数列问题 8 数列中的数学思想

数列讲义1-问题5.8数列中的数学思想一、方程思想等差和等比数列一般涉及5个量：a1，d(q)，n，an，Sn.“知三求二”是最基本的数列的问题，这个时候，我们可以将数列问题转化为方程或者方程组来求解.【例题1】【2015届鄞州区高考数学模拟试题理19】（本小题满分15分）已知数列中，（实数为常数），，是其前项和，且.数列是等差数列；（Ⅱ），．【变式训练】【2010年，浙江高考（文），19】设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5S6+15=0.(1)若S5=6，求S6及a1；(2)求d的取值范围.二、函数思想数列可以看作是定义域为正整数或正整数的子集的特殊函数，从而我们可以借助函数的图像、单调性等知识来研究数列的性质.【例题2】【2015高考陕西，理21】（本小题满分12分）设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．【变式训练】【2016年，宁波市龙赛中学综合测试（一）】各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有eq\f(am+an,(1+am)(1+an))=eq\f(ap+aq,(1+ap)(1+aq)).（1）当a=eq\f(1,2)，b=eq\f(4,5)，求通项an；（2）证明：对任意的a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有eq\f(1,λ)≤an≤λ.三、分类讨论思想在解决实际的问题的时候，我们可能会遇到多种情况，这个时候就需要分类讨论.在分类讨论的时候，因该明确引起分类讨论的原因是什么，并按照一定的标准进行分类讨论，防止漏解、重复解.【例题3】【2015高考天津，理18】已知数列满足，且成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设，求数列的前项和.【变式训练】【2015高考上海，理22】已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值M与最小值，且.四、转化和化归思想转化和化归即是将条件逐渐通过各种代数变形向结论转化，或者是将不熟悉的数学问题转化为已知的熟悉的数学模型.【例题4】【2015年，北京高考】已知数列{an}满足a1∈N*，a1≤36，且an+1=eq\b\lc\{(\a\al(2an，an≤18,2an-36，an>18))（n=1，2，…）.记集合M=eq\b\bc\{(an|n∈N*).（1）若a1=6，写出集合M的所有的元素；（2）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：集合M所有的元素都是3的倍数；（3）求集合M的元素个数的最大值.【变式训练】【浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试（一）理12】设等差数列的前项和为，若，则；的最大值为．五、归纳和猜想有一些题目，答案并不明显，这个时候，我们可以从n=1，n=2，……，去进行实验，然后再进行归纳，由此触发猜想，再加以证明，最后将证明的结论加以应用.这个过程即“试——猜——证——用”.【例题5】【2010年，重庆高考（理），21】已知{an}的通项an+1=can+cn+1(2n+1)(n)，其中a1=1，实数c≠0，求数列{an}的通项公式.【变式训练】【2008年，浙江高考（理），22】数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1-1=an2（n），求证：当n时，an<an+1.【课时作业】1、【2015高考新课标1，文7】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（）（A）（B）（C）（D）2、【浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测数学试题理10】已知等差数列的公差不为，等比数列的公比是小于的正有理数。若，，且是正整数，则等于（）。A． B． C． D．3、【绍兴市2014-2015学年高三第一学期期末教学质量调测理7】已知数列的通项公式．当取得最大值时，的值为（）A．B．C．D．4、【浙江省嵊州市2015年高三第二次教学质量调测理4】设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是（）A．B．C．D．5、【2016年，宁波二中高三第一次月考】若等差数列满足,则的取值范围是（）A．B．C．D．6、【2010年，辽宁高考】已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则eq\f(an,n)的最小值为7、【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】实数x、y、z满足0≤x≤y≤z≤4．如果它们的平方成公差为2的等差数列，则|x－y|+|y－z|的最小可能值．8、【2010年，天津高考】在数列{an}中，a1=0，且对任意的k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k.（1）证明：a4，a5，a6成等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）记Tn=eq\f(22,a2)+eq\f(32,a3)+…+eq\f(n2,an)，证明：eq\f(3,2)<2n-Tn.9、【2016年，宁波市二中第一次月考（理），20】正项数列满足，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：对任意的，；（Ⅲ）记数列的前