数据处理和力学实验高中

数据处理和力学实验高中第1页，共44页，2023年，2月20日，星期六 一、测量与误差 二、测量的不确定度和测量结果的表示 三、有效数字及其运算规则

四、实验数据处理与作图要求第2页，共44页，2023年，2月20日，星期六一、测量与误差测量 物理实验离不开对物理量的测量，根据测量手段和方式的不同，将物理量的测量分为两类直接测量：直接从仪器或量具上读出待测量的大小。

例：摆长L，天平称质量等。间接测量：待测量的量值是由若干个直接测量量 经过一定的函数运算后才获得的量。

例：钢球体积V=1/6πD3，g=4π2l/T2等。第3页，共44页，2023年，2月20日，星期六误差真值与误差真值：指在一定条件下，某物理量客观存在的真实值。

下列几种情况可视为约定真值理论值：如三角形的内角和为180º等公认值：世界公认的一些常数，如普朗克常量、阿伏 加得罗常量等。 仪器精度由于 测量原理和方法 限制 测量者感官能力 第4页，共44页，2023年，2月20日，星期六 真值不可知。

误差：实验测量值与客观实际值（真值）的 不一致。测量值与真值之差 定义 ε=x-x0误差的分类系统误差：产生误差是单方向变化，如与标准值相比始终偏大，或者始终偏小。例：电表零点读数等不正确的读数方法。系统误差的来源：理论公式的近似性；例：仪器结构不完善；例：天平的不等臂、温度计的刻度不准第5页，共44页，2023年，2月20日，星期六环境条件的改变；例：20°C下校准的仪器拿到-20°C下使用。测量者生理心理因素的影响。例：对标志线的读数总是偏 左或偏右、偏上或偏下。处理系统误差问题是困难的：系统误差的出现虽有规律性，但对于不同的实验其规律性不一样，没有完整、通用的处理计算公式。要求实验者对研究对象的特殊规律性能充分掌握。需要学识，经验，技巧。第6页，共44页，2023年，2月20日，星期六随机误差：多次重复测量同一物理量，各次有差异，产生的误差以不可预定的方式变化着，即ε时而大，时而小。整体来说，满足高斯分布规律。

单峰性偶然误差的三个特点：对称性 有界性系统误差和偶然误差的关系 它们之间的区别不是绝对的，在一定条件下可以相互转化。例：砝码的误差，对厂家是偶然误差

对使用者是系统误差

0Δxf（x）第7页，共44页，2023年，2月20日，星期六精密度、准确度、精确度精密度——描述重复测量结果之间的离散程度，反映随机 误差大小。准确度——描述测量结果与真值的偏离程度，反映系统误 差的大小。精确度——准确度和精密度的结合。

精密度较好 精密度最差 精密度最好 准确度较好 准确度最好 准确度最差 精确度最好 精确度居中 精确度最差第8页，共44页，2023年，2月20日，星期六绝对误差、相对误差和百分差绝对误差Δx=相对误差通常取1-2位数字来表示。例：L1=1000米、ΔL1=1米、L2=100厘米、ΔL2=1 厘米，求L1和L2的相对误差。解：第9页，共44页，2023年，2月20日，星期六二、测量的不确定度和测量结果的表示测量的不确定度 测量误差存在于一切测量中，对被测量值不能确定的程度称之，它给出测量结果不能确定的误差范围。完整的测量结果要标明其量值大小和测量的不确定度。不确定度的分类A类不确定度（UA）：用统计方法对具有随机误差 性质的测量值计算获得的量， 又称统计不确定度。B类不确定度(UB)：非统计方法计算获得的量，也 称非统计不确定度。第10页，共44页，2023年，2月20日，星期六偶然误差与不确定度的A类分量偶然误差的分布与标准误差满足高斯分布 标准误差它反映了数据的离散程度，在该测量列中任何一个测量值的误差在-σ~+σ之间的概率为68.3%σ小，数据比较集中，即精密度高，σ大，数据分散，精密度低第11页，共44页，2023年，2月20日，星期六多次测量平均值的标准偏差算术平均值标准偏差平均值的标准偏差第12页，共44页，2023年，2月20日，星期六不确定度的A类分量：一般为多次测量平均值的标准偏差即 p=68.3%B类不确定度：由非统计分析评定的不确定度。uB1(x):由估读引起的，通常取分度值d的1/10或1/5，有时也取1/2，视具体情况而定；特殊情况可取d，甚至更大。第13页，共44页，2023年，2月20日，星期六uB2(x):由仪器本身的特性所决定的定义

p=68.3%

Δ仪为仪器标定的最大允差。常用实验仪器的最大允差见下表第14页，共44页，2023年，2月20日，星期六第15页，共44页，2023年，2月20日，星期六测量结果的表示测量结果的表示 X=（x±U（x）)单位直接测量的不确定度计算单次测量

第16页，共44页，2023年，2月20日，星期六多次测量例：用一级千分尺测量某一圆柱体的直径，测量5次，各测量数据分别为：3.429,3.430,3.441,3.441,3.432mm,求该物体直径的测量结果。(用不确定度表示)解：D=3.435mm

第17页，共44页，2023年，2月20日，星期六一级千分尺Δ仪为0.004mm,

D=3.435±0.004mm

第18页，共44页，2023年，2月20日，星期六间接测量的不确定度计算不确定度的传递公式设 y=f(x1,x2,x3,…,xN),且x1,x2,x3,…,xN相互独立 的直接测量量第19页，共44页，2023年，2月20日，星期六常用函数的不确定度传递公式 N=x±y

N=Sinx

N=Lnx第20页，共44页，2023年，2月20日，星期六例1:单摆测重力加速度的公式 。经过多次测 量，得各直接测量量为T=（2.000±0.002)s, L=(100.0±0.1)cm，试求重力加速度g、ug和ur。解：

由不确定度传递公式得：

u(g)=9.870×0.22%=0.022m/s2

g=(9.870±0.022)m/s2 (p=68.3%)第21页，共44页，2023年，2月20日，星期六例2:用电子天平测得一个圆柱体的质量m=80.36g，电子天平的最小指示值为0.01g，不确定度限值为0.02g。用钢尺测量该圆柱体的高度H=H2-H1，其中H1=4.00cm，H2=19.32cm，钢尺的分度值为0.1cm，估读1/5分度，不确定度限值为0.01cm。用游标卡尺测量该圆柱体的直径D（数据如下表），游标卡尺的分度值为0.002cm，不确定度限值为0.002cm。D/cm 2.014 2.0202.0162.0202.018 2.0182.0202.0222.0162.020试根据上述数据，计算该圆柱体的密度及其不确定度。第22页，共44页，2023年，2月20日，星期六解：(1)圆柱体的质量m=80.36g

(2)圆柱体的高度H=H2-H1=(19.32-4.00)cm=15.32cm(3)圆柱体的直径的平均值第23页，共44页，2023年，2月20日，星期六(4)计算材料的密度ρ第24页，共44页，2023年，2月20日，星期六第25页，共44页，2023年，2月20日，星期六3 4 5三、有效数字及其运算规则有效数字的一般概念

可靠数字和可疑（欠准确）数字合起来的值，称为有效数字。例： 5.23cm有效数字的基本特性有效数字的位数与仪器精度(最小分度值)有关,也与被测量的大小有关。例：用千分尺（最小分度值0.01mm），测量某物体的长度读 数为4.834mm,4位有效数字；用精度为0.02mm的游标 卡尺来测量，其读数为4.84mm，3位有效数字。第26页，共44页，2023年，2月20日，星期六用同一仪器测量大小不同的被测量，被测量越大，测量结果的有效位数越多。有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字的位数不应发生变化。例：L= 3位注意：

用以表示小数点位置的“0”不是有效数字，“0”在数字中间或数字后面都是有效数字不能随意增减。第27页，共44页，2023年，2月20日，星期六有效数字与不确定度的关系规定不确定度的有效位数只取1位，任何测量结果，必须与之对齐。例： × ×第28页，共44页，2023年，2月20日，星期六有效数字的运算规则加、减的运算规则 最后结果的欠准确数与参与运算的诸数中最先出现欠准确数位置对齐。例: 325.7-16.78=308.9 325.7 -16.78

308.92

第29页，共44页，2023年，2月20日，星期六乘除法 最后结果的有效数字的位数与参与运算诸数中有效数字位数最少的那个相同。例：2.35×2.1=4.9

2.35

×2.1

235

470

4.935第30页，共44页，2023年，2月20日，星期六乘方、开方 最后结果的有效数字位数与被乘方、开方数的有效数字位数相同。例：对数和三角函数对某测量值x取一函数值，而x的有效位数已知，可通过改变x的末位数的一个单位，并观察函数值的变化，以决定原来函数值的位数。例：x=20º6求Sinx∵Sin20º7=0.34393 和

Sin20º5=0.34339∴Sin20º6=0.3436596946≈0.3437第31页，共44页，2023年，2月20日，星期六注意：常数项不算有效位数中间过程可以多保留一位例：3.78+4.543+3.785=8.323+3.785=12.108 =12.11第32页，共44页，2023年，2月20日，星期六1.

列表法（1）表格中各栏目（纵或横）所列物理量均应 标明其名称和单位；（2）表格中各物理量的排列应尽量与测量顺 序一致；

（3）表格中所列的数据主要是原始数据，重 要的中间计算结果也列入表中；（4）有必要，还应记下测量仪器和规格。四、实验数据处理与作图要求第33页，共44页，2023年，2月20日，星期六例：自行设计测量钢珠直径的表格

一级螺旋测微计量程0-25mm最小刻度0.01mm测量次数初读数D’/mm 末读数D”/mm 钢珠直径D=D”-D’/mm1 0.004 1.672 1.6682 0.003 1.670 1.6673 0.004 1.670 1.666

… …8 0.0031.670 1.667

平均值 1.6672≈1.667第34页，共44页，2023年，2月20日，星期六作图法图是表达实验数据变化规律的重要方法，也是进行实验数据处理的重要方法。作图规则：（1）选用合适大小的坐标纸，一般是 20×25cm作图纸，对应3~4位有效数字；（2）画出坐标轴和标度线，坐标比例取1、2、5；（3）自变量：x/单位，应变量：y/单位；（4）实验数据点用“+”、“”、“”等表示；（5）作直线：相当于取平均值概念；（6）写出Y-X图（图名）；（7）用A（X1，Y1）、B（X2，Y2）求出斜率。第35页，共44页，2023年，2月20日，星期六例：用惠斯登电桥测定铜丝在不同温度下的电阻值，数据见下表。试求铜丝的电阻与温度的关系。t/ºC 15.5 24.0 26.5 31.1 35.0 40.345.049.7R/Ω 2.8072.8972.9192.9693.0033.059 3.1073.155t/ºC54.9R/Ω3.207第36页，共44页，2023年，2月20日，星期六铜丝电阻与温度曲线•(10.0,2.755)解:设铜丝电阻与温度为线性关系R=α+βt 由斜率求β，由截距求α第37页，共44页，2023年，2月20日，星期六在图上任取两点(t1,R1)、(t2,R2)代入公式R=α+βt得 R1=α+βt1 R2=α+βt2斜率β和截距α,即或者α=R-βt=2.755-0.0101×10.0=2.654Ω∴铜丝电阻与温度的关系为 R=2.652+0.0101t第38页，共44页，2023年，2月20日，星期六逐差法

逐差法是物理实验中处理数据常用的一种方法，这里只讨论x是作等间距变化。若要测量相邻两条条纹的间距，用平均值求解，并不合