金融数学课后习题答案2

第一章习题答案

1.设总量函数为4(»=及+2t+3。试计算累积函数a")和第A个时段的利息

Ino

解：把&=0代入得4(0)=3于是：

a(t)=

43

力(0)

i2+2t+3

3

In=A(n)—(2?—1)

=(z?2+2n+3)—((z?-1)2+2(A—1)+3))

=2n+1

2.对以下两种情况计算从t时刻到<n)时刻的利息：(l)Zr(O<r<

ri);(2)7r=2r(0<r<h).

解：

(1)

I-A(h)—A(t)

=In+Inj\+•,,+7Y+1

n(n+1)

2

-t(t+1)

2

(2)

I-A(ri)—A{£)

A=i+1

Ik=

Zn

A=i+1

Ik

=2加1-2Z+1

3.已知累积函数的形式为：a(t)=+6。若0时刻投入的100元累积到3时刻

为172元，试计算：5时刻投入的100元在10时刻的终值。

第1页

解：由题意得

a(0)=1,a(3)=

力⑶

4(0)

=1.72

0a=0.08,b=1

:.4(5)=100

4(10)=J(0)•a(10)=4(5)-a(10)

a(5)

=100X3=300.

4.分别对以下两种总量函数计算为和八0:

(1)J(t)=100+5t;(2)A(t)=100(1+0.1)t.

解：

(1)

/5=

4⑸-4(4)

4(4)

5

120

%4.17%

no=

A(10)-4(9)

4⑼

5

145

=3.45%

(2)

75=

/⑸-4(4)

4⑷

100(1+0.1)5-100(1+0.1)4

100(1+0.1)4

=10%

ilO=

4(10)-A(9)

4(9)

100(1+0.1)10-100(1+0.1)9

100(1+0.1)9

=10%

第2页

5.设4(4)=1000,in=0.01〃.试计算4(7)。

解：

4(7)=J(4)(1+Y5)(1+J6)(1+J7)

=1000X1.05X1.06X1.07

=1190.91

6.试计算500元经过两年半的累积达到615元的对应年单利率？另外，500元以

单利率7.8%累积多少时间可以达到630元？

解：设年单利率为/

500(1+2.5。=615

解得/=9.2%

设500元需要累积6年

500(1+tX1.8%)=630

解得力=3年4个月

7.已知单利率为4%,问：经过多少时间它对应的实利率可以达到2.5%?

解：设经过6年后，年利率达到2.5%

1+4%Xt=(1+2.5%)t

t〜36.367

8.已知：(1+/5=%(1+i)2=Z求(1+7)11.

解：

(1+7)11=(1+I)5+2/3=XY3

9.已知600元投资两年将产生利息264元(复利方式)，问：2000元以同样的实

利率投资3年的终值。

第3页

解：设实利率为了

600[(1+7)2-1]=264

解得/=20%

4(3)=2000(1+£)3=3456元

10.已知：第〃年底的一个货币单位与第2年底的一个货币单位的现值之和为一

个货币单位。计算(1+D2n.

解：设实利率为了

1

(1+i)n+

1

(1+i)2n=1

解得(1+7)in=

/

5-1

2

所以(1+i)2n=(

/

5-1

2

)/2

3+

/

5

2

11.已知：500元经过30年的投资将增为4000元，计算：分别在第20、40和60年底

投资10,000元的现值之和。

解：

由500X(1+7)30=4000A(1+7)30=8

于是“=

10000

(1+7)20+

10000

(1+7)40+

10000

(1+7)60

=1000X(8/2

3+8/4

3+8/2)

=3281.25

12.以同样的实利率，1元经过a年增为2元，2元经过b年增为3元，3元经过c年增

为15元。若已知6元经过n年增为10元。试用a,b和c表示n。

第4页

解：

(1+i)a=2(1)

(1+i)b=

3

2

(2)

(1+J)c=5(3)

(1+i)n=

5

3

(4)

(4)=>n*In(1+7)=In5—In3

(3)今In5=cXIn(1+J)

(1)X(2)nIn3=(a+6)•In(1+1)

故n-c—(a+H)

13.已知资本A在一年内产生的利息量为336,产生的贴现量为300。计算A。

解：

A-i=336

A•d=300

i—d-i-d

34=2800

14.分别在单利率10%和单贴现率10%的条件下，计算05。

解：⑴

o5=

a(5)—a(4)

a⑸

10%

1+5X10%

=6.67%

第5页

(2)

afl(t)=1—0.1力

，a(6-

1

1—0.11

今由二

a(5)—a(4)

a⑸

1

0.5

一1

0.6

1

0.5

=16.67%

15.试用1(3)表示d(4),用小⑵表示],(6)。

解：

由(1+

2(3)

3

)3=(1-d(4)

4

)(/4)

»d⑷=4•[1-(1+

2(3)

3

)/3

4]

由(1+

7(6)

6

)6=(1-rf(12)

12

)(/12)

4i(6)=6•[(1—d(12)

12

)/2—1]

16.在以下两种情况下计算100元在两年底的终值：季结算名利率6%；每四年结

算一次的名贴现率为6%。

解：⑴终值为100X(1+7(4)

4)4/2=42.65元

(2)终值为100X[(1-4〃(1

4))

1

4]/2=114.71元

17.已知:“血=0.1844144和水质=0.1802608.计算m。

解：利用1

-1

=1

逅

am=8

18.基金A以单利率10%累积，基金B以单贴现率5%累积。计算两个基金的利息

力相等的时刻。

第6页

解：

a4(t)=1+0.11，^A(t)=

aO

A(t)

aA(t)

0.1

1+0.It

a/1

A(t)=1—0.05t，6B(6=—(a/1

B*))0

a/1

B(t)

0.05

1-0.051

由SA{£)=631)得

t=5

19.一年期投资的累积函数为二次多项式，前半年的半年名利率为5%,全年的实

利率为7%,计算(50.5。

解：依题意，累积函数为a(t)=at2+bt+1

a(0.5)=0.25a+0.5>+1=1.025

a⑴=a+6+l=1.07

a=0.04

b=0.03

于是

<50.5=

a，(0.5)

a(0.5)

=0.068

20.已知：帐户A的累积函数为：1+。帐户B的累积函数为：1+2t+及。计算帐

户A的利息力超过帐户B的利息力的时刻。

解：依题意，SA{t}=2t

1+笈，=2

1+t

由>6B(4

分2t

1+t2>

2

1+t

今t)1

21.已知季结算名贴现率为8%,分别对以下两种情况计算25个月底的5000元在当

前的现值：全部采用复贴现；在最后的不足年份内采用单贴现。

解："(4)=8%,设复利下月实贴现率为"，单利下实利率为⑶。

全部采用复利：

(1-d)3=1-8%

2

第7页

PV=5000(1一425=4225.25

前两年用复利：

1-3o0=1-8%

2

PV=5000(1-^24(1一㈤)=4225.46

22.为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元，当前选择这样的投资：前两

年每年初投入2000元、第3年初再投入一部分。已知季结算名利率6%,计算第3年

初投入的金额。(原来的答案有误)

解：2(4)=6%,则？=(1+6%

4)4-1=6.14%

设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程

2000(1+1)2+2000(1+/)+X=2000色+5000附

解得乃=504.67元

23.在一定的利率下，下面两种付款方式等价：1)第5年底支付200元，第10年底

支付500元；2)第5年底一次性支付400.94元。另外，以同样的利率现在投资100元

再加上第5年底投资120元，这些投资在第10年底的终值为只试计算A

解：对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程：

200+500为=400.94

解得内=0.40188

所以

P=100(1+y)10+120(1+i)5=917.762

24.经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍？

解：

1000(1+6%)t=2X1000(1+4%)t

解得：方=36年

25.已知年利率为8%,且第游底和2碎底投入100元的现值之和为100元，计

算〃。

第8页

解：列价值方程为

100ra+100Vin-100

解得n-6.25

26.基金4以月换算名利率12%累积；基金B以利息力t

6

累积，初始时刻两基

金本金相同，计算两基金累积额相同的下一个时刻。

解：6t=\

6t,得基金醐积累函数为

aB(t)=exp(

ft

0

6sds)=expl

t2

12

)

欲使a4(力=aB(t)贝！J

(1+

1

12

i(12))12t=exp(

t2

12

)

解得t-1.4

27.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率。

解：1000(1+。15=3000

则，2)=((1+J)

1

2-1)X2=7.46%

28.已知现金流：当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元，在

第2年底的终值为700元。计算实利率。

解：列价值方程为

300(1+£)2+200(1+/)+100=700

解得？=11.96%

29.已知货币的价值以利息力A网累，在十年内增长了一倍，计算上(原来

的答案有误)

解：=则积累函数为

a(t)=exp

ft

0

ksds=expl

k

2

⑵

由a(10)=2得650A=2

解得A=0.0139

第9页

30.已知一个货币单位的本金以实利率f累积到第三年底的终值再加上第3年底的

一个货币单位的资本以实贴现率i贴现的的现值之和为2.0096,计算大

解：

(1+7)3+(1-£)3=2.0096

解得了=0.04

31.现有实利率为的投资项目。证明：一个货币单位的本金在第二个计息期的利

息收入与第一个计息期的利息收入之差为。试给出这个结论的实际背景解释。

解：一个货币单位在第一个计息期内的利息收入工第二个计息期内的利息收

入J+J2,故差为加,即第一期利息产生的利息。

32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式：

A)现在付款15元，6个月后付款13.65元

B)现在一次性付款28元。

如果两种方式无差异，计算隐含的年实利率。(将原题中的16元改成13.65元，这

样结果更加符合实际)

解：设半年实利率为i

0,则有：

15(1+i

0

)+13.65=28(1+i

0

)

解得：i

0

=0.05故：i=(1+i

0

)2-1=0.1025

33.甲在1997年元旦借给乙1000元，要求乙按下面方式偿还：分别于1998年

和1999年元旦偿还100元，于2000年元旦偿还1000元。在1998年元旦(正常还

款后)甲因急需资金，将剩余的偿还以960元的价格转让给丙。如果甲乙合约的年

利率为，甲丙合约的年利率为，比较和的大小。

解：价值方程：

正常：1000=100(1+j)/l+100(1+j)/2+1000(1+j)/3

转让：960=100(1+Jd/1+1000(1+A)/2

解得：j=6.98%,k=7.4%

从而:/<k

34.如果常数利息力增加一倍，计算等价的年利率和年贴现率增加的倍数。

第10页

解：和6等价的年利率f=eS-1,年利率变化：

e28—e3

e8—1

=e8

和6等价的年贴现率1-ei6=d,年贴现率变化：

eiS-e/26

1—ei8-ei8

35.证明：

lim

d!0

6—d

82-lim

7/0

i-6

82=

1

2

证：

lim

d!0

6-d

62=lim

6/0

6—1+e/5

82-lim

8!Q

1-ei8

26

-lim

6/0

ei3

2

1

2

lim

i!0

62-lim

6!0

e6—6—\

82=lim

6/0

eS—I

26

=lim

3!0

e8

2

1

2

36.某厂家对零售商提供两种折扣：付现款可低于零售价格30%：6个月后付款，

可低于零售价格25%。如果两种方式等价，计算对应的年利率。

解：设货款为S半年实利率为f

0

,则有：0.7S(1+i

0

)=0.755

解得：1+i

0

=1.0714

故/=(i+y

o

)2-1=14.80%

37.令0<1,用以下三种方法计算时刻1的1元在时刻的价值：

1)在(力，1)内单利计算；

2)复利计算；

3)单利方式：先计算它在0时刻的价值然后累积到时刻九

在相同的利率水平下试对以上三个结果比较大小。

解：1)单利方式：为1(1+(1—£)i)=1

2)复利方式：筮(1+2)l/t=1

3)单利方式：弟=(1+ti)

l+i

由Taylor展开易证：(1+f)1/1>1+(1—t)i(1+2)t<1+it

故JI<X2,<JR

38.基金A以年利率6%累积；基金B以年利率8%累积。第10年底两个基金的终值

之和为2000元，第10年底基金A为基金B的一半。计算第5年底两个基金的资本之

和。(原来的答案有误)

第11页

解：设基金A,B的本金为A,B:

4(1+0.06)10+Ml+0.08)10=1000

4(1+0.0610)=0.056(1+0.08)10

解得：

A(1+0.06)5=498.17

Ml+0.08)5=907.44

从而5年底的累积值和=1405.61

39.已知第一年的实利率A与第二年的实贴现率或数值相同，第一年初的1000元

在第二年底的终值为1200元。计算八。

解：设第二年的实利率应，由题意：八=或=i2

1+72

从而：

1000(1+71)(1+72)=1000(

1+2/2

1+12

)(1+12)=1200

解得：12=0.1,进而=1

11

40.甲以名利率？(2)=10购得1000份100元面额的26周国债。

1)计算价格R

2)近似推导名利率？(2)的波动对价格剧影响(dP

小⑵)；

3)当名利率波动一个百分点时，近似计算价格而波动范围。(待查)

解：1)尸=1000X100X(1+7(2)

2)/1=95238.095

2)尸=105

1+7(2)

2

(dP

由,(2))=-2£105

(2+*2))2

3)(/dP

力⑵

/)/

7(2)=10%=4.5351X104即波动范围：95238.095±453.51

41.对J>0,证明：

1)f®=(1+J

而渥必的递增函数；

2)g(而=M(1+J)

1

m-1］是嫌递减函数。

解：1)f

0

®=1

力(1+j

+j

血，J>0,2Z7>0,f

0

®)0

2)令y=ln(l+j)/%,则原式化为：

ey—1

y

ln(l+J)(J>0)

由Taylor展开可见上式关于砥，由复合函数性质得证。

42.面额100元的26周国债名收益率11.07%。证明：售价在94.767到94.771之间时,

均可保持这个收益率。(题意不理解，暂无修改意见)

第12页

第二章习题答案

1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存

款1000元，后十年每年底存款1000+才元，年利率7%。计算X。

解：S=1000s20p7%「+照10p7%r

50000—1000Mop7%「

sl0p7%651.72

2.价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。

月结算名利率18%。计算首次付款金额。

解：设首次付款为X,则有

10000=T+250a48PL5%」

解得才=1489.36

3.设有旃期期末年金，其中年金金额为口实利率了=1

n

O试计算该年金的现值。

解：

PV=nanpi

1—vn

1

(Z7+l)nn2—nn^2

(z?+1)Z7

4.已知：a—加=X，配一加=K,试用旃DJ表示do

解：a2Fp=a+a—p—d)n贝！J

d=1一(

Y-X

X

)

1

n

5.已知：alp=5.58238,al-lp=7.88687,al-8P=10.82760。计算九

解：

al~~Bp=a_7p+al~~IpF7

解得了=6.0%

6.证明：1

1—HO=si-Dp+al~~p

si~~Dpo

第1页

证明：

si--0p+a0°-p

si""Dp=

(1+7)10-1

i+1

i

(1+2)10-1

1

1一vlO

7.已知：半年结算名利率6%,计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半

年200元，然后减为每次100元。

解：

PV=100a8p3%「+100a20P3%「二2189.716

8.某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%,

后15年的年利率7%。计算每年的退休金。

解：设每年退休金为人选择65岁年初为比较日

1000..525P8%「=X'al5P7%

解得才二810L65

9.已知贴现率为10%,计算，."Bp0

解：d=10%,贝打=1

1-d

-1=1

9

a""8p=(1+2)

1—F8

i

=5.6953

10.求证：

(1)a''"Trjp=a-z2p+1-m；

(2)s''"p=sFp—1+(1+i)n

并给出两等式的实际解释。

证明：(l)a""~np=1-vn

d=1-vn

i

l+i

=1-vn

ji+1-vn

所以a"=a+1一5

(2)srFp-(1+2)27—1

d-(1+。〃-1

i

l+i

=(l+7)z?—1

i+(1+f)〃-1

所以a"Fp=sFjp—1+(1+i)n

第2页

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利

率6%,计算：1)该年金在1979年9月7日的现值；2)该年金在1992年6月7日的终

值。

解：

PV=100a49PL5%-100a2PL5%=3256.88

AV=100549pl.5%「-100s2Pl.5%「二6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1一10年和第21—30年中每

年1元，在第11—20年中每年2元；年金B在第1—10年和第21—30年中每年付款金

额为F,在第11―20年中没有。已知：rlO=1

2

，计算

解：因两种年金价值相等，则有

a30pj「+alOpi_*rlO=Y530Pl.—YalOp7-1vlQ

所以F=3-W0-2m0

l+rl0-2r30=1.8

14.已知年金满足：2元的2〃期期末年金与3元的〃期期末年金的现值之和为36；另

外，递延旃的2元〃期期末年金的现值为6。计算九

解：由题意知，

232npf+3anpi-=36

2anpi""PT?=6

解得4=8.33%

15.已知

a-7p

al~~lp=

a-3p+

aK-p+sZ7)

o求X,Y和Z。

解：由题意得

1-vl

1—rll=

(1+i)X-z3

(1+i)Z-vY

解得

才=4,F=7,Z=4

16.化简al-5p(1+rl5+r30),

解：

al~~5p(1+vl5+v30)=a4~~Bp

第3页

17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一

次2000元，半年结算名利率9%。

解：年金在4月1日的价值为夕=1+4.5%

4.5%

X2000=46444.44,则

PV=

P

(1+1)2+2

3

=41300.657

18.某递延永久年金的买价为P,实利率工写出递延时间的表达式。

解：设递延时间为有

P=

1

i

vt

解得力=-IniP

ln(l+j)

19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一

定的金额％直至永远。计算r

解：设年实利率为i,由两年金的现值相等，有

1000,,a20pj『=

X

i

v29

解得1000((1+J)30-(1+J)10)

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前旃，A、B和C三人

平分每年的年金，〃年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相

同。计算(1+i)n。

解：设遗产为1,则永久年金每年的年金为那么A,B,C得到的遗产的现值

为了

「，而D得到遗产的现值为切。由题意得

\—vn

3

=vn

所以(1+[')力=4

21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个游，B接受第二

个碎，C接受第三个〃年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49,

求B与D的份额之比。

第4页

解：由题意知

PVC

PVA

a-zjpv2n

a~~/jp=0.49

那么

PVB

PVD

a~~7TPvn

1

ivin

=0.61

22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最

后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。

解：

100anp4.5%~"14<1000

100azH-lp4.5%r%)1000

解得〃=17

列价值方程

100al6p4.5%『+肱1=1000

解得才=146.07

23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果

以同样的年利率计算货币的价值在A年内将增加一倍，计算加

解：两年金现值相等，贝!14X1336Pz,『=5x18,可知>48=0.25

由题意，(1+i)n=2解得〃=9

24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；A个月后一

次还6000元。已知月结算名利率为12%,计算上

解：由题意可得方程

100a60pl%-*=6000(1+i)-k

解得a=29

25.已知a2p/~~r=1.75,求九

解：由题意得

1-v2=1.75J

解得？=9.38%

26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年

的期末年金为每年1072元。计算年利率。

解：

第5页

27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%,如果前5年半内提前支

取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出阮，

且第十年底的余额为一万元，计算

解：由题意可得价值方程

10000=105Aa2p4%「田+Aa2p4%「+10000H0

则＜=10000-10000rlO

10532P4%

-v3+a2p4%

「肉=979.94

28.贷款取第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，

前四年半的年利率为？，后面的利率为工计算首次付款金额般表达式。

解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程

A1+1)

1

2=X+22a4pi+2版5p/r(1+7)-4

所以

X=

P(1+/)

1

2

1+2a4pi'+2a5pj'(1+1)-4

29.已知半年名利率为7%,计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付

款2000元，共计8次。

解：

30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知

年利率为12%。(缺命令)

解：

产夕=4X400+4X600由=11466.14

31.已知半年结算的名贴现率为9%,计算每半年付款600元的十年期初年金的现

值表达式。

解：

32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。

解：

PV=

1

s4Pz.-'324Pl.-*田=

(1+7)24-1

(1+J)27[(1+i)4-1]

a2~8p—a~^lp

s~~3p+s-Ip

第6页

33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次航的30年期末

年金代替，半年换算名利率4%,求硒表达式。

解：设年实利率为工则(1+2%)2=1+九有题意得

750

750

s20pji

解得R=1114.77

34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91,计算年利率。

解：由题意知

1

1s3pf-12=

125

91

解得4=20%

35.已知：1元永久期初年金的现值为20,它等价于每两年付款航的永久期初年

金，计算凡

解：由题意得

20=

1

d

R

a2pi「i

解得1.95

36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延

时间。

解：设贴现率为H贝U1+

2(2)

2

1

(1一◎

1

2

设递延时间为由题意得

10000=2X500vt•.a(2)

cop「

解得”

In20+ln(l一(1一中

1

2)

ln(l-d)

37.计算:3a(2)

np^二2a⑵

2np-1=45s(2)

lp,计算i。

解：

3X1

j(2)anpi=2Xj

12an^i-=45X7

i2sip?「

解得：vn=

1

2

，i=

1

30

第7页

38.已知1(4)=16%。计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元,

共12年。(问题)

解：

39.已知：31=1

1+t

o求a>jp的表达式。

解：

「np=

fn

0

Rt

0Ssdsdt=ln(l+n)

40.已知一年内的连续年金函数为常数L计算时刻力使得只要在该时刻一次性支

付一个货币单位，则两种年金的现值相等。

解：第一种年金的现值为J1

0

vtdt=

1-e—8

6

第二种年金的现值为e-6匕，则

1—e—6

8

6t

所以6=1+1

SInS

i

41.已知：6=0.08»计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现

值。(结果和李凌飞的不同)

解：设季度实利率为九因a(t)=eSt,贝h

1

46=(1+j)所以

PV=100"a80piF100(1+i)

1-闲0

i

=4030.53

42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定

速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？

解：设年实利率为i,贝万=e6-1

设基金可维持存，由两现值相等得

40000=2400atpi「

解得寸=28

第8页

43.已知某永久期末年金的金额为：1,3,5,...。另外，第6次和第7次付款的现值

相等，计算该永久年金的现值。

解：由题意：11

(1+7)6=13

(1+/)7

=>i=2

11

PV=v+,+(2/7—1)EO+,••

=r[l+PK+2(r+v2+••»)]

=+PV+2v

1—r)

解得:P0=66

44.给出现值表达式及一加+8(而”/所代表的年金序列。用这种表达式给出如

下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。

解：年金序列：A+nB,A+(〃-1)比...+2B,A+B

所求为25a2-5p+3(〃a)25/

45.某期末年金(半年一次)为：800,750,700,,350»已知半年结算名利率

为16%。若记：A=al0p8%,试用4表示这个年金的现值。

解：考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：

300al0p8%-7+500(%)10/8%=3004+

2X(10-A)

7(2)=6250-3254

46.年利率8%的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5%。计算第

十年底的余额。

解：由题意：

JK=1000s5p8%(i+8%)6+(1000X1.05X1.085+

1000X1.052X1.084+•••+1000X1.055X1.08)

=1000

(1+8%)5—1

8%

1.086+1000X1.05X1.0851-(L05

1.08)5

1-1.05

1.08

=16606.72

47.已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年

底各300元，依此类推。证明其现值为：

100

v4

i—vd

第9页

解：把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久

年金・・・o从而

"二必100

i

1

a2pir

1

i

=100H1

i

1

1一组二100

v4

i-vd

48.十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。

证明其现值为：

1600a**l-Dp(/⑷a")⑷

1/元

证：首先把一年四次的付款折到年初：m=4,n=\,R=100M=1600

从而每年初当年的年金现值：

1600(7(4)"a)(4)

1/元

再贴现到开始时：

1600a"1-0p(Z(4)a")(4)

1/元

49.从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3%,年利

率8%,计算现值。

解：半年的实利率：J=(1+8%)

1

2-1=3.923%

"=1+

1.03

1+J

+

1.032

(1+J)2+•••

=(1-1.03

1+J

)-1

=112.59

50.某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。

证明当前的准备金为：

6000a"-4pa"(12)

9/12/

证：首先把9个月的支付贴现到年初：m=12,n=9/42,R=500卬=6000从而

每年初当年的年金现值：

6000"a(12)

9/12/

贴现到当前：

6000a"Fpa"(12)

9/12/

第10页

51.现有如下的永久年金：第一个A年每年底还；第二个A年每年底还2月；第三

个k年每年底还3R；依此类推。给出现值表达式。

解：把此年金看成从第威年开始的每年为碘永久年金5=0,1,2,•••):

每个年金的值为

Ra00-p

在分散在每个阵的区段里：

Ra0°l

ak/

再按标准永久年金求现值：

ak/

52.才表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20裱示首次付款

从第三年底开始的永久年金：1,2,3,•的现值。计算贴现率。

解：由题意：

X=1

i

1

1+2

20Z=(1

i+1

12)1

(l+i)2

解得：i=0.05

即：d-i

1+1=0.04762

53.四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，血=0.75,计算现值。与原答

案有出入

解：(期初年金)

PV=1+6v4+11P9+•••二

S8

1=1

(5/7—4)v(4〃-4)二

5

(1一网)2

-4

1一网二64

(期末年金)

P.•夕=v+6由+11曰0+•••二v•PV=59.5587

54.永久连续年金的年金函数为：(1+吩3年利率九如果：0<k<i,计算该年

金现值。与原答案有出入

解：由于0<k<i,故下列广义积分收敛：

PV=

f8

0

(1+A)te-8tdt-

f8

0

(

1+k

1+i

)tdt-

1

ln(l+i)—ln(l+Id

第11页

55.递延一年的13年连续年金的年金函数为笈-1,利息力为(1+£)—1,计算该年

金现值。与原答案有出入

解：

PV=exp(一

f1

0

1

1+t

dt)

f14

1

(笈一1)exp(-

ft—1

0

1

1+s

ds)dt=47.43

56.给出下列符号的表达式:

t=l

(la)t1和

t=l

(脸t/

解：由(为〃表达式有：

t=l

(la)t1=

Sz?

t=l

a"-7p—tvt

i

1

i

t=l

a：Zp-1

i

2

t=l

ntvt

1

12

t=l

[(1+2)—1]—1

(Ia)n/展开求和即得

1

12[/7(1+1)—2a""Top+nvri\

由(%)〃表达式有：

2/7

t=l

3)t/-

S/7

t=l

t-a-7卬

i

1

i

t=l

t一

S

t=l

n

1-vt

1

i

n[n+1)

2

一1

12(n-a-p)

2n(n+1)-n+a^np

12

57.现有两种永久年金：A—金额为询固定期末年金；B—金额为q,2q,3。•••的

递增期末年金。分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利

率。

第12页

解：年金现值分别为：

PVA-pa0°^i-7=

P

PVB=q{Ia)8/=

Q

a

i2

(1)当尸"=尸勿时有:

ip=iq'q

解得：

i=Q

P-Q,P>q

■/不存在，pWq

⑵令f(i)=P

i

一q

i

-q

i2

f

0

(。二一P

i2+

q

i2+2

q

73=0

解得：i=2q

p-QP>Q

58.某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单

价增加尤如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年

增蝴的幅度增加，要使两种产品无差异的物多少？(缺少利率?下面的计算年利

率/=5%)(与原答案有出入)

解：用9年一周期的产品，则有支付的现值为：

PH=2X[1+(

1.04

1.05

)9+(

1.04

1.05

)18+(

1.04

1.05

)27]

用15年一周期的产品，则有支付的现值为：

P以=(2+乃X[1+(

1.04

1.05

)15+(

1.04

1.05

)30]

由PH=2以有：X=0.6992

59.计算⑷+墀的标准期末年金的终值。已知：前流年利率7%,后游年利

率11%,s磔7%34,snpll%128,

解：由sF的表达式有：(1+0.11)/2=0.ll5npll%1

AV=s磔7%「X(1+0.11)/7+s/2pU%「

=smp7%~7X(0.llsnpll%+1)+snpll%」

=640.72

第13页

60.甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每

年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所

有的股票出售，假设甲以年利率6蝴红利收入和股票出售的收入进行投资。B股

票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也

是以年利率6%进行投资，并且在墀后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售

时刻的累积收入相同，分别对〃=15,20两种情况计算乙的股票出售价格。

解：设新买价，有价值方程：

0.4sl0p6%『+2=0.8s^-10/6%+T(1+0.06)-(/?-10)

从而有：

(0.4sl0p6%^+2-0.8OT-10/6%)(1+0.06)(n-10)

解得：X=

5.22n=15

2.48n=20

61.某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半

年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐

款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖

金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。

解：由题意：

AV=100000(1+4%)20+5000

1520P4%r

52P4%f

-12000(1+4%)

520P4%「

Mp4%二109926.021

62.已知贷款L经过N(偶数)次、每次阮还清，利率了。如果将还贷款次数减少

一半，记每次的还款为加，试比较总与24的大小。

解：由题意：

Klampi'=Ka2njpiKI=Ml+

1

(1+i)m\<2K

63.已知贷款L经过N次、每次阮还清，利率/。如果将每次的还款额增加一倍,

比较新的还款次数与N/2的大小。

解：由题意：

2KaM^i_1=KaN^ivM-

1+vN

2

>v

N

2

即：M<N/L

第14页

64.从1990年的元旦开始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%,问:

什么时刻，余额首次超过一万元、十万元。

解：半年实利率：/=(1+6%)1%-1=2.9563%余额首次超过撤时刻：

500"s2z?/y

NX

从而解得：n=

8X=10000

35X=100000

65.帐户A从1985年元旦开始每年初存款1000元，共计10年；帐户B从1985年元旦

开始每年初存款500元；两帐户年利率均为5%。问：何时帐户B的余额首次超过帐

户A。

解：由题意，设所求时间为〃：

1000,,al0p5%rW500"anp5%『

解得：n-130故在2015年的元旦B超过A。

66.已知/=snli,B=s^l/人用A和B给出丽z.的表达式。

解：由=(1+7)/7-1

i

得：(1+i)A=B-1

从而［'=B—A—1

A

带入s〃/i'=椭得：n=

ln(加

BL-A-X

+1)

InU-l

A)

67.分别对以下三种情况给出］.的表达式：

1)A=anpi,B-snpi

2)4=anpi「，B=^2npi「

3)J=anpi「，B=s2z?p7「

解：l)Bvn=A=>i=n

V

B

A

一1

2)ia-np+

&nj

anj=2=>i-2

A

一B

A2

3)v2nB=J+vnA=>i-n

V

2B

A+

J

A2+4AB

一1

68.对于固定的〃和。且2)〃，证明：L=aF在T</<1上有唯一解。

第15页

证：(斯图姆判别？)考虑如下现金流：初始时刻投入乙而后的旃每年末得到回

报1,从而此投资的内部收益率［满足

L=anpi

由于现金流只改变一次方向，从而由笛卡儿符号法则有，在-1</<1,有

唯一的内部收益率。

69.证明：(I垃npi+(Da)ni=(〃+l)azzp2；s9lpf二i{Is)n^i+(〃+1)。并给出实

际

背景解释。

证：1)实际意义：现金流拆分(〃+1),5+1),•••,5+1)今

n,n-•••,1

1,2,•,•,〃

(7a)z2p7+{Da)ni=

a''~~-nvn

i

+

n-a-'7jp

i

a--np(i-d

d)+27(1—vn)

i

-(n+l)a-Top

2)实际意义：终值是本金E+1)和利息利滚利i(/S)Z2pf的结果：

i(Is)npi+(n+1)=i

s加1/—(A+1)

i

+(/?+1)

=SZ7+-1/

70.当1>Q,n>0时，有：

(7a)npi<[(/?+1)/2]anp?'<{Da)npi

证：由69题有：[(Ta)npi+(Aa)np/|/2=(z?+l)anp7-7/2从而，只要证：

(7a)npi<(Da)npi(*)

注意到：(脸npi—{la)npi今30—(〃-3),,•,,一(〃-3),-(/?—1)这年

金

前后对称，而后面的贴现因子比较大，从而有(*)成立。

71.某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划，当时年收入为18,000元，然后

每年以4%的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行)。1)分别对以下两种退

休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年

平均工资的70%；年退休金为年平均工资的2.5%再乘以工作年限。

2)如果企业和个人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金，试对以上两种

退休金方式计算退休金的领取年限。

第16页

解：1)平均工资：$=18000(1+1.04+•••+1.0436)/37=39747.04

退休前一年的工资：18000X(1+0.04)36=73870.79

法一：年退休金：0.7$=27822.93,比例为：37.66%

法二：年退休金：0.25/X37=36766.01,比例为：49.77%

2)企业和个人各存3%则一共存6%,从而这笔基金的终值为：

P=18000X6%X

£36

夕0

(1+4%)t(l+6%)36T=235871.7

设年退休金为此则有：

R”anp6%rW尸

解得：n=

12第一种方式

8第二种方式

72.已知永久期初年金为：首次1元；第二年初1+2元；第三年初1+2+3元；依此

类推；第湃:初1+2+•••+n元。证明该年金的现值为：”a8P(/"a)0°p。

解：进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两

份标准永久年金，•••，从第旃出发的期标准永久年金•••。分别求各个子

现金流的现值得到如下的现金流：

**a°°^,2**a0°p,■•■,n"a0°^,■■■

其现值即为原年金的现值："aepCTa)8p。

73.已知连续年金函数为f(t),0时刻的年金为风，利息力6,如果用户俵示时刻t的

年金终值，证明：

dFt

dt

=6Ft+f(t)

证：由定义

Ft=

ft

0

f{s}e(t—s)Sds-et8

ft

0

f(s)e—s)8ds

AFt

dt

=6e6t

ft

0

f{s}e—8sds+At)=SFt+f(t)

74.A从B处借得10,000元，年利率4%,计划分40次按季度等额偿还。在第6年

底，B希望立即收回所有借款，因此将今后接受还款的权利转卖给C,转卖价格

使C今后几年的年收益率将达到6%,计算转卖价格。

第17页

解：A从B借款：季度实利率为了=(1+0.04)1A~1

10000=TMOpi

B把后16次的还款卖给C：季度实利率为：/

0

=(1+0.06)1/4-1

P=ReAQ/i

0=10000

a40/7

0

a40p7~T

解得：P=4303.1,

75.现有两种年收益率相同的投资选择：A—第5年底收益800元，第10年底收

益100元；B—10年间每年底收益100元。如果投资A的成本为425元，计算投资B的

成本。

解：投资A的价值方程：

G4=425=800芯+100rlO3由=0.5

投资B的价值方程：

CB=lOOal-Dp=100

1-710

i

=504.38

76.已知：a-5p=3.982,alDp=6.680,al-5p=8.507,计算利率了(有必要给出

al~-5p=

8.507吗？)o

解:由a。的表达式易见：

v5=

alQ/

a5/

一］今a一5p=

2一alOj

a5j

i

解得：

i=

2

a5/

alO/

a2

5/

=0.081

77.某人有3700元的借款，今后在每月初还款325元，问：在一年内还清借款的可

接受年利率为多少？

解：由题意：

325,,a12Pz,「=3700

解得：7=(1+0.00972)12-1=12.31%

第18页

78.永久年金A有如下的年金方式：1,1,1,2,2,2,3,3,3,•••；永久年金B

有如下的

年金方式：K,K,2K,2K,3K,3K,•••。如果两个年金的现值相等，计算《。

解：现金流拆分：

1,1,1,2,2,2,3,3,3,•••今

1,1,1,1,1,1,1,1,1,•••

0,0,0,1,1,1,1,1,1,

0,0,0,0,0,0,1,1,1,•••

o1

i,0,0,1

i,0,0,•••

由此方式A的现值为：PV=1

i+1

/v3+1

['团+•,,=1

i(1

l-r3)

同理方式B的现值为：PV=K

i(1

l-r2)

解得：K-a_2p[a_Bp)—1

79.永久年金的年金方式为：1,1,2,1,1,3,1,1,4,•••。每年底支付，假

定年实利

率5%,计算现值。

解：现金流拆分：

1,1,2,1,1,3,1,1,4,•••

1,1,1,1,1,1,1,1,1,•••(4)

0,0,1,0,0,2,0,0,3,•••(而

现金流A的现值：PVl=1

i

现金流B的现值：PV2=龙+2团+,,,=v3(l—v3)—2

求和得到：PV=66.