历年自考线性代数真题

全国2009年1月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，/表示矩阵力的转置矩阵，/表示矩阵Z的伴随矩阵，£表示单位矩阵,

14表示方阵4的行列式，不表示矩阵4的逆矩阵，秩（⑷表示矩阵4的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的

括号内。错选、多选或未选均无分。

x+y+z=0

1.线性方程组・2x-5y-3z=10的解为（）

4x+8y+2z=4

A.x=2,j=O,z=-2B.x=-2,y=2,z=0

C.x=0,y=2,z=-2D.x=l,y=0,^=-l

2.设矩阵4=（；；）,则矩阵A的伴随矩阵A*=

()

A.B.

C-（"）D-(3一4、

3.设A为5X4矩阵，若秩（A）=4,则秩（54丁）为（）

A.2B.3

C.4D.5

4.设A,B分别为和wXk矩阵，向量组（I）是由4的列向量构成的向量组，向量

组（II）是由（A,B）的列向量构成的向量组，贝IJ必有（）

A.若（I）线性无关，则（II）线性无关B.若（I）线性无关，则（II）线性相关

C.若（H）线性无关，则（D线性无关D.若（II）线性无关，则（I）线性相关

5.设A为5阶方阵，若秩（A）=3,则齐次线性方程组加=0的基础解系中包含的解向量

的个数是（）

A.2B.3

C.4D.5

6.设mX”矩阵A的秩为且门是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解，贝

的通解为（）

A."1，kGRB.k^2,jteR

C.k^i+^2,keRD.

7.对非齐次线性方程组斗，设秩（4）=r,则（）

A.r=m时，方程组Ar4有解B.r="时，方程组Ar多有唯一解

C.机=〃时，方程组Ax=）有唯一解D.时，方程组Ax必有无穷多解

qiir

8.设矩阵A=J211则A的线性无关的特征向量的个数是()

(0063,

A.1B.2

C.3D.4

9.设向量G=(4,-1,2,-2),则下列向量是单位向量的是()

A1口1

A.一<zB.—a

35

C.-aD.—a

925

10.二次型75,X2)=5x；+3月的规范形是()

A.yf-ylB.-y\-

C.-yj2+y\D.城+田

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

100

225

II.3阶行列式313

(21)

12.设4=(3,1,0),B=-40,贝ijA8=

、一35j

13.设A为3阶方阵，若149=2,则|-3AI=.

14.己知向量a=(3,5,7,9),p=(-1,5,2,0),如果。+产=夕，贝

%内+《

、alla\22X2+43X3=°

ax+ox=0的

15.设4=a21a22的3为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组，a21X]+222233

aa

、旬3233Ja3\x\+。32巧+a33x3=°

解为.

16.设非齐次线性方程组的增广矩阵为

1O021

o102

-1，则该方程组的通解为.

OO246

17.已知3阶方阵4的特征值为1,-3,9,则

18.已知向量。=(1,2,-1)与向量夕=(0,1,y)正交，则丫=.

19.二次型/(XiK2,X3M)=x；+3xj+2x1-xi的正惯性指数为.

20.若f(%1»%2K3)=才+44+4君+2疝112—2司％3+4X2工3为正定二次型,则之的取值应满足

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算行列式。=

r

lozn2

o/C

13-1

22.设4=mII，又AX=3,求矩阵X.

1k210

oO-1

22

(358)(10n

23.设矩阵4=240,029，求矩阵43的秩.

001000）

24.求向量组a尸(1,4,3,-2),a2=(2,5,4,-1),a3=(3,9,7,-3)的秩.

西+/+与+=0

25.求齐次线性方程组+2々+4X3+4X4=0的一个基础解系.

2^1+3/2+5巧+5X4=0

(100、

26.设矩阵4=021,求可逆矩阵P,使为对角矩阵.

1°IV

四、证明题（本大题共1小题，6分）

设向量组线性无关，证明：向

27.a.a2,a?/?i=ai+a2>2=«2+«3,//3=a3+a।,

量组/h，“2，A3线性无关.

全国2009年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：在本卷中，4T表示矩阵4的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵,

⑷表示方阵4的行列式，r（A）表示矩阵A的铁。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的

括号内。错选、多选或未选均无分。

0-11

1.3阶行列式卜,J卜10-1中元素取|的代数余了式人2尸（)

-110

A.-2B.

C.1D.2

a\2«21+«11“22+。12、0(\0、

2.凝阵4=,B=，尸2=，则必有（)

a

22)0J7

A.2A=5B.P2PIA=B

C.AP}P2=BD.AP2PkB

3.设〃阶可逆矩阵4、B、C满足ABC=E,则B=()

A.A-]C]

C.ACD.CA

roiOA

4.设3阶矩阵A=001,则T的秩为（)

^00oj

A.0B.1

C.2D.3

5.设%,见,。3，%是一个4维向量组，若已知％可以表为的线性组合，且表示法

惟一，则向量组％,如，。3,。4的秩为（）

A.1B.2

C.3D.4

6.设向量组即％，。3，。4线性相关，则向量组中（）

A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合

B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合

C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合

D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

7.设%,a2,a?是齐次线性方程组心=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该

方程组基础解系的是（）

a+a

A.+«2B.a,+a2,a2+«.v3i

aa

C.a1,a2>i~2D.a,-a2,a2-a3,a3

'20、

8.若2阶矩阵A相似于矩阵5=,E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是

12-3J

()

'10、0、

A.B.

J4,J

'-10、

D.

、-2一勾

(200、

9.设实对称矩阵4=0-42则3元二次型兀r.2K3）=X'AX的规范形为（)

102-1J

A.Z1+Z2+Z3B.zf+z^-zj

C.z\+Z2D.zl-Z2

10.若3阶实对称矩阵4=（勺）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（）

A.0B.1

C.2D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a\\2a123a13a\2%3

11.已知3阶行列式2。214a226。23=6,则。21。22423=_______________.

3a316a329a33

“31a32〃33

12.设3阶行列式D3的第2列元素分别为1,-2,3,对应的代数余子式分别为-3,2,1,

则D3=,

，12、

13.设A=,则42_24+E=.

-1

U2、

14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的(-2)倍加到第1列得到矩阵8.若B=,则

、34,

A=.

‘0or

15.设3阶矩阵A=022,则.

、333,

16.设向量组为=(a,l,l),a2=,。3=(1/，-2)线性相关，则数。=.

17.已知》|=(1,0,-1)1年(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组AxH的两个解向量，则对应齐次线

性方程组Ax=0有一个非零解向量J.

18.设2阶实对称矩阵4的特征值为1,2,它们对应的特征向量分别为4=(1,1)1

T

a2=(1>k),则数k=.

19.已知3阶矩阵4的特征值为0,-2,3,且矩阵5与A相似，贝UlB+EI=.

20.二次型於3243)=(X1-X2y+(X2-X3)2的矩阵A=.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

1x3

21.已知3阶行列式曷卜x20中元素的2的代数余子式42=8,求元素外1的代数余子式

5-14

41的直

'-1r'-11、

22.已知矩阵A=5=，矩阵X满足AX+5=X,求X.

-10,、。2,

TT

23.求向量组％=(1,1,1,3尸，a2=(-l,-3,5,l),a3=(3,2,-l,4)，04=(-2,-6,10,2)T的一个极大无

关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.

OX]+工2+X3=0

24.设3元齐次线性方程组，8+办2+8=。，

X]+%2+。尢3=0

(1)确定当。为何值时，方程组有非零解；

(2)当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.

'201、

25.设矩阵8=313,

d05,

(1)判定8是否可与对角矩阵相似，说明理由；

(2)若8可与对角矩阵相似，求对角矩阵/和可逆矩阵P,使

26.设3元二次型f(xt,x2,x3)=Xi+2x]+x”2x]X2-2》2巧,求正交变换工=力，将二次型化为

标准形.

四、证明题(本题6分)

27.已知A是〃阶矩阵，且满足方程42+24=0,证明A的特征值只能是0或-2.

全国2009年10月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：在本卷中，A7■表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵,

|A|表示方阵A的行列式，r（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

01-11

-101-1

1.行列式［_］0］第二行第一列元素的代数余子式出尸（）

-11-10

A.-2B.-1

C.1D.2

2.设A为2阶矩阵，若13Al=3,则12Al=()

A.1B.1

2

C.-D.2

3

3.设〃阶矩阵4、B、。满足A5C=E,则=（

A.ABB.BA

C.A'B'D.BlA

:的行列式W=T，则（4*）一

4.已知2阶矩阵A=

(-a—b、(d

5.向量组a1,％,…,a5(sN2)的秩不为零的充分必要条件是()

A.4中没有线性相关的部分组B.%,。2,4中至少有一个非零向量

C.%,火,4全是非零向量D.…全是零向量

6.设A为加x〃矩阵，则〃元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是()

A.r(A)=nB.r(A)=m

C.r(A)<nD.r(A)<m

7.已知3阶矩阵A的特征值为-1,0,1,则下列矩阵中可逆的是()

A.AB.E-A

C.-E-AD.2E-A

8.下列矩阵中不呈初等矩阵的为()

q00、<100、

A.010B.010

101,-1017

00、'100'

C.020D.110

\001;J01

9.4兀二次型/(X1,犬2,戈3，/4)=2西克2+2人|工4+2工2%+2工3工4的秩为()

A.1B.2

C.3D.4

(Qon

10.设矩阵4=010,则二次型的规范形为()

\J007,

A.zj2+Z2+Z3B.-Z\-Z2-

c.Zi-Z2-4D.z；+z；-z；

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

_,.+E—bi,,,.cixbi

11.已知行列式।।।।=-4,则।1=_______.

a2+b?a2-b2a2b2

12.已知矩阵A=(l,2,-l),5=(2,-l,l),且,则。2=.

f0。］―

13.设矩阵A=220,则.

、333)I)

14.已知矩阵方程比4=5,其中4=(；)，8=(；'［，则'=.

15.已知向量组%=(1,2,3尸"2=(2,2,2产,。3=(3,2,a)T线性相关,则数。=,

16.设向量组%=(1,0,。/,a2=(0,1,0)J且力।=%-。2血=口2，则向量组尸|，自的秩为

'1-121、

17.已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为0«+101,若该方程组无解，则a