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常微分方程试题库试卷库常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题(30%)1、方程M(x,y)dx+N(x,y世=0有只含，的积分因子的充要条件是( )。有只含y的积分因子的充要条件是 。称为黎卡提方程，它有积分因子。3、称为伯努利方程，它有积分因子。4、若X串),X。(t),L,X(t)为n阶齐线性方程的n个解，12 n则它们线性无关的充要条件是5、形如的方程称为欧拉方程。6、若0(t)和甲(t)都是X，二A(t)X的基解矩阵，则0(t)和V(t)具有的关系是7、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为时，零解是稳定的，对应的奇点称为。二、计算题(60%)1、ydx-(x+y3)dy-0x"+x-sint-cos21dy

dx=dy

dx=P(x)y+Q(x)yn4 2 13、若A1-1"试求方程组X，=Ax的解须）尸（。）”]{J并求expAt4 （dy）3—4xydy+8ydy=pdy=p(x)y2+Q(x)y+R(x)dx、dxdx5、求方程d=x+y2经过（o,0）的第三次近似解三、证明题（10%）1、〃阶齐线性方程一定存在几个线性无关解。试卷答案一填空题aMd.Nay ax /、1、=叭y)— 二叭1、=叭y)Nu(x,y)=y—nj(n—1)p(x)dw[x(t),x(t),L,x(t)]中01 2 ndny dn—1 丁dyxn+a+L+a+ay=0dxn 1dxn—1 n—1dx n6、甲（t）=0（t）C7、零 稳定中心

二计算题am1an1—=1,——=-1ayax1、解：因为 ，所以此方程不是恰当J工dy方程，方程有积分因子J工dy方程，方程有积分因子Wy)="y=e-1ny2=捻，两边1dxx+y3同乘声得了一dy=0nx0_y原方程有特解1程nx0_y原方程有特解1程A=-2B=0原方程有特解3、解：PQ)=k=1n=21九-2 -11九一4二九2-6九+9=0解得=3此时1,22"A-3E喟-i=0 」L2」4+1(—q+1)

JL JL 乙n+1(—q+i)-2 1 2dy=c[LJ

dxdy=cy所以解为xy2y+至=c即2x=y(y2+c)另外y=0也是解2、线性方程x〃+x=0的特征方程九2+1=0故特征根九=±i , >f1(t)=sint X=i是特征单根，x=t(Acost+Bsint)代入原方f2(t)=-cos21X=2i不是特征根x=Acos21+Bsin2,代入原方程A=3B=0所以原方程的解为x=C1COst+C2sin"21cost+3cos22

由公式expAt=expAt=e3t[e+1(A—3E)]=e33fdy[+8y2x=1dx)4、解：方程可化为噂令?p则有p3+8y2x=~^y^~(*)(*)两边对y求导:2y(p3-4y*+p(8y2一p3)=4y2p即(p3-4y2)(2啜-p)=0由2ydy-P=0得p=cy2即y=(P)2. - c22p . ..… ..将丫代入(*) x4 x10 x7 x4 x10 x7 x2 x5 x11 x8①=y+ (x+—+ +—)dx=—+—+ + 3 0 0 4 400 20 2 20 4400 160_c22p<x—T+72通解为：[y=(p)2p为参数1 . 4.一又由p3-4y2=0得p=(4y2)3代入(*)得：y=27x也是方程的解①=y=0丫0"TOC\o"1-5"\h\zx7 x2①=y+xdx=一\o"CurrentDocument"0 0 2x/ x2 x2x5①=y+J(x+一)dx=一+_5、解:-三、证明题，0 0 5、解:-三、证明题由解的存在唯一性定理知：口阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：TOC\o"1-5"\h\zx(t)=1,x(t)=0,LL,x(t)=010 20 n0x'(t)=0,x'(t)=1,LL,x(t)=01、07 2、0， n07LLLLLLLLLLLLLLLxn-1(tn)=0,xnT(tn)=0,L,xn-1(t)=11 0 2 0 n010w[w[x(。),x°(7),L,x(t)]二

10 20n0考虑从而x(t)”1,2,Ln)是线性无关的。i常微分方程期终试卷(2)，填空题30%1、形如 的方程，称为变量分离方程，这区八x皿、)分别为x.y的连续函数。2、形如 的方程，称为伯努利方程，这里p(x)q(x为的连续函数-n丰0.1是常数。引入变量变换 ，可化为线性方程。3、 如果存在常数L°0,使得不等式对于所有(x,y),(x,y)eR都成立，L称为利普希兹常数。函数f(xy)称为在R上关于y满足利普希兹条件。,y4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里a,a,是常数。的某一、口 1 2的某一5、设°(t)是x'=Ax的基解矩阵,解，则它的任一解y(t)可表为、计算题40%1、求方程餐6）-孙2的通解。2/▼।axx2、求方程的通解。3、求方程的隐式解。4、求方程£=x+y2通过点（0、0）的第三次近似解。三、证明题30%r-| r0 11r-1* t2t 9 9 X.试验证①Q）=2/1是方程组X=---X,X二，，1_」 1_。乙儿」 I-2—在任何不包含原点的区间上的基解矩阵。.设M为方程x二Ax（A为qn常数矩阵）的标准基解矩阵（即①（0）=E）,证明：①0①一（t）=①（t-t）其中t为某一值.TOC\o"1-5"\h\z0 0《常微分方程》期终试卷答卷一、填空题(每空5分)1W=/(%Xp(y) 2、 =P(x)y+Q(x)ynax ax7=3|/(x,j)-/(%,j)|VZ]y—y|1 2 1 1 21A dny dn-iy dy 八 +ax»-i +A+ax—+ay=Qdxn1dxn-l «-ldxn5、Y«)=M)+(p«)二、计算题(每题10分)1、这是n=2时的伯努利不等式，令Z二下，算ZHdz dy~r~=一)一2—'dx dx

代入原方程得到d--6z+x，这是线性方程，求xx得它的通解为z=:+点=£+三或者x=£+三或者x6-上—cx6 8或者y8 ，带回原来的变量y,得到y这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.2、dy xexy-y解：石二exy-町——-xdy=(xexy-y)dxxdy+ydx=xexydxdxy—xexydxdxy , —xdxexy积分：-e-xy―2x2+c故通解为：2x2+e-xy+c=0解：齐线性方程x，，+6x，+5x=0的特征方程为Q+-5一0，x丁x-xx— 丁丁-九--1,入—-5，故通解为x(t)—ce-t+ce-51九;2不是特征根，所以方程有形如而二Ae21把而代回原方程4把而代回原方程4Ae21+12Ae21+5Ae21=eA=21于是原方程通解为x(于是原方程通解为x(t)二1ce-1+ce-51+—e2121解4(x)=00

X2(P(x)=f[x+(p2(x)]dx=1 0X20(P(x)=f[x+(p2(x)]dx=—+—2 1 2 200/、0/、fr /、rT%2X5X8XH(p(x)=J[x+(P2(x)]dx=——+——+ + 3 2 2 201604400三、证明题（每题15分）i、证明：令面的第一列为①⑴二Q,这时1''znXf0就Jt）故q（t）是一个解。同样如果以①（t）表示①Q）第二列，我们有①（t）=L=2 2 、，‘or"q（t）这样Q（t）也是一个解。因此闻是解矩阵。文因为det①Q）二-±2故①Q）是基解矩阵。2、证明：（1）新）,①（t-t）是基解矩阵。W 0（2）由于忒）为方程x二Ax的解矩阵，所以①。①」（\）也是x二Ax的解矩阵，而当t=t。时，①二E,①（t—t。）二①（0）二E.故由解的存在唯一性定理，得①Q）g（t）=①（t-t）03、设%）为方程八4（A为…常数矩阵）的标准基解矩阵（即g）=E），证明LQE（一）其中，为某一值。 。。 。3、证明：%）为方程.於的基解矩阵恒口为一非奇异常数矩阵，所以 0（|）⑺C）也是方程%，=A%的基解矩阵，且帕一）也是方程八;的基解矩阵，且都满足初°始条件

=E，。(t所以=E，。(t所以00^（t）g（to）E（t-10）常微分方程期终考试试卷(5)一.填空题(30分).dx=尸(x)y+Q(x)称为一阶线性方程，它有积分因子e」P(x)dx，其通解为。e.函数“xy)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 。.若叭x)为毕卡逼近序列%(x)｝的极限，n则有赖)-①(x)1<。n-.方程d;x2+y2定义在矩形域R：-2«x«2,-2«y«2上，x ,则经过点(0,0)的解的存在区间是。.函数组ete-te21的伏朗斯基行列式为 。.若x(t…12K,n)为齐线性方程的一个基本解组，ix(t)为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为。.若①(t)是x'-A(t)x的基解矩阵，则向量函数3t)=是x，=A(t)x+f(t)的满足初始条件叭t。)二0的解；向量函数叭t)=是x=A(t)x+f(t)的满足初始条件叭t)F的解。.若矩阵A具有n个线性无关的特征向量v,v八,一An 12n

它们对应的特征值分别为九,九八九，那么矩阵_. 1 2n是常系数线性方程组一AX的一x—/lx个基解矩阵。.满足的点(x*,y*)，称为驻定方程组。计算题(60分).求方程4x2y2dx+2(x3y-1)dy—0的通解。.求方程d+edx-x-0的通解。x求初值问题dy———x2-y2dx求初值问题dy———x2-y2dxy(-1)=0r：,+1<1,1二1的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。求方程x.+9x=tsm3t的通解。x+xxssm试求方程组x1—Ax+f(t)的解3t).叭0)=et1二证明题(10分)16.如果3,)是x.—Ax满足初始条件叭t)-n的解，那么叭t)-txpA(t-1)10常微分方程期终考试试卷答案一.填空题1.y-e'(30分)p(x)dx(fQ(x)e」「(x)dxdx+c)2. f（X,y）在r上连续，存在L>0，使|f(|f(x,y1)-f(x,y2)|<L\y1-yJ,对于任意(X,y),(X,y)eR3．MLn hn+1(n+1)!4.3．MLn hn+1(n+1)!4.5.6.X(t)=^LcCX(t)+X(t)

iii=1①(t冲-iQ加+①。)Jt①-i(s)f(s)dsJt①(t)0-1(s)f(s)dst08.9.计算题（60分）SMQSN;10•解：西二8X2y,贰=6X2y12y 积分因子wy)=e」2ydy两边同乘以川y）后方程变为恰当方程:4x2y3dx+2y_2(x3y—1)dy=0Su 2——=M=4x2y3Sx

两边积分得：因此方程的通解为：y2(x3y-3)=C11.解：令d二得：v=p则p+ep-x=0x=p+ep那么y=Jpdx=Jp(1+ep)dpp2——+pep-ep+c2x=p+ep因此方程的通解为:12.解：M=max|f(x,y)|=412.(x,y)eRa,1a,1y-y0h=min(a,-b-)=1M4(x)=(x)=0+Jx-1x3 1 x3-(一+-)2dx=一3 3 36318x11——+ 942解的存在区间为X-x1Ix+11<—<x<-—又।二/2y1误差估计为： |q(x)-3x)|<MLn, hn+1(n+1)!2413.解：入2+9=0n入=3i,入=-3i九一3i是方程的特征值，一x(t)=t(At+B)e3it

得： x"=(2A-9Bt+12Ait+6Bi-9At2)e3it则2A+12Ait+6Bi=t得：A二-'i,B=3^因此方程的通解/、 c 「1 c1 .c12x(t)=ccos3t+csin3t—-t2cos3t+——tsin3t

361214.解:det(XE-14.解:det(XE-A)=X-1-2X-3二(X+1)(X-5)=0X=-1,X=5(XE-A)v=0(XE-A)v(XE-A)v=0(XE-A)v=0-aP

2P则基解矩阵①(t)=①(t)o-1(0)n=1123取v1e-t112」①(t)Jt①-1(s)f(s)ds=t020

3—e51——et+一10因此方程的通解为叭t)=①(t冲-1(0加+①(t)Jt①-1(s)f(s)dst0—e5t+——e5t+—et—e-t——20

310三.证明题16(10分)证明：由定理8可知叭t)=①(t冲-1(t川+①(t)Jt①-1(s)f(s)ds①(t)=expAt,①T(t)=(expAt)-1=exp(一At)f(s)=0^所以①(t)=expAt.exp(-At)q00 0lexpA(t-1)}一 0一所以4(t)=常微分方程期终考试试卷（6）又因为矩阵(0 0lexpA(t-1)}一 0一所以4(t)=常微分方程期终考试试卷（6）三.填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。1、当时，方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。2、称为齐次方程。dy3、求d'=f（x,y）满足叭x）=y的解等价于求积分方0 0程 的连续解。4、若函数一乙丫）无区域6内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程d=小，y）的解y二叭羽x,y）作为羽x,y的函数在它的存在范围内0 0 0 0是 。5、若x（t）,x（t）,...x（t）为n阶齐线性方程的n个解，则1 2 3它们线性无关的充要条件是6、方程组x/二A（t）x的称之为x/二A（t）x的一个基本解组。7、若帕）是常系数线性方程组x/二Ax的基解矩阵，则expAt=。8、满足的点lx*,y*），称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部时，零解是稳定的，对应的奇点称为。二、计算题（共6小题，每题10分）。1、求解方程：d=12、2、解方程：（2x+2yT）dx+（x+y-2）dy=03、讨论方程d=3y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0,0）的一切解4、求解常系数线性方程:x4、求解常系数线性方程:x//-2x/+3x-e-1cost5、试求方程组x/二Ax的一个基解矩阵，并计算eAt,其中A为[43]三、证明题（共一题，满分10分）。试证：如果①（t）是x,-Ax满足初始条件叭t）刃的解，0那么常微分方程期末考试答案卷入填空题。（30分）1、d.x2、3、4、手二f(2)dxxy=y+Jxf(x,y)dxo0..x0连续的5、6、n5、6、n个线性无关解wlx(t),x(t,),...,x(t)]w07、8、9、为零稳定中心7、8、9、为零稳定中心①(t)0-1(0)X(x,y)=0,Y(x,y)=0二、计算题。(60分)1、解:(x-y+1)dx-(x+y2+3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-y2dy-3dy=0即2dx2-d(xy)+dx-3dy3-3dy=0所以1x2-xy+x—1y3—3y=C乙 J2、解：d

2(x+y)—1(x+y)—2，

令z=x+y则里=1+空

dxdxdz1——二1—―z+2dz=dxzt1-z+3lnz+1=x+lniz+1i3=x+z+c即(x+y+1)3=Ce2x+y

3、解：设f(x,y)=fy3，则f=2厂"y’3、解：设f(x,y)=故在y00的任何区域上f存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，显然，y三0是通过点(0，0)的一个解；又由d=fy3解得，|y|=(x-)f所以，通过点(0，0)的一切解为y三0及J0 (x<c)y=[(x-c)f (x>c),c>0是常数4、解:⑴九2-2九+3=0, 九二1±、；2i1,2齐次方程的通解为X=-(ccos、..ft+csn&t)(2)x_1±i不是特征根，敌取一-1±ix=(Acost+Bsint)e-代入方程比较系数得A=(,B=-2TOC\o"1-5"\h\z—于-是x=(—cost—-sint)e-141 41通___ ,1.X— +—(5cost-4smt)e-1xet(ccosv21+csinA.-21) 411 2,/ 、九—1 —2汽.5、解：det(九E-A)--4九-3=入2-4'-5=0所以，入一一5设入一对应的特征向量为v1 1-2-4―2-2-4―21-4)1可得？二a

1I-1)同理取v=

2所以e-t①(t)=e-tv1I]同理取v=

2所以e-t①(t)=e-tv1I]eat=O(t)0-1(0)=、一e-1(2-1、IL八1-1三、证明题。(10分)(C为待定的常向量)(1)则由初始条件得”叭t)=eatC(1)0e0又(eat0)-1=e-at。所以，C=(eat0)-1n=e-ato「代入(1)得叭t)=eate『o”ea(t-1。川 即命题得证。常微分方程期终试卷(11)一.填空1. 它有积分因子解为2称为一阶线性方程，，其通称为黎卡提方程，若它称为一阶线性方程，，其通伯努利方程。.若中(x)为毕卡逼近序列％n(x匈的极限，则有|3(x)①(x)I<TOC\o"1-5"\h\zn -.若x(t)(i=1,2「,n)是齐线形方程的n个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程 。.若x(t)(i=1,2,-,n)是齐线形方程的一个i基本解组，x(t)为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为 。.如果A(t)是nXn矩阵，f(t)是n维列向量，则它们在a<t<b上满足时，方程组x，=A(t)x+f(t)满足初始条件x(t)=n的解在a<t<b上存在唯一。.若中(t)和曜(t)都是x，=A(t)x的基解矩阵，则中(t)与w(t)具有关系：.若中(t)是常系数线性方程组x，二Ax的基解矩阵，则该方程满足初始条件w(t0)=n的解w(t)= . 满 足的点(二*5,标为方程组的奇点.当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 时，零解是稳定的，对应的奇点称为

二.计算题(60分).ydx-(x+y3)dy=0(dy)3-4xydy+8y2=0乙，dxdx3•求方程dx=x+y2经过(0,0)的第三次近似解4.x"+4.x"+x=sint-cos21A215.若”=[-14并求expAt试求方程组x，=Ax的解8t”①⑼刃"6.求dx=-x-y+1，dy=x-y-5的奇点，并判断奇点的类型及稳定性.三证明题（10分）df设f（x,y）及正连续,试证方程dy-f（x,y）dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.答案填空

1.dy1.二p(x)y+Q(x)dxe』p(x)d(Jq(x)e」p(x)dxdx+c)2.-^二p(x)y2+Q(x)y+R(x)dx2.MLnhn+13.(n+1)!4.6.7.w+a(t)w=0A(t)f(t)连续5.x3.(n+1)!4.6.7.w+a(t)w=0A(t)f(t)连续5.x(t)二£cx(t)+x(t)iii=1①(t)=W(t)c,detc丰08。v(t)=w(t冲"0日9.dx而1空、dt=y(x,y)中X(x,y)=0,Y(x,y)=010.为0稳定中心二.计算题1. 1.d.M 1aN 1 =1,—=—1ay ax解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子』—dy 1 1dx x+y3My)=e-y =e-lny2=N，两边同乘y2得了-『dy=0JLJdx+Jy所以解为dy=cxy2y十元=c即2x=y(y2+c)另外y=0也是解(dy丫q9+8y2x=1dx)2.2.解：方程可化为 4ydx令d=Pp3+8y2则有x=F厂(*)(*)两边对y求导：2y(p3-4y2)dp+p(8y2-p3)=4y2pMP(p3-4y2)(2ydy-p)=0由2ydy一p=0得p=cy2MPy=(P)2. - c22p . ..… ..将丫代入(*)x=彳+三即方程的含参数形式的_c22p<x—T+苕通解为：［y=(P)2P为参数. 1. . 4.一又由p3-4y2=0得p=(4y2)3代入(*)得：y—27x也是方程的解 3.解：①=y=0丫0々x7x2①=y+xdx=一TOC\o"1-5"\h\z0 0 2x/ x2 x2x5①=y+ (x+一)dx=一+一々0 4 2 20x. x4 x10 x7x2 x5x11 x89=y+Jx(x+_+ +_)dx=—+_+ + 0।a 4 400 20 , 2 20 4400 160 ….线性方程x〃+x=0的特征方程九2+1=0故特征根九=±if1a)=sint 九二i是特征单根，原方程有特解1x=t(Acost+Bsint)代入原方程A=-2B=0

f2（t）=—cos21九二2i不是特征根，原方程有特解工二Acos21+5sin2/弋入原方程4=3B=0所以原方程的解为5.解：pQ)=

k=1n=21九-2 —11九一4二九2-6九+9=0解得二3此时1,2所以原方程的解为5.解：pQ)=

k=1n=21九-2 —11九一4二九2-6九+9=0解得二3此时1,22」由公式expAt二X；(A-3E)i-i=0. 」Le九1艺二(A—九E)ii=0.2」4+1(—q+nj

JL JL 乙n+1(—q+nj-2 1 2expA1=e31[e+1(A—3E)]=e316.解：由—x—y+1=0x-y-5=0解得奇点（3，-2）令dx而——ydyX=x-3,Y=y+2则[加因为-1-1=1+1w0故有唯一零解（0，0）二九2+2九+1+1=九2+2九+2=0zp得九二-1土i故(3,-2）为稳定焦点。三.证明题=p(x)=p(x)y+Q(x)（*）此方程有积分因子Mx）=e」p（x）dx有关2若该方程有只与x有关的积分因子g)则3)dy-Mx)f(x,y)dx=0为恰当方程，从而a(-Mx)f(x,y)) dMx) Sf M(x) = ——=- Sy dx Sy 日(x)f=-喘dy+°(x)=P(x)y+°(x)其中p(x)=曲于是方程化为dy-(p(x)y+Q(x))dx=0即方程为一阶线性方程.-常微分方程期终测试卷(12)一、填空题(30%).若y=y1(x),y=yjx)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为..方程祟=x2+y2满足解的存在唯一性定理条x件的区域是..fy'(x,y)连续是保证方程名=内,y)初值唯一的条件.‘一条积分曲线..线性齐次微分方程组dY=A(x)Y的一个基x本解组的个数不能多于个，其中xeR，丫eR「5.二阶线性齐次微分方程的两个解y二4（x）,y=4（x）成为其基本解组的充要条件6.方程・二sin“cosy满足解的存在唯一性定理x条件的区域是7.方程*x2tany的所有常数解九是’8•方程xsinydx+ycosxdy=0所有常数解是 ^9.线性齐次微分方程组的解组y（x）,y（x）,A,y（x）为基本解组的基行列式卬（,-/1 2 n条件是它们的朗斯10.〃阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个.:、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分:dyy y1. +tan—dxx x2.3.dx一2.3.dx一drdy-drdx一drdy-dr厂rk<<••45=-2x+3ydy .一.cosy-cosxsin2y=sinydx(2xy-cosx)dx+(x2-1)dy=0三、证明题(30%).试证明：对任意x及满足条件0<y<1的y，0 0 0方程dy y(y-1)dx1+x2+y2的满足条件y(x0)=y0的解y=y(x)在(-8,+8)上存在..设f(x)在［0,+8)上连续，且limf(x)=0，求证:xf+8方程dy+y二fx)的任意解y=y(x)均有limy(x)=0.xxfy.设方程/x2fy)中r(y)在i”)上连续可微，且yf(y)<0，(y,0).求证：该方程的任一满足初值条件y(x)-y的解y(x)必在区间［x,+8)上存在.0 0 0参考答案、填空题1•C[y(x)-y(1•C[y(x)-y(x)]+y(x)112.x°y平面3．4.n5．线性无关6.x°y平面7．k=0,土1,土2,Ay-k兀,k-0,±1,±2,A；充分y-k兀，或兀x兀x——+k兀，k-0,±1,±2,A29.充分必要10.计算题1.解：令uy=u+xu1.解：令uy=u+xu八时tanu丰0」dux-

dxtanu等号两边积分J9-tanuln|sinuln|sinu|=ln|x|+In|C|yysin—=Cxx2.解：令z2.解：令zsiny，则%cosydx代入方程得dz代入方程得dz-z2cosx-zdxdz-z-z2cosxdx再令l再令lz1，则得

u-z-1du—