高等数学(上册) 第二章教案讲解

教学目的：

第二章、一元函数微分学及其应用1导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n4、会求分段函数的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。所需学时：24学时（包括：22学时讲授与2学时习题）1、引入（切线与割线

第一节：导数的概念及其基本求导公式在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，y=f（x），求质点在t0

的瞬时速度？我们知道时间从t0

有增量△t时，质点的位置有增量，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为：.若质点是匀速运动的则这就是在t0

的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0

时的瞬时速度。我们认为当时间段△t0t02、导数的定义

时的瞬时速度，为此就产生了导数的定义，如下：定义：设函数y=f（x）在点x的某一邻域内有定义，当自变量x在x0

处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量 若△y与△x之比当△x→0时极限存在则称这个极限值为在x0

处的导数。记为：还可记为： ，函数y=f（x）在点x0

处存在导数简称函数y=f（x）在点x0

处可导，否则不可导。若函数y=f（x）在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数y=f（x）在区间(a,b)内可导。这时函数y=f（x）对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数。注：导数也就是差商的极限3、简单函数的求导例3设y=C（C’.解fxxfCC0，则 ylimylim00，即C0.x0x x0x因此，常数的导数为零.例4设y=x（n为正整数y’.解由二项式定理，得yxxnxn n1 xnnxn1x xn2x2 xnxn 2 nn1nxn1x xn2x2 xn2y

n1 ylim limnxn1 xn2x xn1nxn1x0x x0 2 即xn

nx

n1

一般地，xx1, R，例5设y=sinx，求y’.解 ysin(xx)sinx2cosxxsinx 22 22 sinxylim ylimcosxx 2cosxx0x

x0

2 x2即sinxcosx同理可求得cosxsinx.a例7设ylog x，0, a求y’.a解当a0, a1时，有ylog

xxlog

xlog

1xalog

a1x

a xx 则 ylimylim ax

xlog

1xx0x

x0

x x

x0x

a x1 xx 1 limlog

1 x

logexx0 a x x a即 1loge4、左、右导数

a x a前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限存在，我们就称它y=f（x）在x=x0

左导数。若极限存在，我们就称它为函数y=f（x）在x=x0

处的右导数。注：函数y=f（x）在x05、切线与法线方程

处的左右导数存在且相等是函数y=f（x）在x0

处的可导的充分必要条件函数的和、差求导法则y=f（x）xf’(x0)就是曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率，由导数的几何意义及直线的点斜式0方程可知，曲线y=f（x）上点M处的切线方程为：法线方程为：

yy0

f(x01

)(xx)0y-y=-0

f'(x)0

(x-x)08y=1/x在点(1/2,2)处的切线方程与法线方程解：曲线在点(1/2,2)处的切线斜率为

k==-4所以所求切线方程为所求法线方程为6、函数的可导性与联系性的关系

y-2=-4(x-1/2)y-2=1/4(x-1/2)1yf(x证明 因为函数yf(x)在点x

x0 处可导，则

处一定连续.0limyf(x).x0x 0又因为

limylimyxlimylimxf(x

)00x0

x0x x0xx0 0yf(xx0定可导.

yf(xx0

处连续，但函数在点x0

处不一例9函数

x x0yyx0xf(x)xx x0xyyx0x事实上，lim|x|lim

x0x0 x0lim|x|lim(x)0x0f(0)

x0

处连续，但是f(x)在x0处没有导数.因为0y |x| xlimx0x

limx0 x

lim 1x0xy |x| xlimx0x因此，y|x|在x0处不可导.

limx0

limx0

1xsin1

x0例9讨论函数f(x) x 0解由题设，f(0)=0

x

在x=0处的连续性与可导性.又 limfxlimxsin10 x 即 limf xf 0x0所以，f(x)在x=0处连续.

xsin1而极限

f xf

lim xlimsin1

x

x0

x0 x

xx01即可导一定连续，但连续不一定可导；另外，如果函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.7、函数求导法则（u+vu+v’u、v例10：已知 ，求y’解：例11：已知 ，求y’解：函数的积商求导法则常数与函数的积的求导法则法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成：(cu)’=cu’例12：已知y=3sinx+4x2，求y’解：函数的积的求导法则法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成：(uv)’=u’v+uv’例13：已知 ，求y’解：注：若是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。函数的商的求导法则法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成：例14：已知y=tanx，求y’解：8、反函数求导法则y=f(xx=φ(y,导法则，如下(我们以定理的形式给出)：定理：若是x=φ(y)单调连续的，且φ(y)不等于0,，则它的反函数y=f(x)在点x可导，且有：注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。注：这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。即：φ(y’)对y求导，f(x’)是对x求导例题：求y=arcsinx解答：此函数的反函数为x=siny，故x’=cosy则：例题：求y=arctanx解答：此函数的反函数为x=tany，x’=sec2y故则：9、求导公式与基本求导法则为了便于记忆与使用，将基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则总结如下：基本初等函数的求导公式常数函数C0（C）

1指数函数 ax

axlna（

a0

a

ex

ex对数函数a

x 1 （a0a1lnx1xlna x三角函数 cosx sinxtan 1 sec2

1 csc2xcos2x sin2xxsecxtanx cscxcotx反三角函数1x2arcsinx1x2

（1x1） arccosx

x1）1x2arctan1x2

1 arccot 11x2导数则运算

1x2设uu

x，v

xx处可导，则.课后作业及小结：.

（1）

u

（2）

u （3）v

uvuv,v0v21、掌握导数的基本概念2、综合运用导数公式与求导法则进行计算3、综合运用反函数进行求导作业：P74.1,3,5，7,81、复合函数的求导法则

第二节：复合函数的求导规则1（复合函数的求导法则）1设函数u(x)xyf(u在对应点uyf(xx处也可导，且有

(x)处可导，则复合或简写为

yf[(x)]f(u)(x)dydydudx du dx证明 给x以改变量，则u取得对应的改变量u,y又得到对应的改变量.因为f(u)limy存在，所以当u0时，有

u0uyf(ua（当u0a0）u或

u

uu因uu0yf(ua值都成立.不妨规定在u0a0（1）u是否为零都是正确的.所以lim

y

u

u

fuxx0x即

limx0

u x xyyu .x u x或 dydydu.dx du dxf(uf(u对u(x表示函数(x)xf(xx此定理说明，复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.这一法则又称为链式法则.复合函数求导数法则可推广到多次复合的情形. 例如设yfu),u),g(x),则复合函数yf gx例1求函数y=(x2+1)10解设y=u10u=x+1

dydydudvdx dudvdxx2yesin1的导数.x解yeu,usinv,v1x

10u9220(x21)9.dy dydx du dxdy dyesin1cos1dy dy dudv 1 x x eucosv dx du dvdx x2例3求函数yln(x x21)的导数.

x2 .解x x21x解x x21x21xx212 x21

1 1

yx x x21

x 1 x 1

1 x21 x21x2x21x21 例4 求函数y x n 2x1 解 yn x n1 x n x n12x12x

nxn1 2、高阶导数

2x1 2x1 2x1 (2x1)2 (2x1)n1二阶导数的物理意义.vsf(t)t的导数,即vf(t)a是速度.vt从而

atvt..atvtft.由此可看出，加速度asf(t)tsftsft.二阶导数的概念一般地，如果函数yf(xyf'(xxyf'(xxyf(xx处的二阶导数，记为yf"(xd2yd2fx.yf(x

dx

dx2yf(xd3yd3fx.y

dx3f(xn1n阶导数，记为

dx3fn(xdnydnfx.、n例5设yx3,求其各阶导数.

dxn

dxn解y3x2，y6x，y6，y4y5 0.例6设yex，求其各阶导数.解 yex，yex，…，y(n例7设ysinx，求其各阶导数.解 ycosxsin(x)，2

ex.ycos(x)sin(x2)，…，2 2ny(n)sin(x )2 (cosx)(n)

cos(xn)2 .例8设yln1x，求其各阶导数.解 y 1

1 ，y

2! ，y44

3! ynn1n!.1x注：补充课本练习3、隐函数的导数

y

1

1x4

1xnyxy=sinx，y=1+3x的函数叫显函数F(x,y)=0xyF(x,y)=0xy隐函数的显化易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题！若已知F(x,y)=0，求dy/dx时，一般按下列步骤进行求解：：若方程F(x,y)=0y=f(x)的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；F(x,y)=0，y=f(x)xyxy=f(x)求导法则进行。9x2+xy+y2=4y是xy解方程两边对x2xyxy2yy0，解出y得 y2xy.x2y例10 方程y=1+xey确定y是x的函数，求y的导数解方程两边对x求导，得y’=0+ey+y’xey，解出 y’=ey/1-xey例11 方程xy=ex+y确定y是x的函数，求y解方程两边对x求导，得解出y得

.yexyy，yexyy.xexy例12：已知x4+y4-xy=1，求y’（0,1）处的值解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边对x进行求导，4x3-y-xy’+4x3y’=0代入（0,1），可得y’=1/4注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。4、由参数方程确定的函数的导数若由参数方程x=j(t)yx.下面讨论由参数方程所确定的函ïîy=y(t)数的导数.x有单调、连续的反函数t1xyx构成复合函数关系y1x，根据复合函数和反函数的求导法则，有

dydydt

dydt

(t).例13 已知圆的参数方程x=acost，求dy

dx dt dx dx (t)dty=asint dxdy (asi解dy==

dt=

acost

=-cotdx dx

(aco-asidt .1t2例14 已知xln ，求1t2yarctant dxdy 解 dydt

rct

11t21dx dx

t ttt2dt 1t2课后作业及小结：1、掌握复合函数的导数，高阶导数，隐函数求导等基本概念2、综合运用复合函数导数公式与隐函数求导进行计算3、熟练计算高阶导数及参数方程求导作业：P85.3,4，5，6，7,8，101、微分的定义

第三节：微分的概念与应用x0则此薄片的面积改变了多少？

x+△x，0解答：xAAx：A=x20

薄片受温度变化的影响面积的改变量，可以看成是当自变量x从x0

取的增量△x时，函数A相应的增量△A，即：。从上式我们可以看出，△A分成两部分，第一部分是△x的线性函数，即下图中红色部分；第二部分 即图中的黑色部分，当△x→0△x代替。下面我们给出微分的数学定义：函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0

及x+△x在这区间内，若函数的增量可表示为 ，其中0A是不依赖于△x的常数，o(△x)是△x的高阶无穷小，则称函数y=f(x)在点x可微的。叫做函数y=f(x)在点x相应于自变0 0量增量△x的微分，记作dy，即：dy=A△x。dy△xdy△yo(△x)是关于△xdy△y线性主部△x定理若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。例1 求函数yx2求dy|x=1

与dy|x=0.01解 函数的微分为dy(x2)dx2xdx由已知条件：x1,dxx1.0110.01，所以dy2(0.01)0.021x=2例2 设ylnx，求dy，dy| .1x=2解 dy(lnx)dx1dx，所以dy x x2

xx2

dx dx1212、基本初等函数的微分公式与微分法则由微分的表达式dyfxdx知，要计算微分dy，只要求出函数的导数fx，再乘上自变量的微分dx即可 （1）d(C)0（C为常数） （2）d x

x1dx（3）

ax

axlnadx （4）

ex

exdx（5）

d

x 1 dx （6）dx1dxa xlna x（7）（9）

dxcosxdx （8）dxsinxdxdtanxsec2xdx （10）dxcsc2xdxdxsecxtanxdx （12）dxcscxcotxdx1x21x2（13）darcsinx 1 dx （14）darccosx1x21x2（15）darctanx

11x2dx

（16）darccotx

11x2dx（17）dvdudv （18）dvudvvduu vduudv（19）dCuCdu （20）d v v2y=f(u)对u（1）u

f'(u)du（2）当u是中间变量,即ux的可导函数u由复合函数的求导公式知，

x

;yxdu'(x)dx,dyf'(u)'(x)dx ,所以dyf'(u)'(x)dxf'(u)du.不论uxyf(udyf'(u)du，这种性质称为微分的形式不变性.例3 设y=ex+2x，求dy解方法1 利用dy得dy

¢( 2ex+2( 2

=ex2+2xx2+2

dx¢ =2(x+)ex2+2xdxdx方法2 令ux22x，则yeu，由微分形式不变性得dudy=euⅱdu

=eudu=ex2+2xdx2+2x)=ex2+2xx2+2x)dx=2(x+)ex2+2xdx.与复合函数的求导类似，求复合函数的微分也可不写出中间变例4 设y=sin(2x+3)，求dy解dy=cos(2x+3)d(2x+3)=2cos(2x+3)dx例5 求由方程x2+y2=xy所确定的隐函数的微分解方程两边求微分，得dx2+y2)=d(xy),2xdx2ydyxdyydx,yxdy2xydx0,2xy于是 dy3、微分的几何意义

dxx2y .y yN

xTP dyMx Q

y oxo x xx在直角坐标系中，函数y=f(x)的图形如图，设点M是该曲线上的一个定点，当自变量在点x取得改变量x时，就得到曲线上另一个点Nx1

xyy

MQx，QNy.M

QPMQtanfxxdy因此，当yfxdyyfx的切线上点的纵坐标的增量.4、近似计算微分是表示函数增量的线性主部.替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.设y=f(x)在x0处可微，根据微分定义，当很小时，有dy，即f(x0

+Dx)- f(x0

)籇f'(x) x0在上述近似计算中，若令0，x，例6 求665的近似值.解

x充分小时，有f(x)? f(0) f'(0)x.1665=61+64=261+642.0052课后作业及小结：1、掌握微分的基本概念2、综合运用微分公式进行计算3、记忆微分公式作业1、罗尔定理

第四节：微分中值定理及其应用[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导的函数的图形.这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直x轴的切线，且两个端点处的纵坐标相等，即f(a)=f(b)．可以发现曲线的最高点或最低点C处,曲线有水平的切线.C点的横坐标为f)0.现在用分析的语言把这个几何现象描述出来，那就是下面的罗尔定理.yCA BO a b x注：省略费马定理罗尔（Rolle）定理如果函数y=f(x)满足在闭区间连续,在开区间(a,b)内可导(3) f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点 ，使得f()0.证明由于函数y=f(x)在闭区间[a,b]f(x在闭区间[a,b]上必定取得Mm.这样，有如下两种可能情形M=m.f(x在区间[a,b],abf(x)0.ab，有f()0．Mmf(a)f(bMm这两个数中至少有—个不等于

f(x)在区间[a,b]的端点处的函数值．不妨设Mf(a)，那么必定在开区间((a,b))内有一点fM.f)0.由于f()M是最大值，所以不论x为正或为负，恒有fxf0，a,b当0时，有从而

fxfx

0，flim

fxf0当x0时，有

x0 xfxfx从而

0，flim

fxf0f

f

f

f

0

x0 x注如果罗尔定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立.1例1 f(x)1

0x1，x0例2 fxx，例3 fxx，它们的图形如图所示.y1 y1 01xy101xy01x例1 例2 例34fxx22x3在区间上罗尔定理成立.解 fxx22x3x3fx2x22x1f1f30则fx在1,3上满足罗尔定理的三个条件，则存在11,3，使f10，符合罗尔定理的结论.f(a)f(b这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制．如果把f(a)f(b这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理．2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数在闭区[a,b]上连续，在开区(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点 ，使得f(bf(a)ABba

f(b)f(a)f()baf()为曲线在点C处的切线的斜率．因此拉格朗日中值定理的几何意义yf(xABxCC点处的切线平行于弦AB．yBC MNAO a x b x中，函数f(x)f(a)f(bf(x)有密切联系的函数x（称为辅助函数x满足条件ab．然后对x应用罗尔定理，再把对x所得的结论转化到f(x)上，证得所要的结果．下面就利用这个辅助函数来证明拉格朗日中值定理．(略讲)证明引进辅助函数(x)f(x)L(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(xa)ba函数x（1）在闭区间[a,b]（2）在开区间(a,b)（3）ab0.因此，由罗尔定理得，在开区间ab内至少有一点，使得ffbfa0ba即 f(b)f(a)f).ba注（1）拉格朗日中值公式也可写作

fbfafba推论1 如果函数yfx在区间I上的导数恒为零那么yfx在区间I上是一个常数.证明在区间Ixx1 2

x1

x，应用拉格朗日中值定理，得2fx

f

fx

x，x,x2 1 2 1 1 2f0f

fx0即fx

fx.这意味着，区间I内任意两点的函数值相等，所以yfx在2 1 , 2 1区间I上是一个常数.推论2 如果函数yfx与gx在区间I每一点的导数fx与gx都相等，那么yfx与gx在区间I上至多相差一个常数.例5 求证: arcsinxarccosx，x1.2证明设fxarcsinxarccosx，则有fx(arcsinxarccosx)由推论1知，对任意x1,1，恒有

1 1x211x21x2

0，令x0，得C. 从2

fxarcsinxarccosxCarcsinxarccosx，x1.2例6 求证: 当x0时，x lnxx1x证明fxlnxfx在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，因此fxf0f0，0,x由于f00，fx 1 ，有lnxx 1x 1又0x，则1 1 1x0时，

1x 1x x x即3、柯西中值定理

1x 1 ,x lnxx.1x柯西中值定理：fxFx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导Fx在a,b内的每一点处均不为零，那么在a,b内至少有一点,使fbf f4、洛必达法则

FbFaF当xx（或x）时，分子f(x)与分母g(x)都趋于零或都趋于无穷大.此时，极限limfx可能存在，也可能不存在，0 gx通常把这种类型的极限叫做未定式.本节利用中值定理推导出求未定式极限的一般方法——洛必达法则.00型未定式求极限的方法定理 f(x)与g(x)满足条件limfxlimgx0；0xx0x0

xx0的某邻域内（点x00

可除外）

x

0；

f(x)

A（或）;xx0g(x)则limxx0

f(x)g(x) xx0

f(x)A（或）.g(x)定理1给出的在一定条件下，通过分子、分母求导数,再求极限的方法称为洛必达法则.在使用洛必达法则求极限时，若fx0f(x)与g(x)仍然满足定理的条件时，可继续使用洛必达法则.limgx 0注：补充课本例题外，加入以下题目1x2sin例7 求极限lim x.x0

sinx解此极限0/0未定式，若用洛必达法则，分子、分母分别求导后，将化为2xsin1cos1lim x xx0 cosx ，此式振荡无极限，故洛必达法则失效.但原极限是存在的，求法如下：1 1lim

x2sinx

x2sinx

limxsin1

0.

x0 sinx x0

x0 x定理f(xg(x)满足条件limfxlimgx；xx0x0

xx0的某邻域内（点

x可除外）可导，且g0g

x

0；（3）limf(x)A（或；xx0g(x)则xx0

f(x)g(x) xx0

f(x)A（或）.g(x)注将定理中xx改为xx，xx，x，x，x等过程，洛必达法则同样成立.0 0 0例8 求极限limlncotx.x0 lnx解这是型未定式，由洛必达法则得limlncotxlim(lncotx)lim

1 cotxcotx

1 sin2xlim xx0

lnx

x0

(lnx)

x0

1 x0sinxcosxlim x lim 1 1.x0sinx x0cosx注：补充课本例题外，加入以下题目例9 求极限

ex.xx2解这是型未定式，由洛必达法则得lim

ex

ex

ex

exx2xx2 xx2

x2x

x2其他类型的未定式求极限的方法0 0型的极限问题.0000，1等五种类型的未定0 式，它们可以通过适当的变形都可转化为0型或型，再利用洛必达法则即可求解.注：补充课本例题外，加入以下题例10 求极限limxlnx.x0 解这是0型再利用洛必达法则，1limxlnxlimlnxlim

x limx0.x0 x0 1 x01 x0 例11求极限lim 1 1. sinx x

x x2x0 0解这是

型未定式，通过通分将其变为0型未定式，再利用洛必达法则得，lim 1

1limxsin

1cosxsinx x

xsin

sinxxcosxx0

x0

x0lim sinx 0.x0cosxcosxxsinx000，fxgxegxlnfx及指数函数的连续性将其转化为指数的极限.一般地，我们有limfxgxlimegxlnfxelimgxlnfx例12求极限limxx.x0解这是00型未定式，则xx例13求极限lim1sinx1xx

limxxx0

limexlnx0

elimxlnxe01.x0解这是1型未定式，则

lim1sinx

lime1ln1sinx

1sinx，xx0 x0

xln

limln1x0x

cosx1 x而 lim lnsinxlim

1sinx1x0x x0

x0 1 ,x所以 li sx

课后作业及小结：

x01、掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理基本概念2、综合运用洛必达法则进行计算作业：P103.2,4,6,101、函数单调性的判别

第五节：泰勒中值定理（不讲）第六节：函数的性态与图形函数y=f(x)在区间(a,b)内单调增加，其图像是一条沿tanfx0.函数y=f(x)在区间(a,b)内单调减少，其图像是一条沿tanfx0.由此可见，函数的单调性与导数的符号有密切的关系.那么，能否用导数fx的符号来判断f(x)的单调性呢？下面的定理对此问题给出了肯定的回答. 1（函数单调性的判定法则）y=f(x)在闭区间a,b连续，开区间(a,b) xa,bfx0y=f(x)在区间(a,b)内单调增加；xa,bfx0y=f(x)在区间(a,b)内单调减少.2 证明设x1，x2是(a,b)内任意两点，且xx2 f1x

fx

x

，x,x

2

1

如果x

a,b

时fx

0

0x1

x即xx2 2

0

x 2

x 01

x 2

x .所以，函数1,y=f(x)在区间(a,b),注（1）若将定理中的a,b换成其他各种区间包括无穷区间，结论同样成立.如果函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.例1确定函数f(x)=ex-x-1的增减区间.解：容易确定此函数的定义域为(－∞,＋∞)其导数为：f’(x)=ex-1的，因此可以判出：x＞0f’(x)＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)；x＜0f’(x)＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；例2求证：当x>0时，x>ln(1+x).证明令fxxlnx1，则fx1 1 x .x1 x1x>0fx0，因此在单调增加.又在x>0fxf00，即xlnx0.因此，当x>0时，xln1x.注：补充课本例题2、函数的极值及求法曲线上的这些点以及这些点所对应的函数值在实际应用中有着非常重要的意义.由此引入函数的极值的概念.1yfx

的某邻域U(x

,)内有定义，（1）若对xx

,

0x,x

0fxf

f

为fx的极大值，0 0 0 0 0 00x为fx的极大值点；0（2）若对xx

,x

x,x

，恒有fxfx

，则称fx

为fx的极小值，0 0 0 0 0 0x为fx的极小值点.0极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.显然，极值是一个局部性的概念，它只是在与极值点邻近的所有点的函数值相比较而言，而不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.如图所示，函数yf(xxx1 3

各有极大值f(x1

)和f(x3

)，而在点x2

和点x4

各有极小值f(x和2f(x4

)，而极大值f(x1

f(x.4由图还可以看出，在极值点处如果曲线有切线存在，并且切线有确定的斜率，那么，切线平行于x轴，即该切线的斜率等于零.但是，在某点曲线的切线平行于x轴，并不意味着这点就一定是极值点，如图3-7中的点x5不是极值点，而曲线在点x的切线却平行于x轴.因此有下面定理.05002（极值的必要条件）yf(xx0

f(x

f

f0

)0.0设f(x

x0

的某个邻域内总有

fx0

fx0

x于是，当x0时，

fxxfx反之，

0 0 0；xfxxfx由题意知：f(x

)存在，所以0

0 0 0.xfx

fx0

limx0

fx0fx

xfx0xxfx

0，fx fx

lim 0 0 0 0 0

x0 x ，因而，f(x0

)0.同理可证f(x

)为极小值的情形.01）f(

)存在时，f(x000

)0是点x

为极值点的必要条件，但不是充分。使f(x)=0的点称为函数的驻点.驻0点可能是函数的极值点，也可能不是极值点.0在函数导数不存在的点，函数也可能有极值把极值可疑点..条件.3（判定极值的第一充分条件）yf(xx0

的某邻域内连续并且可导（但f(x

)可以不存在）,0， 如果当x(x ,x)时，f(x)0而当x(x,x)时f(x)0则函数f(x)在点x， 0 0 0 0

f(x)；0x(x0

,x0

(x)0xxx0 0

(x)0f(xx

处有极小值

f(x).0，0xx，00

,x0

，xx

fxf(x

0处无极值.0注：如果函数f(x)在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则可按下列步骤求函数的极值点和极值：0f(x的定义域；fxfx0fx不存在，找出极值可疑点；fx在极值可疑点左右两侧邻近范围内符号变化的情况，确定函数的极值点；f(x的全部极值.例3 求函数f(x)(x2)2(x1)解（1）函数的定义域为,，（2）f(x)(x1)(5xx2 f(x)0，得驻点，1列表如下：

x1,x1 2

,x 5 3555＋0＋0—0＋↗非极值↗极大值↘极小值↗由上表可见，函数在区间(

1x(,x(,1)1)11( 11f(x)f(x)5

单调增加.

1( 5

单调减少，在点

x1处5

(1)

3456x1f0.如图所示.5 3125定理4（判别极值的第二充分条件）设

f(x)0, f(x)0.0 0证明（略）

f(x)0f(xf(x)的极小值.0 0f(x)0f(xf(x)的极大值.0 0例4求函数

fxx36x29x5的极值.解 定义域：f(x)3x212x9, f(x)6x12,令f(x)0，即3x212x93(x1)(x3)0得 xx1 2

3.因为 f61260所以，函数有极大值f(1)9.

f181260,注yf(xx0f(x0)f(x0)04x0处可能取得极大值，可能取得极小值，也可能没有极值.3、曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特征，就要研究曲线的弯曲方向以及扭转弯曲方向的点.曲线的弯曲方向是用曲线与其切线的相对位置来描述的.曲线向上弯曲弧段位于弧段上任意一点的切线上方，曲线向下弯曲