流体力学第二章 流体运动学基础

第二章流体运动学基础2023/4/201.第二章流体运动学基础流体运动学是运用几何的方法来研究流体的运动，通常不考虑力和质量等因素的影响。流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动规律，是流体力学的一个组成部分。本章的学习目标：掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉法），结合迹线，流线，流管，流体线等显示流动特性的曲线研究流动特性。2023/4/202.了解流体微元的运动分解机理，即微团运动可分解为平移，整体转动，线变形运动及角变形运动。掌握有旋运动与无旋运动的特点。无旋运动可引入速度势。不可压无旋运动是一个纯粹运动学问题，正确给出边界条件，是求解的关键。2023/4/203.本章学习的内容描述流体运动的两种方法运动的几何描述连续流体线的保持性流体微团的运动分析有旋运动的一般性质无旋运动的一般性质不可压无旋流动的基本方程不可压无旋流的动能2023/4/204.2.1描述流体运动的两种方法2023/4/205.2.1.1拉格朗日方法拉格朗日方法是着眼于流体质点来描述流体的运动状态.如何区别流体的质点呢?质点标识----通常是用某时刻各质点的空间坐标（a,b,c）来表征它们。某时刻一般取运动刚开始的时间.以初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的标志.拉格朗日方法的一般表达:a,b,c,t称为拉格朗日变数—是流体质点的标志。2023/4/206.拉格朗日方法表示的速度，则有同样，质点的加速度可表示为

其中2023/4/207.它在直角坐标系中的分量为

流体的密度、压力、温度也可以写成a,b,c,t的函数

2023/4/208.已知用拉格朗日变数表示的速度场为式中，a,b是t=0时刻流体质点的直角坐标值。求：t=2时刻流场中质点的分布规律；a=1,b=2这个质点的运动规律；质点的加速度。例题2023/4/209.代入条件：在t=0时刻，x=a，y=b，求得积分常数，

解：积分得：2023/4/2010.得各流体质点的一般分布规律所以:(1)在t=2时刻流场中质点分布规律2023/4/2011.（2）a=1,b=2流体质点的运动规律

（3）加速度场2023/4/2012.2.1.2欧拉方法欧拉方法也称空间描述，它着眼于空间点，认为流体的物理量随空间点及时间而变化，也就是说，它把流体物理量表示成空间坐标及时间的函数。欧拉方法研究的是流体的场，相比较于拉格朗日方法，它更适合于研究流体的运动。拉格朗日方法着眼于流动过程中流体质点的运动，它比较适合于研究刚体的运动。根据欧拉的观点，任何物理量Φ（V,P,ρ）都是坐标和时间的函数,在直角坐标系中，该物理量可以表示为x,y,z,t:欧拉变数－空间位置的标志2023/4/2013.注意事项:不要把空间点和流体质点混淆。流体运动时，同一个空间点在不同的时刻由不同的流体质点所占据。所谓空间点上的物理量是指占据该点的各个流体质点的物理量。在欧拉方法中，各物理量将是时间和空间点的函数。欧拉方法研究的是场。最后指出，欧拉法和拉格朗日法只不过是描述流体运动的两种不同方法。对于同一问题，既可用拉格朗日法也可用欧拉法来描述。采用何种方法视具体问题而定。2023/4/2014.2.1.3实质微商、加速度

实质微商（又称质点导数、随体导数）：质点的物理量随时间的变化率。实质微商在拉格朗日方法中的表达

实质微商在欧拉方法中的表达，物理量是空间和时间的函数，以速度为例思考：在欧拉方法中，表示什么？2023/4/2015.欧拉描述的流体的随体导数实质微商在欧拉方法中的表达。设物理量是空间和时间的函数，以速度为例2023/4/2016.随体导数（实质微商、质点加速度）亦可写为：某流体质点的速度对于时间的变化率就是该流体质点的加速度。按定义式中2023/4/2017.随体导数（实质微商、质点加速度）写成分量形式为另一方面，于不同时刻通过某一固定点的不同流点之速度一般也是不同的，但这种表示为局地加速度localacceleration对流加速度convectiveacceleration2023/4/2018.都可以表示成实质微商，随体（物质、全）导数随体导数（实质微商）类似的，与流体有关的所有的物理量Φ

如：2023/4/2019.求质点的加速度。例题：已知解：2023/4/2020.课堂例题一个流场，由u=2x,v=y来定义，试着求点（3，2）处的速度和加速度大小。一个流场，由u=2y,v=xy来定义，试着求点（3，1）处的速度和加速度大小。一个二维流场，由u=2+xy+3t2,v=2xy2+t来定义，试着求t=4时刻，点（2，3）处的速度和加速度大小。2023/4/2021.定常流、流量、平均流速定常流：在流场中任何一点，所有的状态参数都不随时间而变，但不同点处的参数可以不同。单位时间内流过任何截面的流体数量称为流量。流量可以表示为：体积流量(m3/s)、质量流量(kg/s)、重量流量(N/s)。VθdA’dA体积流量：2023/4/2022.对于密度为常数的质量流量：对一维流动，常采用平均速度的方法求流量：例题:某种液体在直径为150mm的管路内流速为0.8m/s试求流量（体积流量，质量流量）。2023/4/2023.2.1.5球坐标系和柱坐标系中的加速度2023/4/2024.2023/4/2025.同理可以导出加速度在柱坐标中的表达式：

可得平面极坐标中加速度的表达式

2023/4/2026.我们常常要寻求拉格朗日位移场

和欧拉速度场

之间的关系。

2.1.6两种方法的相互转变.在此我们取t=0为拉格朗日参考时间，因此拉格朗日的速度场用下式给出

.显然，应有如下等式：.如果给定拉格朗日表达式,则拉格朗日速度场确定为了得到欧拉速度场，我们必须根据三个表达式反解，以求得并将其代入拉格朗日速度场,即得以欧拉变数表示的速度场。一、拉格朗日变数转变为欧拉变数.已知以拉格朗日变数表示的位移场为：试求以欧拉变数表示的速度场。解：我们对式（1）取时间导数得例题.用式（1）的2代入（2）式的1，则得以欧拉变数表示的速度场为：

.如果给定欧拉速度场表达式则拉格朗日位移场不能直接从上式反解得到.但是根据可以对速度场在特定的初始条件和边界条件下积分得到拉格朗日变数。二、欧拉变数转变为拉格朗日变数.给定二维欧拉流场求以拉格朗日变数表示的流体运动。例题.由已知条件得积分得式中f和g是待定的a和b的函数。解：.求出上式中的积分，我们有

给定初始条件：t=0时，x=a和y=b，我们得f(a,b)=a和g(a,b)=b。所以式（1）的拉格朗日等价形式是.经验:由欧拉表示法到拉格朗日表示法的变换要求积分运算，而从拉格朗日表示法到欧拉表示法的变换要求微分运算..2.2运动的几何描述

2023/4/2038.运动的几何描述－学习要求了解迹线和流线的概念了解流线的性质掌握迹线和流线的方程了解迹线和流线的区别与联系2023/4/2039.流体力学是一门高度可见的科学2023/4/2040.流体力学是一门高度可见的科学2023/4/2041.流体运动的几何描述－－迹线和流线什么是迹线?迹线迹线（PathLine）是指某一流体质点在某一时段内的运动轨迹线。关于迹线两点说明2023/4/2042.迹线的微分方程由于在流体力学中通常采用欧拉描述，即给出的是速度场迹线方程写成分量形式为2023/4/2043.式中，u，v，w均为时空t，x，y，z的函数，且t是自变量。或者写成如下形式解微分方程组可得到迹线的方程——迹线方程2023/4/2044.已知流体质点的位置由拉格朗日变数表示为例题两式平方，相加得解求质点的轨迹。2023/4/2045.消去t得，由条件时，可解出解：积分得，设两维流动求t=0时通过（1，1）点的迹线。例2023/4/2046.在欧拉法中，应由速度场建立迹线方程。迹线的微元长度向量应等于质点在微小时间间隔dt内所移动的距离，即

在直角坐标系中它可表示为2023/4/2047.例题

已知速度分布为，求流体质点的迹线。解:根据已知条件得

分别积分后可得2023/4/2048.流线什么是流线？流线是这样的曲线，在某一时刻,此曲线上任一点的切线方向与流体在该点的速度方向一致。2023/4/2049.流线（StreamLine）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动状况。流线关于流线两点说明2023/4/2050.参考右图。在流场中任取一点1，绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量;如此继续下去，得一折线1234……，若各点无限接近，我们将得到一条光滑的曲线，其极限就是某时刻的流线。流线的绘制方法12345沿着点1的速度矢量方向，找到距1点很近的2点，画出在同一时刻通过点2的流体质点的流速矢量;再画出距2点很近的3点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量;2023/4/2051.a、同一时刻的不同流线，不能相交。d、流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。e、对不可压缩流体，流线簇的疏密反映了速度的大小。U2L1L2U1b、流场中的每一点都有流线通过，由这些流线形成流谱。c、流线的形状及位置，在定常流动时不随时间变化；而在不定常流动时，一般说来要随时间变化。流线的性质2023/4/2052.根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：设dr为流线上A处的一微元弧长V为流体质点在A点的流速Adr流线的方程流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，V和dr重合。即2023/4/2053.流线的方程展开后得到：即流线方程2023/4/2054.流线与迹线的区别与联系迹线是同一质点不同时刻所形成的曲线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向；流线是同一时刻不同质点的所组成的曲线，它给出该时刻不同流体质点的运动方向。迹线方程中，时间t是自变量，x,y,z是t的函数；在流线方程中，时间t是参数，积分时当作常量处理。迹线是与拉格朗日方法相联系的；流线是与欧拉方法相联系的。不定常运动时，流线和迹线一般是不重合的，而在定常运动时，二者必然重合。2023/4/2055.例二维稳定流动的速度分布为u=kx,v=-ky,w=0,这里k

是一正的常数.求流动的流线。解：

因为速度与时间无关，所以运动是稳定的。因此流线和迹线重合，又因为w=0,所以运动是二维的.积分得双曲线xyo2023/4/2056.定常与非定常流动中的流线与迹线2023/4/2057.试求：（1）在t=t0

瞬间，过A（x0,y0,z0）点的流线方程；

（2）在t=t0

瞬间，在A（x0,y0,z0）点的迹线方程。例：已知流动速度场为2023/4/2058.（1）流线一般表达式为积分得：当t=t0

时,x=x

0,y=y

0得即：故将本题已知条件代入有解2023/4/2059.（2）迹线一般表达式为即：t是自变量或写成：代入本题已知条件有：2023/4/2060.解：流线由式积分得：

例已知流速场为其中C为常数（C>0），求流线方程与迹线方程。2023/4/2061.因此，流线和迹线均为同心圆。当时，积分得：

表示流向为逆时针。因本例速度场与时间无关，为定常流，表明定常流流线与迹线重合。迹线由式2023/4/2062.例已知平面流动试求：（1）t=0时，过点M（–1，–1）的流线（2）求在t=0时刻位于x=–1，y=–1点处流体质点的迹线。解：（1）由式得将：t=0，x=-1，y=-1代入得瞬时流线

xy=1即流线是双曲线（2）由式得由t=0时，x=–1，y=-1得C1=0，C2=0，则有：或写成：（MC线）得：迹线方程：2023/4/2063.在流场中，作一不与流线重合的任意封闭曲线，于同一时刻过此曲线上的每一点作流线，由这些流线所构成的管状曲面称作流管.

2.2.3流管

流管截面2023/4/2064.在定常流的情况下，以A1和A2为端面的这段流管内的流体质量不随时间变化.2023/4/2065.流管有如下性质：（1）流管不能相交。（2）流管的形状及位置，在定常流动时不随时间变化；而在不定常流动时，可能随时间变化。（3）流管不能在流场内部中断。流管只可能始于或终于流场边界，如物面、自由面；或者成环形；或者伸展到无穷远处。

2023/4/2066.已知用柱坐标系表示的速度场为求通过x=1，y=1的流线方程及在t=0时刻过x=1，y=1的那个质点的迹线方程。解:（1）流线方程在柱坐标上的形式为例题12023/4/2067.代入流线方程得所以流线方程为

2023/4/2068.（2）迹线方程（2-2-1）在柱坐标上的形式为由已知条件得

2023/4/2069.由此得该质点的迹线方程为

而流线方程为2023/4/2070.已知直角坐标系中的速度场试求：（1）一般的迹线方程，令t=0时的坐标值为a,b。（2）在t=1时刻过（1，2）点的质点的迹线。（3）在t=1时刻过（1，2）点的流线。（4）以拉格朗日变数表示的速度分布V=V(a,b,t)例题22023/4/2071.（1）利用迹线微分方程（2-2-1）或(2-2-2)积分之得利用t=0时的条件：x=a，y=b可得

解：2023/4/2072.得迹线方程（2）将条件t=1,x=1,y=2代入迹线方程（c）定出表征该质点的拉格朗日变数a、b为于是过该点的质点的迹线方程可写成2023/4/2073.（3）将u，v代入流线微分方程（2-2-4）得积分之得

此为一般流线方程。将条件t=1,x=1,y=2代入上式，可知常数

2023/4/2074.因此在t=1时刻，过该点的流线方程可写成（4）求拉格朗日变数表示的速度分布有两种途径：其一：直接对迹线方程（c）求导，得2023/4/2075.其二：把迹线方程（c）当作一种变换，直接代入以欧拉变数表示的速度分布式（a）式，可得

2023/4/2076.求下述欧拉速度场的迹线方程例题32023/4/2077.2023/4/2078.2023/4/2079.2.3连续流体线的保持性2023/4/2080.在同一时刻由确定的一组连续排列的流体质点所组成的面称作流体面，若流体面处处光滑，则称作光滑流体面。2.3连续流体线的保持性在同一时刻由确定的一组连续排列的流体质点所组成的线称作流体线，若流体线处处可微，则称作连续流体线(即光滑流体线)。概念—连续流体线与光滑流体面2023/4/2081.连续流体线的保持性：连续可微（指参数方程连续可微，这种流体线必然光滑。）的流体线在运动过程中始终保持为连续可微的流体线，并且其上的流体质点的排列顺序不随时间变化，流体线两端的质点仍保持在流体线两端。光滑流体面的保持性：光滑流体面的保持性是指：光滑流体面在运动过程中始终保持为光滑流体面，并且其上的流体质点的排列顺序不随时间变化。2023/4/2082.2.4流体微团的运动分析2023/4/2083.2.4流体微团的运动分析流体微团与流体质点是两个不同的概念。在连续介质的概念中流体质点是可以忽略线性尺度效应（如膨胀、变形、转动等）的最小单元，而流体微团则是由大量流体质点所组成的具有线性尺度效应的微小的流体团。任何一个刚体的运动都可以分解为平动和转动之和。对于流体来说，还多了一个变形运动。2023/4/2084.刚体的运动是由于平移和绕某瞬时轴的转动两部分组成。流体微团的运动，一般除了平移、转动外，还要发生变形（角变形和线变形）xxyy（a）刚体（b）流体平移转动线变形角变形

2023/4/2085.刚体——平移、旋转流体——平移、旋转、变形（线变形、角变形）平移线变形旋转角变形流体微元的运动分析2023/4/2086.原来正交的微元六面体在Δt时间间隔后将变成斜平行微元六面体。如图所示。

2.4.1流体微团运动的几何分析2023/4/2087.流体微元的速度：2023/4/2088.线变形速率：单位时间内流体线的相对伸长。x方向线变形是单位时间微团沿x方向相对线变形量（线变形速度）同理存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因2023/4/2089.2023/4/2090.由于微元体在x,y,z方向有伸长，所以微元体的体积会发生变化，经过Δt时间后，其体积变为其体积相对变化了上式表明了速度散度为微元体积的的相对体积膨胀率。对于不可压缩流体：2023/4/2091.旋转角速度：逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负两正交微元流体线角速度的平均值，也即角平分线的旋转角速度2023/4/2092.是微团绕平行于oz轴的旋转角速度同理微团的旋转：2023/4/2093.角变形速率：直角边与角平分线夹角的变化速度。微团的角变形：2023/4/2094.存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因是微团在xoy平面上的角变形速度同理2023/4/2095.综上所述，正交六面体的运动可分解成：整体的平移运动、流体的旋转运动、线变形及角变形运动。这九个分量又是由下列九个量组合而成:与此相应的是平移速度、旋转角速度、线变形速率、角变形速率。除平移外，六面体的运动状态，在一般情况下需要九个独立分量来描述，即

2023/4/2096.例：平面流场u=ky，v=0（k>0），分析流场运动特征解：流线方程：线变形：角变形：旋转角速度：xyo（流线是平行与x轴的直线族）（无线变形）（有角变形）（顺时针方向为负）2023/4/2097.例：平面流场u=－ky，v=kx（k>0），分析流场运动特征解：流线方程：（流线是同心圆族）线变形：（无线变形）角变形：（无角变形）旋转角速度：（逆时针的旋转）刚体旋转流动2023/4/2098.流体微团的运动－平移、转动、角变形和线变形转动角变形线变形2023/4/2099.2.4.2海姆霍兹速度分解定理2023/4/20100.展开2023/4/20101.得到平移速度旋转引起的相对速度变形引起的相对速度2023/4/20102.而变形引起的速度可以表示为：对于由于A点绕O点旋转在A点引起的速度：2023/4/20103.海姆霍兹速度分解定理可简述分解如下：点O邻近的任一点上的速度可分成三个部分：于是A点的速度可以表示为：（3）变形在A点引起的速度。（1）与O点相同的平移速度；（2）绕O点转动在A点引起的速度；因为表示流体有无旋转，所以若称为无旋运动若称为有旋运动2023/4/20104.海姆霍兹速度分解定理对流体力学的发展的影响:(1)把旋转运动从一般运动中分离出来.(2)把流体的变形运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能将流体的变形速率与流体的应力联系起来，这对粘性规律的研究有重大的影响。(3)揭示了流体运动与刚体运动的区别在于前者与后者相比多了变形引起的速度项。2023/4/20105.2.5有旋运动的一般性质2023/4/20106.2.5.1涡量场有旋运动又叫旋涡运动.流动究竟是有旋还是无旋，是根据流体微团本身是否旋转来决定的，而不是根据流体微团的轨迹形状来决定的。2.5有旋运动的一般性质观看录像2023/4/20107.上式也称作涡量连续方程。

流体速度的旋度在流体力学中常简称为涡量，而在气象学上称为涡度.涡量场有一个重要特性，即涡量的散度为零。涡量2023/4/20108.涡线是这样一条曲线，于某给定时刻,曲线上任意一点的切线方向与在该点的流体的涡量方向一致，如图所示。

2.5.2涡线、涡管、涡通量、环量涡线涡线的方程

在直角坐标系中根据涡线定义，空间任一点只能作一条涡线。2023/4/20109.涡管在涡量场中任取一条非涡线的可缩封闭曲线（可缩封闭曲线是指此曲线可收缩到一点而不越过流场的周界），在同一时刻过该曲线的每一点作涡线，这些涡线形成的管状曲面称作涡管，如图所示。2023/4/20110.涡通量通过某一开口曲面的涡量总和称作涡通量，如图所示。2023/4/20111.速度环量在流场中任取一封闭曲线L，速度沿该封闭曲线的线积分称为曲线L的速度环量.为统一起见，规定积分时的绕行方向是逆时针方向，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向的左侧，如图所示。2023/4/20112.涡管强度守恒定理：在同一时刻，同一涡管的各个以绕涡管壁面的封闭曲线为边界的曲面上的涡通量相同。

2.5.3涡管强度守恒定理

证明:

2023/4/20113.另一方面根据高斯定理,有

由涡强守恒定理可以得出两个结论：对于同一个微元涡管来说，在截面积越小的地方，流体旋转的角速度越大。涡管截面不可能收缩到零.涡管不能始于或终于流体，而只能成为环形，或者始于边界，终于边界，或者伸展到无穷远。2023/4/20114.速度环量与涡通量有密切的关系。若A是以封闭周线L为周界的曲面，如L为可缩曲线，则由斯托克斯公式得可缩封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意开口曲面的涡通量。在同一涡管上绕涡管的任意封闭曲线的速度环量相等。2023/4/20115.已知柱坐标系上的速度场为求：（1）曲线的速度环量。（2）通过上述圆平面的涡通量。解（2）已知速度场为（1）圆周上的速度为例题因此通过圆平面的涡通量为2023/4/20116.由图知2.5.4封闭流体线的速度环量对时间的变化率凯尔文定理：封闭流体线的速度环量对于时间的变化率等于此封闭流体线的加速度的环量。证明而2023/4/20117.将此式对流体线积分得根据积分原理考虑2023/4/20118.2.6无旋运动的一般性质2023/4/20119.对于无旋流场，处处满足

2.6.1速度有势任意时刻，在流体中速度旋度处处为零的流动称作无旋流动。无旋流场存在着一系列重要性质，这些性质无论对于可压缩流动还是不可压缩流动都是存在的。向量分析原理：旋度等于0的矢量必为一标量的梯度。显然，速度势与速度分量的关系在直角坐标系中为2023/4/20120.速度势函数的引入可把含有三个未知数的速度问题化成单一变量Φ的问题无旋必