河北省巨鹿县2023年高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知双曲线E:二一二=1（。>。>0）的左、右焦点分别为片，尸是双曲线E上的一点，且|PE|=2|/V".

ab~

若直线Pg与双曲线E的渐近线交于点且M为尸耳的中点，则双曲线£的渐近线方程为（）

A.y=±；xB.y=C.y=±2xD.y=±3x

2.已知平面向量满足|£|=|四，且（应3-a_LB,则所夹的锐角为（）

nn

B.D.0

64

/(2)<12

3.已知函数■加C+G其中0Wb«4?<C<，记函数/（x）满足条件：］为事件A，则事件A

/(-2)<4

发生的概率为

£5

48

4.已知数列｛%｝为等比数列，若4+出+他=26,且。5。。9=36,则，+二~+二~=（）

1313

A.D.—

T86

5.设平面a与平面夕相交于直线/〃，直线。在平面a内，直线。在平面£内，且贝力”是（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分不必要条件

6.在AABC中，"cosA<cos3"是"sinA>sin3”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7,已知双曲线。：「一4=力＞0）的左，右焦点分别为£,工，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的

ab“

点，直线尸O,2工分别交双曲线C的左，右支于另一点M,N,若归国=3归闾，且NM6N=6（）,则双曲线的离

心率为（）

A.立B.3C.2D.—

22

22

8.椭圆+3=1的焦点为£，鸟，点P在椭圆上，若I尸81=2,则6的大小为（）

A.150°B.135°C.120°D.90°

22

9.设耳，场分别为双曲线二-5=15＞0力＞0）的左、右焦点，过点£作圆/+的切线，与双曲线的左、右

ab-

两支分别交于点P,。，若|。月|=|尸。|,则双曲线渐近线的斜率为（）

A.±1B.±（V3-1）C.±（V3+1）D.±75

10.若函数”x）=x2+2x-mcos（x+l）+M+3m-7有且仅有一个零点，则实数机的值为（）

A.-3-屈B.3■国._4

c）D.2

22

11.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）

4力

ITIT

正程图

区

德福图

24

A.-B.1C.-1D.-

333

12.在四边形ABCD中，AD//BC,AB=2,AD=5,BC=3,ZA==60°,点£在线段CB的延长线上,且AE=BE,

点M在边C£＞所在直线上，则AA/.ME的最大值为（）

A.B.-24C

44

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.二项式的展开式中无6项的系数为.

22

14.已知平行于x轴的直线/与双曲线C：W-方=1(。>0*>0)的两条渐近线分别交于P,。两点，。为坐标原

点，若AOPQ为等边三角形，则双曲线。的离心率为.

V-22

15.已知椭圆土+v乙=1的左、右焦点分别为"、工，过椭圆的右焦点F,作一条直线/交椭圆于点p、。.则△片PQ

43

内切圆面积的最大值是.

16.在AABC中，点。在边AB上，且。乂=23力，设Oi=M，CB^b>则丽=(用M，5表示)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数分(x)=|x-2|,g(x)=a|x|—l.

(1)若不等式g(x—3)2-3的解集为[2,4],求。的值.

(2)若当xeR时，f(x)>g(x),求。的取值范围.

18.(12分)在AA3C中，内角A,8,C的边长分别为a,4c,且c=2.

TT

(1)若A=1,b=3,求sinC的值；

(2)若sinAcosz'+sin5cos24=3sinC,且AABC的面积S=£sinC,求。和。的值.

222

19.(12分)已知｛。〃｝为等差数列，也｝为等比数列，｛0｝的前〃项和为S〃，满足囚=3,4=1,^2+S2=10,

a5—2b?-丹.

(1)求数列&｝和也｝的通项公式；

二,〃为奇数,.

⑵令%，数列｛%｝的前〃项和T“，求&.

b,„〃为偶数

20.(12分)如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为边长为2的菱形，PA_L平面ABC。，ZABC=60°,E

是BC的中点，PA=AB.

p

B

(I)证明：AELPDx

(D)若R为PD上的动点，求EF与平面PA。所成最大角的正切值.

21.(12分)某单位准备购买三台设备，型号分别为A6,C已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规

定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易

耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各

60台，调查每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.

每台设备一个月中使用的易耗品的件数678

型号A30300

频数型号B203010

型号C04515

将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.

(1)求该单位一个月中A,民C三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；

(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易

耗品？

22.(10分)设点b(l,0),动圆P经过点F且和直线x=—l相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.

(1)求曲线W的方程；

(2)过点M(0,2)的直线/与曲线W交于A、8两点，且直线/与x轴交于点C,设砺/，MB=(3BC,

求证：二+4为定值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

由双曲线定义得|PK|=4a,|P用=2a,OM是6月的中位线，可得|。叫=即在△。晒中，利用余弦定理即

可建立a,c关系，从而得到渐近线的斜率.

【详解】

根据题意，点尸一定在左支上.

由卢闾=2|尸制及户用—归耳|=2a,^\PF\=2a,\PF2\=4a,

再结合M为PF2的中点，得|P周=|M6|=2a,

又因为OM是耳鸟的中位线，又|OM|=a,且。M〃P耳，

从而直线P耳与双曲线的左支只有一个交点.

z?2+，_Afj-

在中cos4MOR=-----------——①

lac

由tan/MO月=2,得cosNMOF,=0.——②

'ac

r~h

由①②，解得二=5,即巳=2,则渐近线方程为'=±2》.

cra

故选：C.

【点睛】

本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.

2.B

【解析】

根据题意可得（血色-6）=0,利用向量的数量积即可求解夹角.

【详解】

因为（岳一岳-5）-5=o

即扃•万=出「

ab_ab_\/2

而cos

\a\-\b\\b\22

TT

所以万石夹角为I

故选：B

【点睛】

本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.

3.D

【解析】

/(2)<12J4+2Z?+c<12/、1

由9(-2)<4得'4一28+C44’分别以戾，为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系'由图可知'P（A）=5.

4.A

【解析】

根据等比数列的性质可得%•的=。6=裙=36,通分化简即可.

【详解】

由题意，数列｛q｝为等比数列，则％-《9=%・。8=齿=36,

又％+%+%=26,即4+。8=26-%，

111_36+%-(4+/)_36+%.(26-%)

所以，—+=-----------------------=----------------=----------------，

4%%36・%36・%

_36+令(26-%)_36+269-@_36+26%-36_26q_13

36・%36q36・％36018

故选：A.

【点睛】

本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.

5.A

【解析】

试题分析：a_L6，b_Lmn又直线a在平面a内，所以aJ_b,但直线4m不一定相交，所以“aJLfP是“a_Lb”

的充分不必要条件，故选A.

考点：充分条件、必要条件.

6.C

【解析】

由余弦函数的单调性找出cosA<cosB的等价条件为A>8,再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出

"cosA<cosB"是"sinA>sinB”的充分必要条件.

【详解】

•.・余弦函数y=cosx在区间（0,万）上单调递减，且0<A（万，0<8（乃，

由cosAccosB,可得A>B,；.a>匕，由正弦定理可得sinA>sin3.

因此，"cosA<cosB"是"sinA>sin3”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，

属于中等题.

7.D

【解析】

本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可.

【详解】

结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO,而耳。=❷。，结合四边形对角线平分，可得四边形「月加入为

平行四边形，结合N"N=60°,故/月加工=60°

对三角形片运用余弦定理，得到，22

F,M+F2M-FXF^=2-MFX-MF2-COS^F,MF2

而结合|P用=3|「周，可得|峥|=a,|町|=3a,耳心=2c,代入上式子中，得到

a2+9a2-4c2=3a2，结合离心率满足e=£,即可得出《=£=近，故选D.

aa2

【点睛】

本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难.

8.C

【解析】

根据椭圆的定义可得归制=4,旧用=2近，再利用余弦定理即可得到结论.

【详解】

由题意，闺闾=2々，|产制+|尸闾=6,又|尸段=2,则归耳|=4,

16+4-28_1

由余弦定理可得”咒湍喝了2x2x42

故/KP号=120°.

故选：C.

【点睛】

本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.

9.C

【解析】

如图所示：切点为连接作PNJ_x轴于N,计算归周=2。，|P居|=4a,|「川=至，忻N|=型,

cc

根据勾股定理计算得到答案.

【详解】

如图所示：切点为M，连接。历，作PNLx轴于N,

\QF\-\QF^\QF\+\PF\-\QF^\PF^2a,故归闾=4”，

在RfAMOK中，sin/M£O=q,故cosNM《O=2,故归%|="，忻川=现，

根据勾股定理：16a2=4+(2c-型］,解得2=6+1.

c\cJa

故选：C.

x

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

10.D

【解析】

推导出函数y=/(x)的图象关于直线x=-l对称，由题意得出/(-1)=0,进而可求得实数加的值，并对加的值进

行检验，即可得出结果.

【详解】

•.-/(x)=(x+l)2—mcos(x4-l)+m2+3m-8,

则f(-1+x)=(—l+x+l)~-///cos(-1+x+l)4-m2+3m-8=x2-mcosx+m2+3切-8,

/(-l-x)=(-l-x+l)2-mcos(-l-x+l)+w2+3m-8=x2-mcosx+m2+3加一8,

.•./(-l+x)=/(-l—x),所以，函数y=/(x)的图象关于直线X=-1对称.

若函数y=/(x)的零点不为x=-1,则该函数的零点必成对出现，不合题意.

所以，/(—1)=。，即加2+2〃2-8=0，解得〃?=-4或2.

①当加=-4时,令/(x)=(x+l)2-4cos(x+l)-4=0,得4cos(x+l)=4-(x+lj,作出函数y=4cos(x+l)与

不合乎题意;

②当加=2时，•••cos(x+l)Wl,.•./(X)=(X+1)2—2COS(X+1)+2N0,当且仅当x=—1时，等号成立，则函数

y=/(x)有且只有一个零点.

综上所述，m-2.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出/(-1)=0,在求出参数

后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

11.c

【解析】

该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积V=gx］；x2x2）x2=g.故选C.

12.A

【解析】

依题意，如图以A为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE=B£求出E的坐标，求出边CO所

在直线的方程，设加卜,一6%+56），利用坐标表示赤，荻，根据二次函数的性质求出最大值.

【详解】

解：依题意，如图以A为坐标原点建立平面直角坐标系，由A3=2，AD=5,BC=3,NA=60。，

.-.A（0,0）,B（1,V3）,C（4,@,D（5,0）

因为点E在线段CB的延长线上，设百），x0<l

•.♦AE=BE

年+（6）-=（］_4）2解得玉）=-1

.♦・E（-1,6）

vC（4,V3）,D（5,0）

CD所在直线的方程为y=-GX+50

因为点M在边CO所在直线上，故设M（X,-GX+56）

AW=（X,-^X+5A/3）

ME=^-l-x,y/3x-4y/3j

.•.而M=x（—1）+（瓜-4@（-屈+5@

=-4x2+26x-60

=-4x2+26x-60

本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.15

【解析】

由题得，&|=C；(—l)'y-3r,令12-3厂=6,解得r=2,代入可得展开式中含W项的系数.

【详解】

由题得，=C；(一令12-3厂=6,解得r=2,

所以二项式12__1)的展开式中无6项的系数为C：(—1)2=15.

故答案为：15

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.

14.2

【解析】

根据AOPQ为等边三角形建立a,b的关系式，从而可求离心率.

【详解】

据题设分析知，NPOQ=60°,所以2=tan60。，得b=&a，

a

所以双曲线。的离心率e=£=J"+/="「+3/=2.

aaa

【点睛】

本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立。之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素

养.

9兀

15.—

16

【解析】

令直线/：x=my+],与椭圆方程联立消去x得（3裙+4川+6冲-9=0,可设）,。（9,必），则

X+M=_QW?小可知=g恒用E-%|=一仙%=12,

3m~+43"+4/VI3;n~+41

m2+l1/I

又（毋/2X—1一；一正，故邑开。《3•三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角

9+4）外加+1）+蕨1+6

形面积的二倍，则内切圆半径「=少过"」，其面积最大值为*故本题应填。

841616

点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑

利用图形性质来解决，这就是几何法.（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目

标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法，判别式法，重要不等式及函数的单调性法等.

八1-2

16.—QH—br

33

【解析】

结合图形及向量的线性运算将而转化为用向量场，而表示，即可得到结果.

【详解】

在\CAD中丽=或+而，因为Dd=2BD，

—•―•2―•

所以COCA+-AB,又因为通=函—互，

所以前=6+—无看=画+—(围一以)=上a+—。有=一1+—5.

333333

1_2-

故答案为：—a+—b

33

【点睛】

本题主要考查三角形中向量的线性运算，关键是利用已知向量为基底，将未知向量通过几何条件向基底转化.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)a=-2?(2)(-00,-]

2

【解析】

试题分析：(1)求得g(x-3)2-3的解集，根据集合相等，列出方程组，即可求解。的值；

⑵①当％=0时，卜一2|1|乂一1恒成立,②当XHO时，转化为a.l1,设/;(©=]—J—,求得函数〃(x)

的最小值，即可求解”的取值范围.

试题解析：

(1)由g(x—3)2—3,得a|x-3|2-2,

9

因为不等式8卜—3)之一3的解集为[2,4],所以a<0,故不等式可化为|x-3|4-厂，

a

3+-=2

解得3+—Wx43——,所以:，解得a=—2.

aa3—2=4

.a

(2)①当x=0时，|x-2|2a|x|-l恒成立，所以acR.

-----F1,X<0

X

I।।Ilx-2|+1zxlx-2|+lz、3

②当x/O时，|x_2|\a|x卜]可化为a«i,设h(x)=(XH0),则h(x)={——l,0<x<2,所

XX

llllX

一■-+l,x>2

X

以当x=2时，h\(x/m)i.n=)-,所以?

综上，a的取值范围是1-.

而

18.(1)sinC=-----?(2)a—b—5.

7

【解析】

(1)先由余弦定理求得再由正弦定理计算即可得到所求值；

(2)运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC,运用正弦定理和三角形的面积公式可

得a,b的方程组，解方程即可得到所求值.

【详解】

解：(1)由余弦定理

a2=b2+c2-2i>ccosA=9+4-2x3x2x—=7,«=V7

由正弦定理——，得sinC

sinAsinC

..1+cosB._1+cosA0.八

(2)由已知得:sinAx-----------1-sinBx---------=3sinC

22

sinA+sinAcosfi+sinB+siaBcosA=6sinC

sinA+sin8+sin(A+3)=6sinC,sinA+sinB=5sinC

所以a+0=5c=10①

I?5

又S=-a加inC=—sinC,所以"=25......②

22

由①②解得。=匕=5

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

2n2(4"-1)

19.(1)4=2〃+1,b=2"-1

n2n+l+~~

【解析】

(D设｛4｝的公差为d,｛d｝的公比为夕，由基本量法列式求出4〃后可得通项公式;

(2)奇数项分一组用裂项相消法求和，偶数项分一组用等比数列求和公式求和.

【详解】

(D设｛4｝的公差为d,｛2｝的公比为夕，由2+$2=10,%-2%=。3.得：

q+6+d=10[d=2

.19解得<.，

3+4d-2q=3+2d[<7=2

.•・4=3+2(〃-1)=2〃+1,bn=；

⑵由4=3,%=2〃+1得S“=〃(〃+2),

211,

〃为奇数时，cn=—=---------〃为偶数时，cn=2"-',

Snn〃+2

C+C++C+C+C+,+C

-(I3",2n-l)(24"2„)

2(4"-1)

-------+

2〃+l

【点睛】

本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组求和法及裂项相消法、等差数列与等比数列的前〃项和公式，

求通项公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通项公式前〃项和公式得出相应结论.数列求和问题，对不是

等差数列或等比数列的数列求和，需掌握一些特殊方法：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加

法等等.

20.（I）见解析；（II）逅.

2

【解析】

试题分析：（I）由底面A6C。为边长为2的菱形，24_L平面ABC。，NABC=60°,易证，平面PA。，可

得AELPD；（II）连结AF,由（I）易知Z4正为EF与平面PAD所成的角，在&中，可求得

tanZAF£=—=—

AF2

试题解析：（I）•；四边形ABCD为菱形，且NABC=60°,

二AABC为正三角形，又E为BC中点,

AAE±BC;又AD//BC,

:.AE±AD,

；P4_L平面ABCD,又AEu平面ABCD,

:.PA±AE,

二AEJ_平面PAD,又PDu平面PAD，

:，AE±PD;

p

(II)连结AP,由(I)知AEL平面PAD，

:.NAFE为EF与平面尸AD所成的角，

在R/AA£F中，AE=BZ4庄最大当且仅当Ab最短，

即AFLPD时4U花最大，

依题意，此时，在RrAPAD中,PAAD=PDAF,

:,AF=6,tanZAFE=—=—,

AF2

二EF与平面PAD所成最大角的正切值为&.

2

考点：1.线线垂直证明；2.求线面角.

21.(1)-(2)应该购买21件易耗品

6

【解析】

(1)由统计表中数据可得型号分别为A6,C在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率，设该单位三台设备一个月

中使用易耗品的件数总数为X,则P(X>21)=P(X=22)+P(X=23),利用独立事件概率公式进而求解即可；

(2)由题可得X所有可能的取值为19,20,21,22,23,即可求得对应的概率，再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买

20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望，即可分析求解.

【详解】

(1)由题中的表格可知

301

A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为—=-；

602

B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为券=:，2=上

603602606

C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为^=7^=75

604604

设该单位一个月中A氏C三台设备使用易耗品的件数分别为x，yz，则

P(x=6)=P(x=7)=(，P(y=6)=2，P(y=7)=:，P(y=8)=,，P(z=7)=?,P(z=8)=!，

232644

设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,

贝!jP(X>21)=P(X=22)+P(X=23)

而P(X=22)=尸(x=6,y=8,z=8)+P(x=7,y=7,z=8)+P(x=7,y=8,z=7)

1111111137

=—X—X--F—X—X-----F—X—X—=——,

26422426448

P(X=23)=P(x=7,^=8,z=8)=^xlxl=^

711

故尸。>21)=—+—=一，

48486

即该单位一个月中A,B,C三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为，.

6

(2)以题意知,X所有可能的取值为19,20,21,22,23

1131

p(X=19)=P(x=6,y=6,z=7)=-x-x-=-;

P(X=20)=P(x=6,y=6,z=8)+(x=6,y=7,z=7)+P(x=7,y=6,z=7)=l1x-1x-1+-1x-1x-3+-1x-1x-3=—17；

23422423448

P(X=21)=P(x=6,y=7,z=8)+(x=6,y=8,z=7)+P(x=7,y=6,z=8)+P(x=7,y=7,z=7)

111113II111317

=—X—X—+—X—X—+—X—X—+—X—X—=——•

22426423422448

71

由(1),P(X=22)=—,P(X=23)=—,

4848

若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品，设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为乂元，则乂的所有可能取

值为2000,22(X),24(X),2600,

11723

P(Y}=2000)=P(X=19)+P(X=20)=-+—=—；

17

产(乂=2200)=P(X=21)=—；

7

P(毛=2400)=P(X=22)=—；

P(K=2600)=P(X=23)=£；

231771

EY.=2000x—+2200x—+