傅里叶变换分析

第二章傅立叶变换分析方法§1引言系统（或信号）时域描述：线性差分方程，单位脉冲响应.频域描述：傅立叶变换,Z变换.=今今时域特征频域特征滤波器频域特征滤波后信号§2序列的傅立叶变换1・定乂：X(ej)Ex(n)e-m®；n=-»X(em)称为x(n)的傅立叶变换,也称频谱函数.简记X(ej)=FT[x(n)];注意1当①定时,e-Jn»是n的序列产»内积«投影«分量注意2结果x(e扣)是①的连续函数.2.{x(n)}的FT存在=EIx(n)13；n=一83.傅立叶反变换:x(n)=j"X(ej)eJn°d①.2冗—冗简记x(n)=IFT[x(。抻)].4.X(ej)的幅频，相频表示：X(ej°)=X(ei°)ej岫[x(ej)]例1求（n）的FT.解X(ei°)=了s(n)e-jn°=1,n=一8例2求x(n)=R(n)的傅立叶变换.4解对任给一个&G[0,2冗],有ZN一1、,R(n)e-j①=乙e-j①'‘Nn=一8n=01一e一j①ne一j①n/2(ej®n/2一e-加n/2)e-j®/2(ej°/2—e-j°/2)sin(°N/2)=e-j°(n—1)/2sin(°/2)当N=4时,有x(ej°)=e-j°3/2"n(2°)sin(°/2)由于当®=冗时，序列=cosn瓦变化最剧O=冗e-jn①烈，即数字频率最高值为…cos(npi)图:n=[-3-2-101234];stem(n,cos(n*pi));

X@w）的程序计算说明：对每个w有N-1X(e>)=£x(n)e-Jwn=[x(0),x(1),...,x(N-1)]由于当®=冗时，序列=cosn瓦变化最剧O=冗对各个w,2w00Kw有:[X(5o),X[g-币(N-l)X(eA-0)lg->o-21g-jwg->o-21g-jwo-Kl，…，••••••g-jw11=[x(0),x(2V-l)]|°g-jwo-l(N-l)g-jw^2(N-l)g-Jw^K(N-l)TOC\o"1-5"\h\z1-0-20K-01-1-21K-1,,...,...・.....=[x(0X,(1X,N.-,(e-Jw01_1)N~(1)N)1K)~NJ(1)-0-1[1,2,...,K]...=[X(0),x(1)，…，x(N-1)](e-Jw0)l_N-1J%X(w)的作图xn=[1111];n=0:3;k=0:100;w=pi/50*k;xw=xn*(exp(-j*pi/50)).A(n**k);magx=abs(xw);

magx2=[magx,magx];w2=[w-2*pi,w,];%拼成2piangx=angle(xw);angx2=[angx,angx];%X(5)的幅频图subplot(2,1,1);plot(w2,magx2);%X(eiw)的相频图subplot(2,1,2);plot(w2,angx2);%也可直接作出Xw=0:2*pi/100:2*pi;plot(w,abs(sin(2*w)./sin(w/2)));Warning:Dividebyzero.§3序列的傅立叶变换性质1.周期性（关于w）8X(ej(°+2冗m))=£x(n)e-j(必+2冗m)n=x(ej®)n=-8线性性设X(ej)=FT[x(n)],X(ej)=FT[x(n)],1122则FT[ax(n)+bx(n)]=aX(ei°)+bX(ej°).(Va,b)•证按定攵即得.212时移，频移设X(e扑)=FT[x(n)],则FT[x(n-n)]=e-加％X(e加)；0FT[ei^onx(n)]=X(eg-%%证由定义得①FT[x(n-n)]=Ex(n-n)e-加n00n=-8m=n-nyo乙x(m)e-拘m-加n0=e-所0X(e肿)•m=-8(ii)FT[ej°onx(n)]=Xej°onx(n)e-加nn=-88HMH(K}e—Je—80)nHX(eJe—o3)).an—8演I%*(n—k)3FT・40蒲y(ewnFTR【aiaN0He—j顶X(ew).a)(0)势海迓势海遂“a)势海*蔷滓势海®“H(ln)hh(k)s()Jw二洞»一9m(ii)称X(n)是共轭反对称序列:若X(-n)=-X*(n);(2)频域上对称(关于w)。')称X(e^)是共轭对称函数：若X(e-j®)=X*(ej®)；(ii')称X(ej®)是共轭反对称函数若X(e-j®)=-X*(ej®)；例2分析x(n)=ej®n的对称性.解因x(-n)=efn=x*(n),故x(n)共轭对称.<1>共轭对称序列的虚实分解:实部偶+j虚部奇；x(n)=x(n)+jx(n),x(-n)=x(-n)+jx(-n)由x(-n)=x*(n),得

x(-n)=x(n),x(-n)=-x(〃)•v2＞共辄反好称序列南虚实昇解:实矗奇+j虚部偶例3分析y(〃)=力加”对称性.j(―n)=je-＞®«=(—jej5)*=—(力加”)*=—j*(n)==＞共魏反对称,实部奇,虚部偶.⑶实成〃)的FT为共巍对称(主要)设X(em)=广x(n)e-J^9则n=—ooX(e)=乙x(n)eJnGy、乙x(n)e-JnGyn=-oo第13页共19页)（易得,对纯jx（n）的FT为共轭反对称）（4）复序列的FT性质（介绍）设x(n)=x(nX(e)=乙x(n)eJnGyn=-oo第13页共19页X(ej)=FT[x(n)]=FT[x(n)]+FT[jx(n)]X(e扣)+X(ej®).其中X(ej®)共轭对称，X(ej®)共轭反对称.时域中虚实分解==>频域中共轭对称与反对称分解5.时域卷积（=＞频域乘积）前有y(n)=x(n)*h(n)=Xx(m)h(n一m),现有m=fZ^^、，〜乙x(m)h(n一m)e-加nn=一8m=一8令k=n-m，得、，乙x(m)e一皿mh(k)e一jkk=一8m=-^=H(em)X(e加)6・(时域乘积=>)频域卷积

设y(n)=x(n)h(n),则有Pn=-p:二\2冗—冗H(ei9)ej9nd9Ie-i°nJY(e加)=FT[y(n)]=乙x(n)h(n)e-加nn=一81j"H(ej)Xx(n)e-j®nejQnd92"一瓦n=一8J"H(e羚)Xx(n)e-j。-9)nd92"一冗n=一81j"H(ei9)X(ei(『9))d9=H(e加)*X(e加)一"艮口n=-p:二\2冗—冗H(ei9)ej9nd9Ie-i°nJ2冗7.帕斯维尔（Parseval）（时频能量守恒）Xlx(n)2=1「X(e加)2d&•I2冗—丸n=一8证设y(n)=x(n)|2=x(n)x*(n)及Xx*(n)e-加n=|Xx(n)ej®n=[X(e-抻)]*=X*(e-加),n=—8n=—8则有Y(eh)=FT[y(n)]=FT[x(n)x*(n)]=乙x(n)x*(n)e-jnn=—81=