

活动效果及注意：

1．在引入平行线之间的距离概念中，先引入点到直线的距离，再通过点到直线的距离

来刻画平行线间的距离．

2．在应用平行四边形的性质和判定的同时深入知识、效果很好，学生易于接受．

活动二：探究平行线之间的平行线段

结合所学知识回答：夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？处理

方式：学生分小组讨论交流，小组代表发表自己小组的讨论结果．

预设学生回答：

1．类比之前证明的“枕木问题”得出夹在两条平行线间的平行线段一定相等．

2．由夹在两条平行线间的平行线段，同样可得平行四边形(两组对边分别平行的四边形

是平行四边形)．根据平行四边形的性质(平行四边形的对边相等)，可以得出夹在平行线之

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间的平行线段一定相等．

师生共同总结：夹在平行线间的平行线段一定相等．

活动三：做一做

如图，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并说明画图的方法和其中的道

理．

预设学生可能的画图方法：

1．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

2.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

3.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

目的：通过让学生在网格中画平行四边形并说理，进一步让学生掌握平行四边形的判

定定理．

三、举例分析

例如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在对角线BD上，

且DM＝BN，DF＝BE.求证：四边形MENF是平行四边形．

处理方式：找两生板书，其余学生在练习本上写解题过程，最后教师矫正．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC(平行四边形的定义)．

∴∠MDF＝∠NBE.又∵DM＝BN，DF＝

BE，

∴△MDF≌△NBE(SAS)．∴MF＝EN，

∠MFD＝∠NEB.

∴∠MFE＝∠NEF.

∴MF∥EN.

∴四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．

四、练习巩固

1．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，点M到直线b的距离是2cm，那么直

线a、直线b之间的距离是()

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A．2cmB．6cm

C．2cm或6cmD．4cm

2．两条平行铁轨间的枕木长度都相等，依据的数学原理是________________．

3．如图，AB∥CD，O是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，若OE＝3cm，

那么AB，CD间的距离是________cm.

4．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.

(1)求证：AE＝CF；

(2)求证：四边形EBFD是平行四边形．

五、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

六、课外作业

1．教材第147页“随堂练习”．

2．教材第148～149页习题6.5第1～5题．

本节课的探究活动的开展是以平行四边形的判定方法进一步得到两平行直线间的距离

处处相等这一结论，进而得出夹在平行线间的平行线段一定相等这一结论．通过典型例题的

分析，精选的随堂练习，学生基本能够掌握平行四边形的判定方法并能应用判定方法解决实

际问题．

3三角形的中位线

1．理解三角形中位线的概念．

2．会证明三角形的中位线定理．

3．能应用三角形中位线定理解决相关的问题．

重点

理解并会应用三角形的中位线定理．

难点

理解并掌握三角形中位线定理的证明和运用．

一、情境导入

问题：A，B两点被池塘隔开，在没有任何估测工具的情况下，如何估测点A，B之间的

距离？

(学生利用所学回答：在AB外选一点O，连接AO和BO，并分别延长到点D，C，并使

得DO＝AO，CO＝BO，利用三角形全等可知道AB＝CD.测出CD的长度即可．)

思考：还有其他方法吗？

12

师：学习完本节就很容易解决这个问题了．(板书课题)

二、探究新知

1．三角形中位线的概念

你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？

处理方式：学生动手画图，讨论回答．

学生直观回答：找各边中点连接即可．老师利用平移旋转验证．

三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE为△ABC的中位线．同理EF，DF也是．一个

三角形有三条中位线．

注意：三角形中线和中位线的区别．中位线是各边中点的连线，中线是顶点和对边中点

的连线．

2．三角形中位线定理

你能通过剪拼的方式，将任意一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？

处理方式：学生探究讨论，小组互相矫正．教师板书过程．

思考：若四边形BCFD是平行四边形，那么DE与BC有什么位置和数量关系呢？

1学

生猜想：DE∥BC，DE＝BC.

2

已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．

1求

证：DE∥BC，DE＝BC.

2

证明：如图，延长DE到F，使EF＝DE，连接CF.

在△ADE和△CFE中，

∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，

∴△ADE≌△CFE(SAS)．

∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.∴CF∥AB.

∵BD＝AD，∴BD＝CF.∴四边形

DBCF是平行四边形．

∴DF∥BC，DF＝BC.

1

∴DE∥BC，DE＝BC.

2思考：

还有别的方法吗？

(学生回答：利用全等三角形和平行四边形的性质证明的，但辅助线添加的方法不一

样．)

法二：证明：如图，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，

13

∴∠ADE＝∠F.

∵∠AED＝∠CEF，AE＝EC，

∴△ADE≌△CFE(AAS)．

∴AD＝CF，DE＝EF.又

∵AB∥CF，AD＝DB，

∴四边形DBCF是平行四边

形，

∴DF∥BC，DF＝BC.

1

∴DE∥BC，DE＝BC.

2总结三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等

于第三边的一半．

1

作用：①证明平行问题；②证明一条线段是另一条线段的2倍或.

2

三、举例分析

例已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

方法一：证明：如图①，连接BD.

∵EH为△ABD的中位线，

1

∴EH∥BD，EH＝BD.

2

∵FG为△BCD的中位线，

1

∴FG∥BD，FG＝BD.

2

∴EH∥FG，EH＝FG.

∴四边形EFGH为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形)．

方法二：证明：连接两条对角线AC，BD，如图②.

∵EH为△ABD的中位线，

∴EH∥BD.

∵FG为△BCD的中位线，

∴FG∥BD.∴EH∥FG.

同理，EF∥HG.

∴四边形EFGH为平行四边形(两组对边分别平行的四边形为平行四边形)．

四、练习巩固

1．如图，若△ABC的周长为18cm，则它的三条中位线围成的△DEF的周长是

______cm，图中共有______个平行四边形．

14

2.如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE和AF交于点O.求证：DE与

AF互相平分．

3.在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点．求证：四边形AFDE的周长等于

AB＋AC.

五、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

六、课外作业

1．教材第152页“随堂练习”第1、2题．

2．教材第152页习题6.6第3、4题．

本节课以探究三角形中位线的性质及证明为主线开展教学活动．在三角形中位线定理探

究过程中，学生先是通过动手画图、观察、测量、猜想出三角形中位线的性质，然后师生通

过测量和课件演示验证猜想的正确性，再引导学生尝试构造平行四边形进行证明．经历知识

的形成过程，使学生体会探究数学问题的基本方法．通过定理的探究与证明，努力培养学生

分析问题和解决问题的能力，提升学生数学的思维品质．

4多边形的内角和与外角和

第1课时多边形的内角和

1．经历探索多边形内角和公式的过程，发展学生的合情推理能力，培养由特殊到一般

的探究能力．

2．掌握多边形的内角和定理，发展学生的演绎推理能力，并会运用解决问题，培养灵

活运用知识的能力．

3．通过观察、分析、把多边形问题转化为三角形问题，体会转化思想在几何知识中的

应用．

重点

掌握多边形内角和定理．

难点

多边形内角和公式的应用．

一、情境导入

问题1：如图①，三角形三个内角的和等于多少度？

问题2：如图②，图③，正方形、长方形的内角和等于多少度？

问题3：如图④，对于一般的四边形，它的内角和是否也等于360°？你是怎么得到的？

二、探究新知

活动一：探究五边形的内角和

问题1：健身广场中心的边缘是一个五边形，你能类比求四边形内角和的方法求出它的

五个内角的和吗？

15

问题2：小明和小亮利用下面的图形，求出了五边形的五个内角的和，说说他们是怎

么做的？还可以怎么做？

图①图②

处理方式：学生分小组讨论、交流，小组代表发表小组讨论的结果．

预设学生回答：

1．五边形的内角和等于540°.

2．如图①，小明连接对角线把五边形分割成三个三角形，所以五边形的内角和是180°

×3＝540°.

如图②，小亮在五边形内部取一点，连接这点和各个顶点，把五边形分割成五个三角形，

五个三角形的内角和是180°×5＝900°，然后再减去一个周角的度数360°，得到五边形

的度数为900°－360°＝540°.

其他思路①：如图③，在五边形的任意一边上取一点，把五边形分割成四个三角形，四

个三角形的内角和是则有180°×4＝720°，然后再减去一个平角的度数180°，得到一个

五边形的度数为720°－180°＝540°.

其他思路②：如图④，在五边形外取一点，则有180°×4＝720°，然后再减去外部一

个三角形内角和度数180°，得到一个五边形的度数为720°－180°＝540°.

活动二：想一想

1．按照活动一中的小明的方法，六边形能分成多少个三角形？…n边形呢？你能确定n

边形的内角和吗？(n是大于或等于3的自然数)小组讨论后完成表格．

多边形分割后分成三角

内角和规律

边数的图形形的个数

3

4

5

6

……………

n

2.按照活动一中的小亮的方法再试一试．

处理方式：学生动手画一画，分一分，教师对有困难的同学给予指导．

预设学生回答：

(1)六边形可分成4个三角形，七边形可分为5个三角形，…，n边形可分为(n－2)

个三角形．六边形内角和为720°，七边形内角和为900°，…，n边形的内角和为(n－

2)个

三角形的内角和(n－2)·180°(n≥3)．

多边形分割后分成三角

内角和规律

边数的图形形的个数

16

31180°180°

42360°360°

53540°540°

64720°720°

……………

(n－2)

n…n－2(n－2)×180°

·180°

(2)利用小亮的方法得出的结论是：n×180°－360°＝(n－2)·180°.

多边形分割后分成三角

内角和规律

边数的图形形的个数

31180°180°

44360°360°

55540°540°

66720°720°

……………

n×180°－360

(n－2)°

n…n

·180°＝(n－2)×180

°

定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°.

活动三：想一想

1．正三角形(等边三角形)的内角和等于多少度？每个内角等于多少度？你是怎么计算

的？

2．正四边形(正方形)的内角和等于多少度？每个内角等于多少度？你是怎么计算的？

3．正五边形、正六边形、正八边形、…、正n边形呢？

处理方式：让学生小组内讨论、交流后归纳总结得出结论，教师适时给予思路点拨和

引导．

（3－2）×180°正三角形

每个内角为：＝60°；

3

（4－2）×180°正四边形

每个内角为：＝90°；

4

17

（5－2）×180°正五边形

每个内角为：＝108°；

5

（6－2）×180°正六边形

每个内角为：＝120°；

6

（8－2）×180°正八边形

每个内角为：＝135°；

8

（n－2）×180°

正n边形每个内角为：.

n

三、举例分析

例1如图所示，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠B与∠D有怎样的关系？

处理方式：学生独立完成，教师适时指导点拨．

解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，

∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°.

∴∠B与∠D互补．

例2剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少

度？与同伴交流．

预设学生可能回答：

(1)如图①所示，剪下一个角后，纸片剩下5个角，得到的五边形内角和为(5－2)×180

°＝180°.

(2)如图②所示，剪下一个角后，纸片剩下4个角，得到的四边形内角和为(4－2)×180

°＝360°.

(3)如图③所示，剪下一个角后，纸片剩下3个角，得到的三角形内角和为180°.

四、练习巩固

1．若一个多边形的每个内角都为120°，则这个多边形的边数是()

A．9B．8C．7D．6

2．一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为()

A．9B．8C．7D．6

3．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的

边数为()

A．5B．5或6

C．5或7D．5或6或7

4．正十二边形每个内角的度数为________．

5．有两个多边形，边数之比为3∶4，内角和之比为1∶2，求这两个多边形的边数．

五、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

六、课外作业

1．教材第154页“随堂练习”．

2．教材第155页习题6.7第1、3、4题．

这节课的学习内容通过创设情境问题得以构建和发展，体现了新课程目标理念的开放性

原则．在新课讲授过程中注意探究了从三角形、四边形到多边形内角和知识的形成，最后形

成规律，有利于学生对多边形内角和的理解．

不足之处：1.这节课给学生提供的探究思考与交流的时间和空间并不足，展示交流的机

会不够充分，有的同学没有表现的机会；2.本节课学生小组活动的准备、具体实施、归纳交

流、评价等环节设计不够完善．

第2课时多边形的外角和

1．让学生经历探索多边形外角和公式的过程，培养学生主动探究的习惯．

2．能灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题．

重点

多边形外角和定理的探索和应用．

难点

灵活运用公式解决简单的实际问题．

一、情境导入

清晨，小明沿一个长方形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，他跑完一圈，身体转过

的角度之和是多少？

处理方式：情境模拟：在教室里利用课桌，请一位同学模拟小明，伸出一只手臂平伸向

正前方，然后绕课桌一周，停止后可以发现，手臂的方向不变，由此得出什么结论？让学生

讨论．

问题：这个角度是哪些角的和？它们和四边形有何关系？如果把广场改为五边形，结果

又会怎样呢？本节课我们将继续研究有关多边形角的问题．

二、探究新知1．课件出示：小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑

步．

(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？

(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

(3)在上图中，你能求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的结果吗？你是怎样得到的？

处理方式：学生思考，老师演示动画让学生理解题意．

解：方法一：以小明自身转过的度数计算，转过一周，刚好是360°；

方法二：用量角器量出度数后计算；方法三：把各个外角都剪出来，再拼在

一起，类似验证三角形内角和的方法；

方法四：利用内角与相邻的外角互补的关系推理得出：∵∠1＋∠EAB＝

180°，∠2＋∠ABC＝180°，

∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，

∠5＋∠DEA＝180°，

∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝900°.

∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，即∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA

＝540°，

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°.

思考：还有其他方法求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和吗？

解：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′，OB′，

OC

′，OD′，OE′，得到∠α，∠β，∠γ，∠δ，∠θ，其中，∠α＝∠1，∠β＝∠2，∠γ

＝∠3，∠δ＝∠4，∠θ＝∠5.这样，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°.

2．问题引申：

(1)如果广场的形状是六边形，那么还有类似的结论吗？

(2)如果广场的形状是八边形呢？处理方式：学生先独立思考，再分组

讨论，老师巡视矫正学生的错误．

3．多边形的外角与外角和

在上题中，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角，它们叫五边形的外角，∠1

＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和叫五边形的外角和．多边形内角的一边与另一边的反向延长

线所

组成的角叫做这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫

做这

个多边形的外角和．(注意：多边形一个顶点有两个外角，但求外角和的时候只取一

个外角．)

得出结论：多边形的外角和都等于360°.

三、举例分析

例1一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？解：设这个多

边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于360°，

∴(n－2)·180°＝3×360°，解得n＝8.∴这个多边形是八边形．师：利用

多边形的外角和结论，能推导多边形内角和的结论吗？180°·n－360°＝(n－

2)·180°.

例2某多边形的每一个内角都等于150°，这个多边形是几边形？

解：方法一：根据题意，得(n－2)·180＝150n，解得n＝12.方法二：因为每一

个外角是180°－150°＝30°，所以边数是360°÷30°＝12.处理方式：学生

独立完成，小组间互相矫正．

四、练习巩固

1．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是()

A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形

2．一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为()

A．4B．5C．6D．7

3．一个多边形的每一个外角都等于18°，它是______边形．

4．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于()

A．360°B．250°C．180°D．140°

5.已知一个多边形的每个内角都比相邻的外角的4倍还多90°，求这个多边形的边数

及内角和．

五、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

六、课外作业

1．教材第156页“随堂练习”．

2．教材第