高考数学立体几何部分典型例题

./〔一1.某几何体的三视图如图<其中侧视图中的圆弧是半圆>,则该几何体的表面积为<>．A．92＋14π B.82＋14πC．92＋24π D.82＋24π命题意图：考察空间几何体的三视图,三视图为载体考察面积易错点：〔1三视图很难还原成直观图〔2公式及数据计算错误解析由三视图可知：原几何体为一个长方体上面放着半个圆柱,其中长方体的长宽高分别为5,4,4,圆柱的底面半径为2,高为5,所以该几何体的表面积为：S＝5×4＋2×4×4＋2×5×4＋π×22＋eq\f<1,2>π×2×5×2＝92＋14π.答案A2．〔本小题满分12分命题人：贺文宁如图所示,平面ABCD⊥平面BCEF,且四边形ABCD为矩形,四边形BCEF为直角梯形,BF∥CE,BC⊥CE,DC＝CE＝4,BC＝BF＝2.〔12分<1>求证：AF∥平面CDE；<2>求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；<3>求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．命题意图：线面平行的位置关系,线面角、二面角的求法易错点：〔1直接建系,不去证明三条线两两垂直〔2数据解错〔3线面角求成正弦值<1>证明法一取CE的中点为G,连接DG,FG.∵BF∥CG且BF＝CG,∴四边形BFGC为平行四边形,则BC∥FG,且BC＝FG.∵四边形ABCD为矩形,……..1分∴BC∥AD且BC＝AD,∴FG∥AD且FG＝AD,∴四边形AFGD为平行四边形,则AF∥DG.∵DG⊂平面CDE,AF⊄平面CDE,∴AF∥平面CDE.……..3分<2>解∵四边形ABCD为矩形,∴BC⊥CD,又∵平面ABCD⊥平面BCEF,且平面ABCD∩平面BCEF＝BC,BC⊥CE,∴DC⊥平面BCEF.…….4分以C为原点,CB所在直线为x轴,CE所在直线为y轴,CD所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,…….5分根据题意我们可得以下点的坐标：A<2,0,4>,B<2,0,0>,C<0,0,0>,D<0,0,4>,E<0,4,0>,F<2,2,0>,则eq\o<AD,\s\up6<→>>＝<－2,0,0>,eq\o<DE,\s\up6<→>>＝<0,4,－4>．设平面ADE的一个法向量为n1＝<x1,y1,z1>,则eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\o<AD,\s\up6<→>>·n1＝0,,\o<DE,\s\up6<→>>·n1＝0,>>∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－2x＝0,,4y1－4z1＝0,>>取z1＝1,得n1＝<0,1,1>．∵DC⊥平面BCEF.……7分∴平面BCEF的一个法向量为eq\o<CD,\s\up6<→>>＝<0,0,4>．设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为α,则cosα＝eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<\f<\o<CD,\s\up6<→>>·n1,|\o<CD,\s\up6<→>>|·|n1|>>>＝eq\f<4,4×\r<2>>＝eq\f<\r<2>,2>,因此,平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为eq\f<\r<2>,2>.…….9分<3>解根据<2>知平面ADE的一个法向量为n1＝<0,1,1>,∵eq\o<EF,\s\up6<→>>＝<2,－2,0>,∴cos〈eq\o<EF,\s\up6<→>>,n1〉＝eq\f<\o<EF,\s\up6<→>>·n1,|\o<EF,\s\up6<→>>|·|n1|>＝eq\f<－2,2\r<2>×\r<2>>＝－eq\f<1,2>,……….10分设直线EF与平面ADE所成的角为θ,则cosθ＝|sin〈eq\o<EF,\s\up6<→>>,n1〉|＝eq\f<\r<3>,2>,因此,直线EF与平面ADE所成角的余弦值为eq\f<\r<3>,2>.…….12分〔二1.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为<>．A．8－2πB．8－πC．8－eq\f<π,2>D．8－eq\f<π,4>命题意图：考察空间几何体的三视图,三视图为载体考察体积易错点：〔1三视图很难还原成直观图〔2公式及数据计算错误解析这是一个正方体切掉两个eq\f<1,4>圆柱后得到的几何体,且该几何体的高为2,V＝23－eq\f<1,2>×π×1×2＝8－π,故选B.答案B2.〔本小题满分12分命题人：贺文宁如图所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD＝NB＝1,E为BC的中点．<1>求异面直线NE与AM所成角的余弦值；<2>在线段AN上是否存在点S,使得ES⊥平面AMN？若存在,求线段AS的长；若不存在,请说明理由．命题意图：异面直线所成角；利用空间向量解决探索性问题易错点：〔1异面直线所成角容易找错〔2异面直线所成角的范围搞不清〔3利用空间向量解决探索性问题,找不到突破口解<1>如图以D为坐标原点,建立空间直角坐标系D－xyz.依题意得D<0,0,0>,A<1,0,0>,M<0,0,1>,C<0,1,0>,B<1,1,0>,N<1,1,1>,E<eq\f<1,2>,1,0>,…….1分所以eq\o<NE,\s\up12<→>>＝<－eq\f<1,2>,0,－1>,eq\o<AM,\s\up12<→>>＝<－1,0,1>．…….2分设直线NE与AM所成角为θ,则cosθ＝|cos〈Neq\o<E,\s\up12<→>>,Aeq\o<M,\s\up12<→>>〉|…….3分＝eq\f<|N\o<E,\s\up12<→>>·A\o<M,\s\up12<→>>|,|N\o<E,\s\up12<→>>|·|A\o<M,\s\up12<→>>|>＝eq\f<\f<1,2>,\f<\r<5>,2>×\r<2>>＝eq\f<\r<10>,10>.…….5分所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为eq\f<\r<10>,10>.<2>如图,假设在线段AN上存在点S,使得ES⊥平面AMN,连接AE.因为eq\o<AN,\s\up12<→>>＝<0,1,1>,可设eq\o<AS,\s\up12<→>>＝λeq\o<AN,\s\up12<→>>＝<0,λ,λ>,又eq\o<EA,\s\up12<→>>＝<eq\f<1,2>,－1,0>,所以eq\o<ES,\s\up12<→>>＝eq\o<EA,\s\up12<→>>＋eq\o<AS,\s\up12<→>>＝<eq\f<1,2>,λ－1,λ>．…….7分由ES⊥平面AMN,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\o<ES,\s\up12<→>>·\o<AM,\s\up12<→>>＝0,,\o<ES,\s\up12<→>>·\o<AN,\s\up12<→>>＝0,>>即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>＋λ＝0,,λ－1＋λ＝0,>>故λ＝eq\f<1,2>,此时eq\o<AS,\s\up12<→>>＝<0,eq\f<1,2>,eq\f<1,2>>,|eq\o<AS,\s\up12<→>>|＝eq\f<\r<2>,2>.…….10分经检验,当AS＝eq\f<\r<2>,2>时,ES⊥平面AMN.在线段AN上存在点S,使得ES⊥平面AMN,此时AS＝eq\f<\r<2>,2>.………………12分〔三1．一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为<>．A.eq\f<23,3>B.eq\f<47,6>C．6 D.7命题意图：考察空间几何体的三视图,三视图为载体考察体积易错点：〔1三视图很难还原成直观图〔2公式及数据计算错误解析如图,由三视图可知,该几何体是由棱长为2的正方体右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的,其体积为V＝2×2×2－2×eq\f<1,3>×eq\f<1,2>×1×1×1＝eq\f<23,3>.答案A2.〔本小题满分12分命题人：贺文宁如图,矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直,等腰梯形ABEF中,AB∥EF,AB＝2,AD＝AF＝1,∠BAF＝60°,O,P分别为AB,CB的中点,M为底面△OBF的重心．<1>求证：平面ADF⊥平面CBF；<2>求证：PM∥平面AFC；<3>求多面体CD－AFEB的体积V.命题意图：面面垂直,线面平行的判定,空间几何体的体积易错点：〔1判定时条件罗列不到位失分〔2求体积时不会分割<1>证明∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直,且CB⊥AB,∴CB⊥平面ABEF,…….1分又AF⊂平面ABEF,所以CB⊥AF,又AB＝2,AF＝1,∠BAF＝60°,由余弦定理知BF＝eq\r<3>,∴AF2＋BF2＝AB2,得AF⊥BF,…….2分BF∩CB＝B,∴AF⊥平面CFB,又∵AF⊂平面ADF；∴平面ADF⊥平面CBF.…….4分<2>证明连接OM延长交BF于H,则H为BF的中点,又P为CB的中点,∴PH∥CF,又∵CF⊂平面AFC,PH⊄平面AFC,∴PH∥平面AFC,…….6分连接PO,则PO∥AC,又∵AC⊂平面AFC,PO⊄平面AFC,PO∥平面AFC,PO∩PH＝P,∴平面POH∥平面AFC,…….7分又∵PM⊂平面POH,∴PM∥平面AFC.…….8分<3>解多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD的体积之和在等腰梯形ABEF中,计算得EF＝1,两底间的距离EE1＝eq\f<\r<3>,2>.所以VC－BEF＝eq\f<1,3>S△BEF×CB＝eq\f<1,3>×eq\f<1,2>×1×eq\f<\r<3>,2>×1＝eq\f<\r<3>,12>,VF－ABCD＝eq\f<1,3>S矩形ABCD×EE1＝eq\f<1,3>×2×1×eq\f<\r<3>,2>＝eq\f<\r<3>,3>,…10分所以V＝VC－BEF＋VF－ABCD＝eq\f<5\r<3>,12>.…….12分〔四1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________．命题意图：考察空间几何体的三视图,三视图为载体考察体积解析由题意可得,几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角,角的相邻三条棱长分别是1,2,2,所以几何体的体积为8－eq\f<2,3>＝eq\f<22,3>.答案eq\f<22,3>2.〔本小题满分12分命题人：贺文宁在平行四边形ABCD中,AB＝6,AD＝10,BD＝8,E是线段AD的中点．如图所示,沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D,使得平面BC′D⊥平面ABD.<1>求证：C′D⊥平面ABD；<2>求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．命题意图：空间几何体的"翻折"问题,考察学生空间想象能力和知识迁移能力易错点：把平面图形转化为空间几何体,数据错误,垂直平行关系错误<1>证明平行四边形ABCD中,AB＝6,AD＝10,BD＝8,沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D,可知C′D＝CD＝6,BC′＝BC＝10,BD＝8,…………2分即BC′2＝C′D2＋BD2∴C′D⊥BD.又∵平面BC′D⊥平面ABD,平面BC′D∩平面ABD＝BD,C′D⊂平面BC′D,∴C′D⊥平面ABD.…………4分<2>解由<1>知C′D⊥平面ABD,且CD⊥BD,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系D－xyz.则D<0,0,0>,A<8,6,0>,B<8,0,0>,C′<0,0,6>．……6分∵E是线段AD的中点,∴E<4,3,0>,eq\o<BD,\s\up12<→>>＝<－8,0,0>．…………7分在平面BEC′中,eq\o<BE,\s\up12<→>>＝<－4,3,0>,eq\o<BC′,\s\up12<→>>＝<－8,0,6>,设平面BEC′法向量为n＝<x,y,z>,∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\o<BE,\s\up12<→>>·n＝0,,\o<BC′,\