高考数学专题8之统计

高考数学专题八之统计【知识概要】一、抽样方法1.简单随机抽样一一设一个总体的总数为N,若通过逐个抽取的方法从总体中抽取一个样本，且每次抽取时，各个个体被抽到的概率相等，这样的抽样方法叫简单随机抽样。特点：不放回抽样；逐个抽取；被抽取的样本的总数是有限的。主要方法：抽签法；随机数表法。2.系统抽样一一将总体平均分成几个部分，然后按照预先定出的规则，从每个部分中抽取一个个体，得到所需的样本，这样的抽样方法叫简单系统抽样。特点：等概率抽样；等距离(或按预先定出的规则)抽样；不放回抽样。系统抽样的步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号；②将整个的编号按一定的间隔(设为k)，当N(N为总体中的个体数，n为n样本容量)是整数时，k=N;当N不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩nn下的总体中个体的个数N1能被n整除，这时k=N，并将剩下的总体重新编号n③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体标号l；④将编号为/,l+k,l+2k,L,l+(n-1)k的个体抽出。3.分层抽样一一当总体由差异明显的几个部分组成时，将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这样的抽样方法叫分层抽样。特点：每层抽取的样本数=总每层黠*X所要抽取的总体数；等概率抽样;不放回抽样。分层抽样的步骤：①将总体按一定标准分层；②计算各层的个数与总体的个数的比；③按各层个数占总体的个数的比确定各层应抽取的样本容量;④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)。二、总体分布的估计和总体特征数的估计1.频率分布表的有关概念(1)频数：在一组数据中，某范围内的数据出现的次数；(2)频率：频数除以数据的总个数；(3)全距：数据中最大与最小值的差；(4(4)组距=lS；(5)分组要求:通常对组内数值所在区间取左开右闭区间，最后一组取闭区间，并且使分点比数据多一位小数。•2.频率分布直方图具体做法如下：求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）;决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图：①横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值；②以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形；③图中每个矩形的面积等于相应组的频率，即：疑X组距=频率；组距④各组频率的和等于1，即各小矩形的面积的和等于1。3.频率分布折线图：将频率分布直方图中，取各相邻矩形的上底边中点顺次连接，再将矩形的边去掉，就得到频率分布折线图。4.密度曲线：当样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折线就越接近于一条光滑的曲线，这条光滑的曲线称为总体密度曲线。5.中位数：将数据按从小到大或从大到小排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数。6.众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；众数不一定是唯一的。7.平均数计算的方法：1）简单平均数x=七+x2+L+xn；n（2）离散型平均数计算：%1,x2,L,xn所发生的频率分别为与匕人，匕，则平均数为%】pi+%2p2+L+xp；（3）区间型平均数计算：[qa2）,[a2,a3）,L,Q,an"所发生的频率分别为p,p,L,p，则平均数为『P+RP+...+中针pi2n 2 12 2 2n8.方差：s2=1y（X一x）2nii=19.标准差：s=ex（xlx）2i=1三、统计案例作出统计推断:-x)(y-y)i i作出统计推断:-x)(y-y)i ii=1 ==E(x-x)2

ii=1Ei=1咨

i=1E—xyx-n-nxyiii=1x2-nx2)E(y2-ny2)i ii=1叫做变量y与x之间的样本相独立性检验 ；抽取样本11提出统计假设运用必检验；；线性回归分析：抽取样本 11提出统计假设一：运用r检验；I - - - I 1.回归分析回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系。对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。线性回归方程：设％与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为y对1的回归函数的类型为直线型：y=a+bx，我们称这个方程为y对1的线性回归方程。（1）设两个具有线性相关的一组数据为：（、））,（12,y2），lGn，yn）n-]XxpEy]a=y-bx则线性回归方程为：y=bx+a其中b=J'J，人」），na=y-bxX,y分别为x「xJ,xn,yi；y2,L,yn的算术平均数。（2）特点：线性回归方程过点（x,y）；•2.相关系数对于变量y与x的一组观测值，关系数，简称相关系数，用它衡量两个变量之间的线性相关程度。相关系数的性质：IrIW1,且|rI越接近1,相关程度越大；IrI越接近0,相关程度越小。•3独立性检验独立性检验是对两种分类变量之间是否有关系进行检验。①独立性检验的必要性：2X2列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体。②独立性检验的原理（与反证法类似）:反证法假设检验要证明结论A备择假设H 1 在A不成立的前提下进行推理在H不成立的条件下，即Ho成立的条件下进行推理 0推出矛盾，意味着结论A成立推出有利于H成立的小概率事件（概率不超过a的事件）发生，意味着H成立的可能性（可能性为（1—。））很大没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功推出有利于H成立的小概率事件不发生，接受原假设③独立性检验的步骤第一步：提出假设检验问题；第二步：选择检验的指标（卡方检验）；%2=——n（ad-b）2——（它越小，原假设“H:成立的可能性越大”；它（a+b）（c+d）（a+c）（b+d） 0越大，备择假设“H1：成立的可能性越大”。第三步：查表得1出结论。P(%2>%)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001%00.450.701.322.072.703.845.026.637.8710.85832614593如：当％2>3,841时，有95%的把握说两事件有关；％2>6,635时，有99%的把握说两事件有关；如果％2<2.706，没有充分的证据显示两事件有关。四、计数原理与二项式定理•1.两个原理..乘法原理、加法原理..可以有重复元素的排列.•••••••从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m・m•…m=映.例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：mn种）•2.排列..⑴对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m（mWn）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做••••••从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.

⑶排列数.从n个不同元素中取出m(mWn)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号4〃表n示.⑷排列数公式：n!Am=n(n-1)A(n-m+1)= (m<n,n,meN)(n-m)!注意：n.n!=(n+1)!-n!规定0!=1Am=Am+Am=Am+AmCm-1=Am+mAm-1 Am=nAm-1n+1nmnn n n n-12.含有可重元素的排列问题.••••••对含有相同元素求排列个数的方法是:规定cn=Cn=1其中限重复数为n「n2 1，且n设重集S有k个不同元素a,a,•••...”=ni+n2+ nk,则S的排列个数等于n!n= n.!n!...n例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n=(1±2)!=3又例如：数字5、5、5、求1!2!其排列个数？其排列个数n=3=1.3!・3.组合..⑴组合：从n个不同的元素中任取m(mWn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑵组合数公式：cAmn(n-1)A(n-m+1)「n!Cm=—―= Cm= nAm m! nm!(n-m)!m⑶两个公式：①Cm=Cn-m;②Cm-1+Cm=Cmnn nnn+1①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.。(或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有Cm-；C1=Cm-：一类是不含红球的选法有Cm)②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有Cm-n,如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有Cm种，依分类原理有Cm-1+Cm=Cmn nnn+1⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.⑸①几个常用组合数公式C0+C1+C2+A九n=2nnnn nCo+C2+C4+A=C1+C3+C5+A=2n-1Cm+Cm+CmACm=Cm+1nm+1m+2m+nm+n+1kCk=nCk-1n n-1Ck=—^—Ck+1k+1nn+1n+1②常用的证明组合等式方法例.i.裂项求和法.如：1+2+a+A-^―=1--^―(利用匕1= -1)2!3!4! (n+1)! (n+1)! n!(n-1)!n!.导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.V.递推法(即用Cm+Cm-1=Cm递推)如：C3+C3+C3+AC3=C4.nnn+1 3 4 5 nn+1Vi.构造二项式.如：(C0)2+(C1)2+A+(Cn)2=Cnn n n 2n而右边=Cn2n证明：这里构造二项式(%+1)n(1+%)n=(1+%而右边=Cn2nC0-Cn+C1-Cn-1+C2Cn-2+A+C"C0=(C0)2+(C1”+A+(Cn”，nnnnnn nnn n n•4.排列、组合综合.1.I.排列、组合问题几大解题方法及题型：①直接法.②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(m<n)个元素必相邻的排列有An-m+1,Am个.其中4-m+1是一个“整体排列”，而4〃则是“局部排列”.TOC\o"1-5"\h\zn一m+1m n一m+1 m又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为a2-A1,A2.nn-1 2②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有A1A2.An-1-A2n-1 2③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有A24-2-n-1nn-1注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？An-m-Am(插空法)，当n-m+1Nm,即mWn+1时有意义.n-mn-m+1 G

⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有勺种，皿m兀n）个元素的全排列有Am种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有4种排列方法.Amm例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）刖+1）。+2）・1=/！/！；解法二：（比例分配法）An/Am.nm⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有5（-：,CAkk例如：从1，2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有C4=3（平2!均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（P_CC^）p— 18 2C10/2!20注意：分组与插空综合.例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有An一m.Am/Am，当n-m+1Nm,即mWn±1时有n-mn-m+1m 2意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：％1+%2+%3+%4-12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为%1,%2,%3,%4显然%1+%2+%3+%4—12，故（%1,%2,%3,%4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解（y,y,y,y）,%/%2'%J%4对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数C311注意：若为非负数解的x个数，即用aa,a中a.等于%.+1，有1,2,n i i%+%%+%+%...+%—Ana—1+a—1+...a—1—A进而转化为求a的正整数解的个数为Cn-1A+n⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：4T；不在某一位置上：A-A…或Am+A1.T（一类是不取n-1 nn-1 n-1m-1n一1出特殊元素a，有Am，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后n-1再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题..从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内。先C后A策略，排列CrCk-加；组合C。--rn-rk rn-r.从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列ckAk；组合Ck.n-rk n-riii从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列ca-sAk；rn-rk组合CsCk-s.rn-rII.排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.2.组合问题中分组问题和分配问题.①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar（其中A为非均匀不编号分组中分法r数）.如果再有K组均匀分组应再除以Ak.k例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4,其分法种数为C2C4C4/A2=1575.10 8 4 2若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为c1C1C2C2C2C2/A2.A410 9 8 6 4 2 2 4②非均匀编号分组：n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A.Amm例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5,去参加不同的劳动，其安排方法为：C2.C3.C5.A3种.10 8 5 3若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4,参加不同的劳动，则安排方法有C2C3C4.A3种10 8 5 3③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为A/rm例：10人分成三组，人数分别为2、4、4,参加三种不同劳动，分法种数为二C4C41084~♦A3

A2 32④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为A=CmlCm2…nn-m1Cmkn-(m1+m2+...+mk1)例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5,其分法种数为C2C3C5=2520若从TOC\o"1-5"\h\z10 8 510人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3,其分法种数为C1C2C3=1260M10 9 7•5.二项式定理.1.⑴二项式定理：(a+b)n=C0anb0+C1a--1b+A+C3-2―A+C"a0bn.n n n n展开式具有以下特点：①项数：共有n+1项；②系数：依次为组合数C0,C1,C2,A,Cr,A,Cn；nnn n n③每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.(a+b)n展开式中的第r+1项为：