平面向量数量积的含义

OBAθ向量的夹角复习回顾：已知两个非零向量a和b,作OA=a,

OB=b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角。当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OAB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.BOAab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的练习：在中，找出下列向量的夹角：

ABC(1)(2)(3)

任意两个向量都可以进行加,减运算,同时两个向量的和与差仍是一个向量,并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算,我们自然会提出,任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此,我们从理论上进行相应分析.引入：Fs新课引入:

我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移S(如图)其中θ是F与S的夹角，那么力F所做的功W，可以用如下式子计算：平面向量的数量积定义规定:零向量与任一向量的数量积为0。a·b=|a||b|cosθ

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作:a.b

注意：向量的数量积是一个数量。

(2)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定；定义理解：

(1)a

·

b不能写成a×b,a×b

表示向量的另一种运算．a·b=|a||b|cosθ向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ＜

90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。你会变吗？会用吗？试试看OABab平面向量的数量积的几何意义，过点B作垂直于直线OA，|b|cosθ叫向量b

在a方向上的投影.平面向量的数量积的几何意义是:|b|cosθ垂足为，则等于的长度与的乘积。平面向量的数量积的几何意义OABabBOAabOABabθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0θ

为

时,它是|b|0。OABbaOABba

θ为时,它是-|b|180。重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθ

abB1我真的理解了吗?真假假假⑤⑥真假假真⑧⑦若，，则进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角(1)已知，则向量在向量

上的投影为

。(2)已知△ABC中,当时,ΔABC是什么三角形？4钝角三角形(3)已知平面上三点A,B,C满足则的值等于

。−25练习一：3练习一：A4.数量积的运算律：⑴交换律:⑵数乘的结合律:⑶分配律:注意:数量积不满足结合律(3)

12ABOA1B1C

证明:在平面内取一点，作,，(即)在方向上的投影等于在方向上的投影的和，即即例3.-72600变式训练例4.注意：两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.练习二：A、梯形B、菱形C、矩形D、正方形(1)在四边形ABCD

中,AB

·

BC=0,且AB=DC则四边形ABCD是（）CC练习二：等边三角形D(3)在中,已知|AB|=|AC|=1,且则这个三角形的形状是AB

·

AC=,()CA.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心思考：重要结论：小结:本节课我们主要学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题