几类特殊函数及应用

几类特殊函数及应用I．理论基础·解题原理（I）对勾函数对勾函数的定义形如的函数，叫做对勾函数．对勾函数的图象与性质定义域值域当时，（当且仅当，即时取等号）．当时，（当且仅当，即时取等号）．函数的值域为．奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称，，则对勾函数为奇函数．单调性由于，令，解得或，令，解得或，所以函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数．渐近线当时，，当时，，说明函数的的图象在第一、第三象限．当时，，说明函数在第一象限的图象在直线的上方，当时，，，说明函数在第三象限的图象在直线的下方．双勾函数就是以轴和直线为渐近线的双曲线．（II）绝对值函数一、绝对值函数的定义：形如的函数，叫做绝对值函数．含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论，对能力要求较高，故备受高考命题者青睐，高考常考的主要有以下3类：1．形如的函数，研究此类函数往往结合图像，可以看成由的图像在轴上方部分不变，下方部分关于轴对称得到；2．形如的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究的情况，的情况可以根据对称性得到；3．函数解析式中部分含有绝对值，如，等，这种函数是普通的分段函数，一般先去绝对值，再结合图像进行研究．绝对值函数的图象与性质定义域：R；值域：；单调性：函数在上为减函数，在上为增函数．（III）取整函数取整函数的定义若x为实数，表示不超过的最大整数，则函数叫做取整函数．举例如下：等．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等．【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质．最好先画出函数的图象，利用数形结合思想，解决相应问题．【易错指导】注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域，在定义域内解决相应问题．V．举一反三·触类旁通考向1对勾函数【例1】【2018河北唐山模拟】已知，，则（）A．B．C．D．【例2】【2018云南省师大附中模拟】若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．【例3】【2017山西四校联考】若函数的导函数在区间（1，2）上有零点，则在下列区间上单调递增的是A．B．C．D．【例4】【2018吉林百校联盟高三九月联考】已知函数函数，则下列说法错误的是（）A．若，则函数无零点B．若，则函数有零点C．若，则函数有一个零点D．若，则函数有两个零点【跟踪练习】1．若函数，则下列结论正确的是（）2．关于函数有下列命题：（1）其图象关于y轴对称；（2）函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；（3）函数f(x)的最小值为；（4）函数f(x)在上单调递增；（5）函数f(x)无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是（）3．函数的最大值为______4．求函数在下列条件下的值域：(1)；(2)5．已知函数其中常数a>0．(1)证明:函数f(x)在上是减函数，在上是增函数；(2)利用(1)的结论，求函数(x∈[4，6])的值域；(3)借助(1)的结论，试指出函数的单调区间，不必证明．考向2绝对值函数【例5】【2017云南昆明下学期第二次统测】已知关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【例6】已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）B．C．D．【例7】【2018上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．【例8】【2015高考湖北卷】为实数，函数在区间上的最大值记为．当时，的值最小．【例9】函数，关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的取值范围为．【例10】【2018广东广州模拟】已知函数(1)证明：函数是偶函数；(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像（草图），并写出函数的值域；(3)在同一坐标系中画出直线，观察图像写出不等式的解集．【跟踪练习】1．【2018浙江台州模拟】函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别，则的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．12．【2018北京西城区模拟】设函数（1）如果，那么实数___；（2）如果函数有且仅有两个零点，那么实数的取值范围是___．3．设函数为常数）（1）a=2时，讨论函数的单调性；（2）若a>-2，函数的最小值为2，求a的值．考向3取整函数与程序框图【例11】【2018山西四校联考】执行图中的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为A．5B．7C．9D．12考向4取整函数与函数的周期性【例12】【2018陕西西北工业大学附中模拟】x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【例13】【2017重庆一中高三上学期一诊模拟考试】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：，则__________．【跟踪练习】1．【2018重庆铜梁一中高三上学期第一次月考】阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，在数轴上，当是整数，就是，当不是整数时，是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数．如．求的值为（）A．0B．-2C．-1D．12．【2018江苏南京模拟】函数称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数是不超过的最大整数，则函数的值域为．3．【2018福建三明模拟】对于任意，令为不大于的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数．若数列满足，且数列的前项和为，则等于．考向5取整函数与函数的零点【例14】【2018天津南开中学第三次月考】已知符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是．【例15】【2018杭州重点中学联考】已知，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是【跟踪练习】1．【2018福建省莆田模拟】在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），表示不超过的最大整数．例如：．设函数，则函数的值域为（）A．B．C．D．2．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么