三角形全等20个经典试题图形变换

-.z三角形全等20个经典试题〔图形变换〕．1.四边形ABCD是正方形〔提示：正方形四边相等，四个角都是90°〕〔1〕如图1，点G是BC边上任意一点〔不与点B、C重合〕，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：△ABF≌△DAE；〔2〕直接写出〔1〕中，线段EF与AF、BF的等量关系〔3〕①如图2，假设点G是CD边上任意一点〔不与点C、D重合〕，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是____________，线段EF与AF、BF的等量关系是___________②如图3，假设点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是__________________(4〕假设点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．2小明、小敏两人一起做数学作业，小敏把题读到如图〔1〕所示，CD⊥AB，BE⊥AC时，还没把题读完，就说：“这题一定是求证∠B=∠C，也太容易了．〞她的证法是：由CD⊥AB，BE⊥AC，得∠ADC=∠AEB=90°，公共角∠DAC=∠BAE，所以△DAC≌△EAB．由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C．小明说：“小敏你错了，你未弄清此题的条件和结论，即使有CD⊥AB，BE⊥AC，公共角∠DAC=∠BAE，你的推理也是错误的．看我画的图〔2〕，显然△DAC与△EAB是不全等的．再说此题不是要证明∠B=∠C，而是要证明BE=CD．〞〔1〕根据小敏所读的题，判断“∠B=∠C〞对吗.她的推理对吗.假设不对，请做出正确的推理．〔2〕根据小明说的，要证明BE=CD，必然是小敏丢了题中条件，请你把小敏丢的条件找回来，并根据找出的条件，你做出判断BE=CD的正确推理．〔3〕要判断三角形全等，从这个问题中你得到了什么启发.3请阅读以下材料：问题：如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点B、C、E在同一条直线上，M是线段AF的中点，连接DM，MG．探究线段DM与MG数量与位置有何关系．小聪同学的思路是：延长DM交GF于H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决以下问题：〔1〕直接写出上面问题中线段DM与MG数量与位置有何关系〔2〕将图1中的正方形CEFG绕点C顺时针旋转，使正方形CEFG对角线CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变〔如图2〕．你在〔1〕中得到的两个结论是否发生变化.写出你的猜想并加以证明．〔3〕如图3，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，写出你的猜想．4在课外小组活动时，小慧拿来一道题〔原问题〕和小东、小明交流．原问题：如图1，△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：〔1〕写出原问题中DF与EF的数量关系；〔2〕如图2，假设∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在〔1〕中得到的结论是否发生变化.请写出你的猜想并加以证明；(3〕如图3，假设∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在〔1〕中得到的结论是否发生变化.请写出你的猜想并加以证明。5阅读以下材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，探究PG与PC的位置关系小颖同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小颖同学的思路，探究并解决以下问题：〔1〕请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系；〔2〕将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变〔如图2〕．你在〔1〕中得到的结论是否发生变化.写出你的猜想并加以证明，6把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面将直角顶点叠合〞．〔1〕图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形〔结论中不含未标识的字母〕，并说明理由；〔2〕图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD、连接EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；〔3〕请你：①画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形；②写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系；③上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗.7如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．〔1〕①写出图1中的一对全等三角形；②写出图1中线段DE、AD、BE所具有的等量关系；〔不必说明理由〕〔2〕当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请说明DE=AD-BE的理由；〔3〕当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE又具有怎样的等量关系.请直接写出这个等量关系〔不必说明理由〕．8如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，∠DEF=90°，DE=EF=4．〔1〕移动△DEF，使边DE与AB重合〔如图1〕，再将△DEF沿AB所在直线向左平移，使点F落在AC上〔如图2〕，求BE的长；〔2〕将图2中的△DEF绕点A顺时针旋转，使点F落在BC上，连接AF〔如图3〕．请找出图中的全等三角形，并说明它们全等的理由．〔不再添加辅助线，不再标注其它字母〕9复习“全等三角形〞的知识时，教师布置了一道作业题：“如以下列图①，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．〞〔1〕小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．请你帮小亮完成证明．〔2〕之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ=CP〞仍然成立吗.假设成立，请你就图②给出证明．假设不成立，请说明理由．10如图1，〔1〕△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边求证：BD=CE．〔2〕拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．①求∠AEB的度数；②判断线段CM,AE，BE之间的数量关系，并说明理由11如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．〔1〕如图1，假设∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．12如图，点A，B，C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形．〔1〕求证：AE=CD；〔2〕假设M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．13如图，点C为线段AB上任意一点〔不与点A、B重合〕，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP〔1〕求证：△ACE≌△DCB；〔2〕请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由；〔3〕求证：∠APC=∠BPC。14如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连结BE。延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠BFM的度数当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F，∠B的大小是否发生变化?假设不变，请在备用图中画出图形，并直接写出∠BFM的度数，假设变化，请写出变化规律。〔1〕求证：△ABC≌△DCB；〔2〕过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．BBCADMN16如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形．求证：〔1〕∠PBA=∠PCQ=30°；〔2〕PA=PQ．AACBDPQ17数学课上，教师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．在此根底上，同学们作了进一步的研究：〔1〕小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点〞改为“点E是边BC上〔除B，C外〕的任意一点〞，其它条件不变，则结论“AE=EF〞仍然成立，你认为小颖的观点正确吗.如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；〔2〕小华提出：如图3，点E是BC的延长线上〔除C点外〕的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF〞仍然成立．你认为小华的观点正确吗.如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．AADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图318在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平