4 微分方程建模实例-Malthus模型与Logistic模型

4微分方程建模——Malthus模型与Logistic模型4.1.人口增加模型4.2.赝品的判定4.3.耐用新产品的销售速度问题4.4.传得病模型4.1人口增加模型

年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增加大体中国人口增加大体

年19081933195319641982199019952000

人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律，控制人口过快增加！模型一(最简单的人口增加模型)：假定今年的人口是x0,人口的年增加率是常数r,于是，k年后的人口为:美丽的大自然模型二(指数增加模型，即Malthus模型)：马尔萨斯(1766～1834)

Malthus，Thomas

Robert英国有名经济学家，出生于英格兰的一个土地贵族家庭.1784年进入剑桥大学学习，1798年加入英国教会的僧籍,任牧师.1799年到欧洲一些国家检查人口问题.1805年成为英国第一位(也是世界上第一位)政治经济学教授.模型假定：人口增加率r是常数.人口的数目本应取失散值，但因为人口数目一般较大，为成立微分方程模型，能够将人口数目看作连续变量，甚至赞成它为可微变量，由此惹起的偏差将是十分渺小的.模型构成：设x(t)表示t时刻的人口，有当r>0，跟着时间的增加，人口按指数规律无穷增加!回想：模型检验：比较历年的人口统计资料，能够发现人口增加的实质状况与马尔萨斯模型的预告结果基真符合.特别，利用马尔萨斯模型考证并检查1700年至1961的260年间人口实质数据，发现二者几乎完好一致！比如，1961年世界人口数为30.6亿，人口数大概每35年增加一倍.模型展望：若是人口数真能保持每35年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增加。比如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋所有变为陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只能一个人站在另一人的肩上排成二层了.故马尔萨斯模型是不完美的.Malthus模型实质上只有在集体总数不太大时才合理，当总数增大时，生物集体的各成员之间因为有限的生计空间，有限的自然资源及食品等原因，即可能发生生计竞争等现象.所以Malthus模型假定的人口净增加率不可能一直保持常数，它应当与人口数目有关.模型三(阻滞增加模型，即Logistic模型)：由荷兰生物数学家P.F.Verhust于1837年在研究人口问题时成立.鉴于这个模型能够描述一些事物的客观规律，常被称为Logistic模型.因为空间和资源都是有限的，不可能奉养无穷增加的种群个体，当种群数目过多时，因为人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增加等原因，出生率将降低而死亡率却会提高.阻滞作用随人口数目增加而变大r

是

x的减函数假定r(0)=r0：固有增加率xm：人口容量(资源、环境能容纳的最大数目)s的意义是什么？dx/dtx0xmxm/2xmtx0x0xm/2模型检验和展望：大量实验资料表示用Logistic模型描述种群的增加，成效相当不错!比如，数学家高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增加，此后增加速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r0=2.309，x0=5,xm=375的Logistic曲线：几乎完好符合.Malthus模型与Logistic模型固然都是为了研究种群数目的增加状况而成立的，但它们也可用来研究其余实质问题，只需这些实质问题的数学规律与Malthus模型与Logistic模型所反应的数学规律近似即可.阻滞增加模型从必定程度上战胜了指数增加模型的不足，能够被用来做相对较长时期的人口展望；而指数增加模型在做人口的短期展望时因为其形式的相对简单性也常被采用.总结4.2赝品的判定在第二次世界大战比利时解放后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹合谋犯.他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家汉·凡·米格伦(HanvanMeegeren)，这人曾将17世纪荷兰有名画家约翰内斯·维米尔(JohannesVermeer)的一些油画卖给了当时纳粹德国的空军司令戈林.维米尔名作《戴珍珠耳环的少女》最初，米格伦的确慌张了一阵子.但是，米格伦在同年7月12日在牢里突然宣称：他从未把真画卖给戈林，并且他还说，这些画包含当时众所周知的油画《在埃牟斯的门徒》都是他自己为“捉弄纳粹”的仿造品.一位法官试图证明米格伦确有经过制赝牟利的动机，他却高调回答：“假如我不卖个高价，他们就不会相信这是真的！”《在埃牟斯的门徒》（TheDisciplesatEmmaus）米格伦最有名的伪作之一这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个假造者，米格伦在牢狱里开始假造维米尔的油画《在埃牟斯的门徒》.旁听的公众为之疯狂，在短短的时间内，卖国贼成了民族英豪，罪名转变为盛名，1947年10月12日米格伦被宣布犯有假造罪，判刑一年.但是他在牢狱中只待了两个多月就因心脏病发生，于1947年12月30日去世了.六十年后，美国记者、专栏作家乔纳森·洛佩兹(JonathanLopez)第一版了《制造维米尔的人》(ThemanwhomadeVermeers)一书.在书中，洛佩兹表达了对那个时代荷兰人民的谅解：“荷兰人对米格伦的态度并不是不可理解.在二战中，这个国家遭受了残忍的欺侮，光复也是在盟国的帮助下达成.米格伦给了未能主宰自己命运的荷兰人内心深处想要获取的东西.而对于‘欺骗’这种事情，他又是太熟谙了.”但是，事情到此并未结束，很多人还是不肯相信有名的《在埃牟斯的门徒》是米格伦假造的.事实上，在此以前这幅画已经被文物判定家认定为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下.专家小组对于思疑者的回答是：因为米格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分烦恼，他下信心绘制《在埃牟斯的门徒》，来证明他高于三流画家.当创立出这样的杰作后，他的志气减退了.并且，当他看到这幅《在埃牟斯的门徒》那么简单卖掉此后，他在炮制此后的伪制品时就不太专心了.这种解说不可以使思疑者感觉满意，他们要求完好科学确定地证明《在埃牟斯的门徒》的确是一个假造品.这一问题拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦大学的科学家们基本解决.原理与模型出发点：测定油画中颜料矿物质的年龄.测定年龄的重点依靠于二十世纪初发现的放射性现象.放射性现象：有名物理学家卢瑟夫在二十世纪初发现，某些“放射性”元素的原子是不稳固的，在一段时间内，有必定比率的原子会自然演变形成新元素的原子，且物质的放射性正比于现存物质的原子数.用N(t)表示时刻t时存在的原子数,则：(λ为物质的衰变率)λ和N(t)能测出或算出，只需再知道N0即可断代.这正是问题的难处，下面是间接确定N0的方法.与负增长的Malthus模型完全一样其解为:称t–t0为衰变时间,于是与本问题有关的其余知识:(1)艺术家们应用白铅作为颜料之一，已有两千多年历史.白铅中含有微量的放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系.(2)衡量物质衰变的一个常用参数是它的半衰期，即给定数目的放射性原子衰变一半所需的时间.令则有:利用(3)铀238镭226铅210钋210铅206(放射性)(无放射性)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀.一方面，铀系中各种放射性物质均在不断衰减；另一方面，铀又不断衰减，补充着此后继元素.设t时刻1克白铅中铅210的含量为N(t)；设镭单位时间铅210的分解数为r(常数)；设λ为铅210的衰变率，则N(t)满足微分方程：由此解得：模型构成：若此画是真品，t-t0≈300(年).从而可求出λN0的近似值.对油画《在埃牟斯的门徒》详细计算以下：于是，因为半衰期:于是，地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀.一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，另一方面，铀又不断地衰减，补充着此后继元素.从而，各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性均衡中.从铅矿中提炼铅时，铅210与铅206一起被作为铅留下，而其余物质则有90—95%被留在矿渣里，因此打破了原有的放射性均衡.各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于3%的.与本问题有关的进一步的知识:因为提炼前岩石中的铀系是处于放射性均衡的，故铀与铅的单位时间分解数相同.设λu是铀的衰变率，λ是铅210的衰变率，U0是0时刻白铅中铀的含量，N0是0时刻白铅中铅210的含量.于是，由此计算出每克白铅中铅210每分钟分解数不可以大于30000个，不然铀的含量将超出4%，而这是不可能的.若则(个)这些铀约0.04克！即每克白铅约含0.04克铀，含量为4%.以上确定了每克白铅中铅分解数的上界，若画上的铅分解数大于该值，说明画是赝品；但若是小于不可以判定画必定是真品.4.3耐用新产品的销售速度问题一种耐用新产品进入市场后，一般会都经过一个销售量先不断增加，而后下降的过程.研究新产品销售量的变化规律,对于拟定生产计划以及拟定促销策略都很存心义.如何成立数学模型描述产品的销售速度，并由此给出一些实用的结果以指导生产？模型构成：设需求量有一个上界，记此上界为K.(对于耐用产品,人们一般不会重复购买.所以,产品的积累销售量可认为是购买者人数)记t时刻已销售出的商品数目为x(t)，则还没有使用该商品的人数为K－x(t).于是，x(t)满足此方程即Logistic模型，解为：dx/dtx0KK/2此方程即Logistic模型，解为：在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为热卖，接着销售速度将开始下降.Ktx0x0K/2此方程即Logistic模型，解为：所以早期应采纳小批量生产并加以广告宣传；从有20%用户到有80%用户这段时期，应当大量量生产；后期则应合时转产，这样做能够获得较高的经济成效.4.4传得病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制很多传得病，天花在世界范围内被消灭，鼠疫、霍乱等传得病获取控制.但是仍旧有一些传得病暴发或流行，危害人们的健康和生命.被传染的人数与哪些因素有关？如何预告传得病高潮的到来？模型一记时刻t已感染(infective)的病人数为i(t).每个病人在单位时间内传染的人数为常数.一个人生病后，持久不愈，人在传染期内不会死亡.设i(t)是连续可微函数.开始时有i0个传得病人.模型假定及符号说明：模型构成：模型检验：此模型即Malthus模型.它大概上反应了传得病流行早期的病人增加状况，在医学上有必定的参照价值；但跟着时间的推移，将愈来愈偏离实质状况.在传得病流传时期，一个病人单位时间内传染的人数应当是变化的.有必需将人群区分红病人与健康者，来成立两房室系统.在早期，较大；跟着病人的增加，健康者减少，被传染的机遇也将减少，于是就会变小.模型二(SI模型)模型假定及