数理统计抽样分布

数理统计抽样分布2023/4/21王玉顺：数理统计02_抽样分布1第1页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.1总体与样本2.2抽样分布2.3统计量分位数2.4抽样分布定理2.5中心极限定理本章内容2抽样分布第2页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3统计量分位数Statistic

Fractile2抽样分布第3页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3统计量分位数(1)事件概率作统计量观察值的下标统计量X观察值x事件X>x观察值加下标x概率P(X>x)=第4页，共93页，2023年，2月20日，星期六(2)统计量观察值是事件概率的函数统计量观察值x表为xα，意义之一是建立了xα与α的一一对应函数关系，实现了统计量观察值x按概率α的分割。2.3统计量分位数第5页，共93页，2023年，2月20日，星期六(3)统计量观察值表为xα便于应用解决两类问题：已知x求事件X>x的概率已知概率反求观察值xxα蕴含统计量观察值xα、随机事件X>xα、事件概率α三方面的信息2.3统计量分位数第6页，共93页，2023年，2月20日，星期六(4)分布函数F(xα)与xα的关系xα蕴含统计量观察值xα、事件X>xα、概率α、事件X≤xα、分布函数F(xα)等五方面的信息2.3统计量分位数第7页，共93页，2023年，2月20日，星期六(5)α分位数定义若统计量X的观察值xα与事件X>xα、事件概率α之间的关系由下式确定：则称xα为X的上侧α分位数，简称α分位数或α分位点，称α为尾概率(tailprobability)。2.3统计量分位数第8页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.1

Z统计量分位数Z-StatisticFractile2.3统计量分位数第9页，共93页，2023年，2月20日，星期六(1)Z统计量分位数zα设Z~N(0,1)表征标准正态统计量，若Z的分位数记作zα，则分位数zα、事件Z>zα、尾概率α、事件Z≤zα、分布函数Φ(zα)五者满足下面的关系：2.3.1

Z统计量分位数第10页，共93页，2023年，2月20日，星期六(1)Z统计量分位数zα2.3.1

Z统计量分位数zα蕴含统计量观察值zα事件Z>zα概率α事件Z≤zα分布函数F(zα)五方面的信息第11页，共93页，2023年，2月20日，星期六(3)分位数zα的对称性2.3.1

Z统计量分位数第12页，共93页，2023年，2月20日，星期六(4)查表确定分位数zα查正态分布表计算下面的4个分位数：2.3.1

Z统计量分位数第13页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.2χ2统计量分位数Chi-Square-StatisticFractile2.3统计量分位数第14页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.2

χ2统计量分位数(1)χ2统计量分位数χα2(n)设χ2~χ2(n)，并χ2统计量分位数记作χα2(n)则分位数χα2(n)、事件χ2>χα2(n)、尾概率α、事件χ2≤χα2(n)、分布函数F{χα2(n)}五者满足下面的关系：第15页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.2

χ2统计量分位数(1)χ2统计量分位数χα2(n)χα2(n)蕴含观察值χα2(n)事件χ2>χα2(n)概率α事件χ2≤χα2(n)分布函数F(χα2(n))五方面的信息第16页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.2

χ2统计量分位数(2)查表确定分位数χα2(n)查卡方分位数表确定下面4个分位数：第17页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.3T统计量分位数T-StatisticFractile2.3统计量分位数第18页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.3

T统计量分位数(1)T统计量分位数tα(n)设T~t(n)，并T统计量分位数记作tα(n)则分位数tα(n)、事件T>tα(n)、尾概率α、事件T≤tα(n)、分布函数F{tα(n)}等五者之间满足下面的关系：第19页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.3

T统计量分位数(1)T统计量分位数tα(n)tα(n)蕴含观察值tα(n)事件T>tα(n)概率α事件T≤tα(n)分布函数F{tα(n)}五方面的信息第20页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.3

T统计量分位数(2)分位数tα(n)的对称性第21页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.3

T统计量分位数(3)查表确定分位数tα(n)查T分位数表确定下面4个分位数：第22页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.4F统计量分位数F-StatisticFractile2.3统计量分位数第23页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.4

F统计量分位数(1)F统计量分位数Fα(n1,n2)设F~F(n1,n2)，F统计量分位数记作Fα(n1,n2)则分位数Fα(n1,n2)、事件F>Fα(n1,n2)、尾概率α、事件F≤Fα(n1,n2)

、分布函数F{Fα(n1,n2)}等五者之间满足下面的关系：第24页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.4

F统计量分位数(1)F统计量分位数Fα(n1,n2)Fα(n1,n2)蕴含观察值Fα(n1,n2)事件F>Fα(n1,n2)概率α事件F≤Fα(n1,n2)函数F{Fα(n1,n2)}五方面的信息第25页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.4

F统计量分位数(2)分位数Fα(n1,n2)的反对称性F统计量的α分位数等于自由度对调后1-α分位数的倒数两分位数下标之和等于1第26页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.4

F统计量分位数(2)分位数Fα(n1,n2)的反对称性第27页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.4

F统计量分位数(3)查表确定分位数Fα(n1,n2)查F分位数表确定下面4个分位数：第28页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.3.4

F统计量分位数(3)查表确定分位数Fα(n1,n2)第29页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.4抽样分布定理SampleDistribution几个正态总体抽样统计量所服从的分布2

抽样分布第30页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.4抽样分布定理设任意总体X的期望E(X)=μ和方差Var(X)=σ2设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本则样本均值的期望和方差为：(1)任意总体样本均值的期望和方差第31页，共93页，2023年，2月20日，星期六(2)正态总体样本均值及分布定理一：设X1,X2,…,Xn是正态总体N(μ,σ2)的样本，则样本均值服从期望为μ方差为σ2/n的正态分布：2.4抽样分布定理引用任意样本均值的期望为μ方差为σ2/n；再引用教材第3章第5节例1结论“正态随机变量之和仍然是正态分布”，定理得证。第32页，共93页，2023年，2月20日，星期六(2)正态总体样本均值及分布2.4抽样分布定理与总体X的期望μ和方差σ2相比较，样本均值统计量的期望仍为μ，而方差却减小到σ2/n第33页，共93页，2023年，2月20日，星期六(3)正态总体样本方差及分布2.4抽样分布定理定理二：设X1,X2,…,Xn是正态总体N(μ,σ2)的样本，则对样本均值及方差有下述结论：(a)与S2独立(b)其中：定理二的证明详见教材P172的附录第34页，共93页，2023年，2月20日，星期六(3)正态总体样本方差及分布2.4抽样分布定理示例第35页，共93页，2023年，2月20日，星期六(4)正态总体近似标准化样本均值及分布样本均值减去它的期望再除以它的标准误称作样本均值的近似标准化变换定理三：设X1,X2,…,Xn是总体X~N(μ,σ2)的样本，和S2分别是样本均值和样本方差，则2.4抽样分布定理StandardError第36页，共93页，2023年，2月20日，星期六(4)正态总体近似标准化样本均值及分布2.4抽样分布定理定理三的推证：第37页，共93页，2023年，2月20日，星期六(4)正态总体近似标准化样本均值及分布2.4抽样分布定理示例第38页，共93页，2023年，2月20日，星期六(5)正态总体两独立样本均值差及分布定理四：设X1,X2,…,Xn1是总体X~N(μ1,σ12)的样本；设Y1,Y2,…,Yn2是总体Y~N(μ2,σ22)的样本；两样本相互独立且有下述统计量：2.4抽样分布定理第39页，共93页，2023年，2月20日，星期六则当σ12=σ22时，近似标准化样本均值差是T统计量，且服从自由度为n1+n2-2的t分布：其中复合方差(5)正态总体两独立样本均值差及分布2.4抽样分布定理第40页，共93页，2023年，2月20日，星期六(5)正态总体两独立样本均值差及分布2.4抽样分布定理定理四的推证：引用任意样本均值的期望为μ方差为σ2/n；再引用教材第3章第5节例1结论“正态随机变量之和仍然是正态分布”，则：第41页，共93页，2023年，2月20日，星期六因均值差为正态统计量，则它的标准化变换为Z统计量且服从N(0,1)分布：(5)正态总体两独立样本均值差及分布2.4抽样分布定理第42页，共93页，2023年，2月20日，星期六依据卡方分布可加性可将两样本方差组合成χ2统计量并服从自由度n1+n2-2的χ2分布：根据t分布定义构建T统计量并得其分布：(5)正态总体两独立样本均值差及分布2.4抽样分布定理第43页，共93页，2023年，2月20日，星期六(5)正态总体两独立样本均值差及分布2.4抽样分布定理展开T统计量并化简，得T统计量表达式：第44页，共93页，2023年，2月20日，星期六(5)正态总体两独立样本均值差及分布2.4抽样分布定理展开T统计量并化简，得T统计量表达式：其中：第45页，共93页，2023年，2月20日，星期六(5)正态总体两独立样本均值差及分布2.4抽样分布定理示例第46页，共93页，2023年，2月20日，星期六(6)正态总体两独立样本方差比及分布2.4抽样分布定理定理五：设X1,X2,…,Xn1是总体X~N(μ1,σ12)的样本；设Y1,Y2,…,Yn2是总体Y~N(μ2,σ22)的样本；两样本相互独立且有下述统计量：第47页，共93页，2023年，2月20日，星期六则下面样本方差比除以总体方差比为F统计量，并服从F(n1-1,n2-1)分布：特别地当σ12=σ22=σ2时，样本方差比服从F(n1-1,n2-1)(6)正态总体两独立样本方差比及分布2.4抽样分布定理第48页，共93页，2023年，2月20日，星期六(6)正态总体两独立样本方差比及分布2.4抽样分布定理第49页，共93页，2023年，2月20日，星期六(6)正态总体两独立样本方差比及分布2.4抽样分布定理示例第50页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.5中心极限定理CentralLimitTheorem2

抽样分布第51页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.5中心极限定理2.5.1独立同分布中心极限定理

CentralLimitTheorem第52页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.5.1独立同分布中心极限定理问题的提出案例：一批钢产品的强度服从期望为14、方差为4的未知分布，每箱容量为100件该产品，问：(1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率有多少？(2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率有多少？问题分析：钢产品是随机装箱，若随意检验一箱产品的平均强度，则每箱产品可视为一个容量n=100的样本。抽样总体的分布不知道，怎样才能计算问题所述事件的概率？第53页，共93页，2023年，2月20日，星期六问题的提出

独立同分布中心极限定理能解决这样一类问题：未知总体抽样，如何计算抽样观测事件的概率？2.5.1独立同分布中心极限定理第54页，共93页，2023年，2月20日，星期六(1)样本和与标准化样本和设X1,X2,…,Xn是任意总体X的一个样本，每个样本分量的期望E(Xi)=μ和方差Var(Xi)=σ2，则样本和的期望和方差如下：

2.5.1独立同分布中心极限定理第55页，共93页，2023年，2月20日，星期六独立同分布样本的标准化样本和及其观察值如下：(1)样本和与标准化样本和2.5.1独立同分布中心极限定理第56页，共93页，2023年，2月20日，星期六中心极限定理：n趋于无穷大时，独立同分布样本X1,X2,…,Xn的标准化样本和趋于标准正态分布N(0,1)，且其分布函数极限为：(2)样本和中心极限定理2.5.1独立同分布中心极限定理第57页，共93页，2023年，2月20日，星期六应用：只要n充分大，对于独立同分布样本X1,X2,…,Xn，样本和分布函数值可由标准正态分布函数近似计算：(2)样本和中心极限定理2.5.1独立同分布中心极限定理第58页，共93页，2023年，2月20日，星期六(3)样本均值与标准化样本均值设X1,X2,…,Xn是任意总体X的一个样本，每个样本分量的期望E(Xi)=μ和方差Var(Xi)=σ2，则样本均值的期望和方差如下：

2.5.1独立同分布中心极限定理第59页，共93页，2023年，2月20日，星期六独立同分布样本的标准化样本均值及其观察值如下：(3)样本均值与标准化样本均值2.5.1独立同分布中心极限定理第60页，共93页，2023年，2月20日，星期六(4)样本均值中心极限定理2.5.1独立同分布中心极限定理中心极限定理：n趋于无穷大时，独立同分布样本X1,X2,…,Xn的标准化样本均值趋于标准正态分布N(0,1)，且其分布函数极限为：第61页，共93页，2023年，2月20日，星期六(4)样本均值中心极限定理2.5.1独立同分布中心极限定理应用：只要n充分大，对于独立同分布样本X1,X2,…,Xn，样本均值分布函数值可由标准正态分布函数近似计算：第62页，共93页，2023年，2月20日，星期六独立同分布中心极限定理要义：任意已知或未知总体的期望和方差存在；简单随机抽样获得独立同分布样本；标准化样本和或标准化样本均值的分布，在n趋于无限大时趋于标准正态分布N(0,1)；只要n充分大，不论样本和或样本均值原来服从什么分布，它们的分布函数值都可用标准正态分布函数近似计算。(5)独立同分布中心极限定理小结2.5.1独立同分布中心极限定理第63页，共93页，2023年，2月20日，星期六(6)中心极限定理应用举例例题：一批钢产品的强度服从期望为14、方差为4的未知分布，每箱容量为100件该产品，问：(1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率有多少？(2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率有多少？问题分析：产品是随机装箱，故每箱产品视为一个样本，样本容量n=100则n足够大，故用中心极限定理求解。用Xi表每个产品的强度，用Y表每箱平均强度的标准化变换。2.5.1独立同分布中心极限定理第64页，共93页，2023年，2月20日，星期六(6)中心极限定理应用举例问题(1)可表为下述事件的概率：2.5.1独立同分布中心极限定理第65页，共93页，2023年，2月20日，星期六(6)中心极限定理应用举例问题(2)可表为下述事件的概率：2.5.1独立同分布中心极限定理第66页，共93页，2023年，2月20日，星期六分析结论：(1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率为0.0062。(2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率为0.5。(6)中心极限定理应用举例2.5.1独立同分布中心极限定理第67页，共93页，2023年，2月20日，星期六2.5.2隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理

CentralLimitTheorem2.5中心极限定理第68页，共93页，2023年，2月20日，星期六问题的提出2.5.2隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理案例：某公司200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验考试通过率为0.8，试计算200名员工中至少150人通过考试的概率。问题分析：考试结果用X表示，事件X=1表通过考试，事件X=0表未通过考试，则X服从0-1分布，200名员工参加考试视作对0-1总体抽样200次。若用二项分布计算问题所述事件的概率较麻烦，可根据中心极限定理采用更简便的近似算法。第69页，共93页，2023年，2月20日，星期六问题的提出隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理能解决这样一类问题：0-1总体抽样，如何近似计算抽样观测事件的概率？2.5.2隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理第70页，共93页，2023年，2月20日，星期六(1)0-1总体抽样的样本和设X1,X2,…,Xn为0-1总体X的一个样本，每个分量的期望E(Xi)=p和方差Var(Xi)=p(1-p)，则样本和并它的期望及方差如下：2.5.2隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理第71页，共93页，2023年，2月20日，星期六设X1,X2,…,Xn为0-1总体X的一个样本，每个分量的期望E(Xi)=p和方差Var(Xi)=p(1-p)，则标准化样本和Y及其观察值y如下：(1)0-1总体抽样的样本和2.5.2隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理第72页，共93页，2023年，2月20日，星期六中心极限定理：n趋于无穷大时，0-1总体独立同分布样本X1,X2,…,Xn的标准化样本和趋于标准正态分布N(0,1)，其分布函数的极限为：

(2)样本和中心极限定理2.5.2隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理第73页，共93页，2023年，2月20日，星期六应用：只要n充分大，对于0-1总体抽样独立同分布样本X1,X2,…,Xn的样本和，其分布函数值可由标准正态分布函数近似计算：

(2)样本和中心极限定理2.5.2隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理第74页，共93页，2023年，2月20日，星期六(3)0-1总体抽样的样本均值设X1,X2,…,Xn为0-1总体X的一个样本，每个分量的期望E(Xi)=p和方差Var(Xi)=p(1-p)，则样本均值并它的期望及方差如下：2.5.2隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理第75页，共93页，2023年，2月20日，星期六(4)样本均值中心极限定理设X1,X2,…,Xn为0-1总体X的一个样本，每个分量的期望E(Xi)=p和方差Var(Xi)=p(1-p)，则标准化样本均值Y及其观察值y如下：2.5.2隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理第76页，共93页，2023年，2月20日，星期六(4)样本均值中心极限定理中心极限定理：n趋于无穷大时，0-1总体独立同分布样本X1,X2,…,Xn的标准化样本均值趋于标准正态分布N(0,1)，其分布函数的极限为

2.5.2隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理第77页，共93页，2023年，2月20日，星期六(4)样本均值中心极限定理2.5.2隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理应用：只要n充分大，对于0-1总体抽样独立同分布样本X1,X2,…,Xn的样本均值，其分布函数值可由标准正态分布函数近似计算：

第78页，共93页，2023年，2月20日，星期六(5)中心极限定理小结隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理要义：0-1分布抽样总体有期望p和方差p(1-p)；简单随机抽样获得独立同分布样本；n趋于无限大时，标准化样本和或标准化样本均值的分布趋于标准正态分布N(0,1)；只要n充分大，不论样本和或样本均值原来服从什么分布，它们的分布函数值都可用标准正态分布函数近似计算。2.5.2隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理第79页，共93页，2023年，2月20日，星期六(6)中心极限定理应用举例例题：某公司200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验考试通过率为0.8，试计算200名员工中至少150人通过考试的概率。问题分析：考试是否通过可视作对0-1总体X抽样，事件X=1表通过考试，事件X=0表未通过考试。200名员工参加考试视作对0-1总体抽样200次，往年累计参加考试的人数肯定很多，按大数定律用频率代替概率，估计今年每个人通过考试的概率p=0.8。2.5.2隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理第80页，共93页，2023年，2月20日，星期六(6)中心极限定理应用举例考试通过人数是随机变量，等于0-1总体抽样200次的样本和TS