新教材人教b版选择性必修第三册 6.2.1导数与函数的单调性 作业

2021-2022学年新教材人教B版选择性必修第三册6.2.1导数与函数的单调性作业一、选择题1、已知函数有两个零点，分别为，且，则a的取值范围为（）A． B．C． D．2、已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3、偶函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．4、已知.（1）求的单调区间；（2）若存在使成立，求实数的取值范围.5、已知函数的定义域为，部分函数值如表1，的导函数的图象如图1.下列关于函数的性质，正确的有（）A．函数在是减函数B．如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4C．函数有4个零点，则D．函数在取得极大值6、对于三次函数，定义是的导函数的导函数，经过讨论发现命题：“一定存在实数，使得成立”为真，请你根据这一结论判断下列命题：①一定存在实数，使得成立；②一定存在实数，使得成立；③若，则；④若存在实数，且满足：，则函数在上一定单调递增，所有正确的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．②④7、设函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8、若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9、已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10、已知函数，则下列判断正确的是（）A．存在，使得 B．函数的递减区间是C．任意，都有 D．对任意两个正实数、，且，若，则11、设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．12、已知函数的定义域为，对任意实数恒成立，若真，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13、已知函数，，则的值域为____．14、已知，，使得，则实数的取值范围为____．15、若对任意实数，都有成立，则实数的值为________.16、已知，若恒成立，则实数的取值范围是________．三、解答题17、（本小题满分10分）已知函数（1）求在处的切线方程；（2）设函数在定义域内有两个不同的极值点、，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，令且，总有成立，求实数的取值范围.18、（本小题满分12分）已知函数在x＝1处取得极值．（1）求a的值；（2）求f（x）在区间[－4，4]上的最大值和最小值．19、（本小题满分12分）已知函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.参考答案1、答案D解析解：令，得，当时，无解，，则，令，因为有两个零点，等价于与的图象有两个不同的交点，，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，因此，，令，有，得．则，，即时，满足条件，故的取值范围为．故选：．2、答案C解析先构造函数,再将存在性问题转化为对应函数最值问题，通过求最值得实数的取值范围.详解令，则存在，使得,即的最大值，因为在上单调递减，在上单调递增，所以最大值为,因此，选C.点睛利用导数解决数学问题，往往需要需要构造辅助函数.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等3、答案C解析构造函数,再根据得出的单调性,结合偶函数可得的奇偶性,再结合奇偶性与单调性求解即可.详解：构造函数,则.故当时,有,为减函数.又为偶函数,故也为偶函数,所以在时为增函数.又,,即,即,故,结合定义域解得或.故选：C点睛本题主要考查了构造函数,利用导数分析函数的单调性,进而求解不等式的问题,需要根据题意确定函数在区间上的单调性,再根据函数的奇偶性进行求解.属于中档题.4、答案（1）的递减区间为，递增区间为；（2）.解析（1）∵，∴∴.则当，即时，；当，即时，，∴的递减区间为，递增区间为.（2）若存在使成立，则，由（1）可知.∴.5、答案AC解析根据导函数的图像，先判断函数的单调性，再逐项判断，即可得出结果.详解：由导函数的图像可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；故A正确；B.如果当时，的最大值是2，由函数单调性可知：的最大值为，故B错；C.函数有4个零点，即图像与有个交点，由的定义域为，且，取得最大值为，所以时，有两个交点，因此；故C正确；D.因为函数在上单调递增，所以处不可能取得极值，故D错.故选：AC.点睛本题主要考查导函数与函数之间的关系，根据导函数的图像判断函数单调性是解决该题的关键，属于常考题型.6、答案C解析根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，可判断①，②，由三次函数的对称中心判断③；利用导数判断函数单调性判断④；详解，，因为，所以②正确，但①不一定正确.由已知命题得，函数关于点，且满足：，则函数在上可以单调递增，也可以单调递减，所以④不正确.故选C.点睛本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．7、答案D解析由题意可知存在，使成立，可得，若令，求出的值域即可得到的取值范围.详解：解：由曲线上存在点，使得，可得，所以，即存在，使成立，所以，即，，令，因为，所以在上为增函数，所以，即，所以，故选：D点睛此题考查了余弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的值域，体现了数的转化思想，属于中档题.8、答案A解析由已知条件推导出，令利用导数性质求出时，取得最小值4，由此能求出实数的取值范围.详解因为对恒成立，所以，，令，则，所以当时，，函数单调减，当时，，函数单调增，所以当时，，所以实数的取值范围是，故选A.点睛该题考查的是有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有恒成立问题向最值靠拢，利用导数研究函数的最值，属于简单题目.9、答案D解析关于对称的函数为，将问题转化为与图像有交点的问题来解决.令，将其变为两个函数，两样导数研究这两个函数的图像，由此求得的取值范围.详解关于对称的函数为，所以原问题等价于与图像有交点，令化简得，对于，，故其在上递减，在上递增，由此画出和的图像如下图所示.要使有解，直线的斜率要介于切线的斜率和直线的斜率之间.当时，，即，所以.设，，故切线的方程为，将原点坐标代入得，解得，故，所以斜率的取值范围是，故选D.点睛本小题主要考查利用导数研究存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.由于题目涉及还有这两个条件，可以想到和互为反函数，它们的图像关于对称.由此将问题转化为和图像有交点的问题来解决.10、答案BCD解析求出原函数的导函数，得到单调性与极值，即可判断ABC，构造函数，利用导数证明．详解：解：因为，定义域为，，令，则，所以函数在上单调递减；令，则，所以函数在上单调递增；所以函数，在处取得极小值也就是最小值，，所以对任意，故正确、错误；令，则，，令，则．在上为减函数，则，令，由，得，则，当时显然成立．对任意两个正实数、，且，若，则正确，故正确．故选：BCD点睛本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．11、答案A解析由题意得令，即与恰有3个交点，由，利用导数得到函数的单调性即可得解.详解恰有3个零点，则恰有3个根，令，即与恰有3个交点，，当时，，所以在上是减函数；当时，，当时，，当时，，所以在时增函数，在时减函数，且，所以故选A．点睛对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12、答案A解析由真得出两个命题均为真命题，求出、均为真命题时对应的参数的取值范围，取交集即可得出实数的取值范围.详解由于命题为真命题，则命题、均为真命题.若命题为真命题，则，解得.若命题为真命题，构造函数，则，且.（1）当时，对任意的恒成立，此时，函数单调递增，且当时，，不合乎题意；（2）当时，恒成立；（3）当时，令，得.当时，，当时，.，即，解得.所以，当命题为真命题时，.因此，实数的取值范围是.故选：A.点睛本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了对数型函数的定义域与不等式恒成立问题，解题时要根据复合命题的真假判断出简单命题的真假，考查运算求解能力，属于中等题.13、答案解析先将函数化简整理，，则，根据函数性质即可求得值域。详解由题得，，令，，构造函数，求导得，则有当时，，单调递减，当时，，单调递增，t=1时，，为的极小值，故由可得，又，则的值域为.点睛本题考查求三角函数的值域，运用了求导和换原的方法。14、答案解析画出函数的图像，根据在区间上，函数图像最高点，高于图像的最高点列不等式，解不等式求得的取值范围.详解画出函数的图像如下图所示，要，，使得成立，则需要函数图像最高点，高于，即.对于，，故，所以，即的取值范围是.点睛本小题主要考查任意、存在两个关键词同时存在的不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数求解函数的最小值，综合性较强，属于较难题目.解题的突破口在于将不等式两边看作两个函数，利用两个函数的图像的的高低，来解决不等式的问题.15、答案解析设，先计算，再讨论，，三种情况计算得到答案.详解设，若判别式，则有解，设一解为，则时，不满足恒成立，则，此时，因为，①即时，函数在单调递减，，则，即，不满足题意；②即时，记较小值为，则在单调递增，由可得，即，不满足题意；③即时，在，递减，则，，则成立，综上.故答案为：.点睛本题考查了不等式恒成立问题，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.16、答案解析函数的定义域为，由，得，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数的取值范围.详解：函数的定义域为，由，得，(ⅰ)当时，，，不等式恒成立，所以;(ⅱ)当时，,,所以;(ⅲ)当时,不等式恒成立等价于恒成立或恒成立，令，则，因为，所以，从而，因为恒成立等价于，所以，令，则，再令,则在上恒成立,在上无最大值，综上所述，满足条件的的取值范围是.故答案为：.点睛本题考查导数知识的综合运用,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.17、答案（1）；（2）；（3）.解析解：（1）因为，所以，所以，又，所以所求切线方程为.（2）由得，令，函数在内有两个极值点，则，在有两个不相等的实根、，所以，解得；（3）由（2）知，，，所以，得，，所以成立，即，即，即成立，且时，.当时，，令，，①时，，所以在上为增函数，且.所以时、，与矛盾，不符合题意.②时，令，.（ⅰ）当，即时，，所以在为减函数，且.可得：当时，，，则；当时，，，则.所以对任的恒成立；（ⅱ）当.即时，二次函数图象的对称轴，且.令.则当时，，即.所以在为增函数，且，所以在上，与矛盾，不符合题意，综上，，即的取值范围是，18、答案（1）9；（2）最大值为76，最小值为－5.解析解：（1）因为，所以．因为在x＝1处取得极值，所以，即，解得经检验，符合题意．（2）由（1）得．所以．令，得或；令，得．所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．所以的极大值为，极小值为又，，所以所以的最大值为76，最小值为19、答案（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，,,在上单调递减,等价于,即．详解（Ⅰ）．（i）设,则,只有一个零点．（ii）设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．又,,取满足且,则,故存在两个零点．（iii）设,由得或．若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．若,则,故当时,；当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．综上,的取值范围为．（Ⅱ）不妨设,由（Ⅰ）知,,在上单调