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文档简介

§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法

1一、可降阶的一些方程类型

n阶微分方程的一般形式:

1不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是解得积分即2

解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解3解令则方程化为这是一阶方程,其通解为即有对上式积分4次,得原方程的通解为例14

2不显含自变量t的方程,

一般形式:因为5用数学归纳法易得:将这些表达式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一阶6

解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解7解令则方程化为从而可得及这两方程的全部解是例2再代回原来变量得到所以得原方程的通解为8

3已知齐线性方程的非零特解,进行降阶的非零解令则代入(4.69)得即9引入新的未知函数方程变为是一阶线性方程,解之得因而则10因此(4.69)的通解为11

解题步骤:第一步:第二步:解之得即12第三步:第四步:(4.69)的通解为注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)13解这里由(4.70)得例31415代入(4.2)得16事实上17若则即因此,对(4.67)仿以上做法,1819二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.下面考虑该方程及初始条件用级数表示解?20定理1021定理1122例4解设级数为方程的解,由初始条件得:因而将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得23即因而也即24故方程的解为25例5解将方程改写为易见,它满足定理11条件,且26将(4.75)代入(4.74)中,得27由(4.76)得即28从而可得29因此(4.77)变为30若取则可得(4.74)的另一个特解由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.31因而(4.74)的通解为因此,不能象上面一样求得通解;因此,(4.74)的通解为32例6解代入方程

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