第06章机械波振动波动复习

振动、波动复习一、简谐振动的振动方程kmω=弹簧振子的角频率j=t+cos()xAωTπ2mk==π21kmndxdtω22=+2x0微分形式一般形式振动的周期振动的频率振幅A

和初相

由初始条件决定A=x0ωv0+222=ωjv0x0arctg()旋转矢量A与参考方向x的夹角：相位

M点在x轴上投影点P

的运动规律：

旋转矢量xt)(cos=+ωAjAx0ωMPxω(t)+jA的长度：振幅AA的旋转角速度：A的旋转的方向：角频率ω逆时针方向单摆在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。单摆结论当时角频率、振动的周期分别为：二、简谐振动的速度和加速度Ax+=cos()tωjA+=sin()tωωjv)ωA+=cos2(ωtja简谐振动的位置简谐振动的加速度简谐振动的速度三、

简谐振动的能量动能：势能：机械能：三、

简谐振动的能量动能：势能：机械能：应用2.已知初始条件和振动频率（周期），求振动方程，并作出振动曲线。3.已知振动曲线，求振动方程。1.已知振动方程，求振动周期、振动初相和任意时刻的位置、相位、振动速度、加速度等。4.证明某种物体作简谐振动，并根据初始条件写出振动方程。四、振动的合成——同方向同频率振动的合成物体同时参与两分振动：cosx222=+A()tjωcosx111=+A()tjω合成后仍为一谐振动：=+xx12x=cosω+A()tj=

若2k12πjj合振动加强12=AAA+(2k+1)12=π若jj合振动减弱12=AAA一般情况：=

若2k12πjj合振动加强12=AAA+(2k+1)12=π若jj合振动减弱12=AAA五、波动波源和媒质1.产生机械波的条件2.机械波的分类横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行=Tuln=ul1=Tn3.周期、频率、波长、波速之间的关系频率和周期只决定于波源，和媒质无关。六、波动方程1、写出波源的振动方程：ωcosy0=tAj+)(xxuyoB2、写出波动方程：正向传播=tωcosyxuA)(j+反向传播x=tωcosyuA)(j+波动方程的其他形式：txTA=cosπ()2lj+ykx=Acostω)(j+ytxA=cosπ()2lj+ny表示x1

处质点的振动方程1）.=x1(常数)x3、波函数的物理意义uyAωxt=cos)(1j+yto=tωcosyxuA)(j+表示在时刻的波形t1tt=(常数)12）.=txAωcos()1uyj+yxoytOxx=+uΔt´3.

t

与x都发生变化y1x.yutx´.

这表示相应于位移y1的相位，向前传播了uΔt的距离。任意两点间的位相差：x2xuyoBx1AuyAωxt=cos)(1j+AuyAωxt=cos)(2j+B应用1.已知波动方程，求振幅、周期、频率、波长以及波传播路径上各点的振动速度、相位、运动方向等量。2.已知波传播路径上某点的振动曲线（或振动方程）以及波长（或波速），求波动方程。3.

已知某时刻的波形图和波速，求波动方程。七、波的干涉

相干波源：若有两个波源，它们的振动波源振动方程:1**2ssr11ry22Py.ωt=y111Acos)(+Sjcosω=+ty222A)(Sj方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两波源为相干波源。P点振动方程:rπω+t=y211Acos)(11jlπωyt2+r=2222cos)A(jlrr=222π11(ΔΦ)jjlωcosyp=tAj+)(2AAAAcosΦΔ=2++22211AP点的合振动方程:1**2ssr11ry22Py.rr=222π11(ΔΦ)jjlωcosyp=tAj+)(2AAAAcosΦΔ=2++22211AP点的合振动方程:1**2ssr11ry22Py.πππ111Acoscossinsin=+2πrr()))(((211tg222AAA221rr)+222lllljjjjj)22ΦΔ=πrr(1l波程差2rr1=kl±波程差r2()r12k2=+1l±——干涉加强AAA=+21——干涉减弱AAA=21+2k(1)π=±)22ΦΔ=πrr(1l若π2k=±)22ΦΔ=πrr(1l若=12若：则有：jj例题分析例1.已知一质点（m=20kg）的振动方程为求：1.振幅、周期、频率和初相；2.t=0.2s时质点的位置、速度和质点所受合力；3.t=0.1s时质点的相位、振动动能、势能和总能量。

解：1.t=0.2s

时加速度合力例1.已知一质点（m=20kg）的振动方程为求：1.振幅、周期、频率和初相；2.t=0.2s时质点的位置、速度和质点所受合力；3.t=0.1s时质点的相位、振动动能、势能和总能量。t=0.1s

时例1.已知一质点（m=20kg）的振动方程为求：1.振幅、周期、频率和初相；2.t=0.2s时质点的位置、速度和质点所受合力；3.t=0.1s时质点的相位、振动动能、势能和总能量。例2.一质点作简谐振动，振幅A=5cm,初始时刻质点处于平衡位置并向正方向运动，经0.25s

后，质点第一次回到平衡位置，试写出质点的振动方程，并作出振动曲线。xt=0t=0.25s解：由图知，初相圆频率振动方程xt(s)x0.250.50t=0例3.已知一质点作简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该质点的振动方程。10-10-5x(cm)t(s)1解：-5-10x(cm)由图知振动方程例4.如图所示，两轻弹簧与小球串联在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A、B之间，整个系统放在光滑水平面上。设弹簧原长分别为l1、l2，劲度系数为k1、k2，A、B间距离为L，小球质量为m。mk1k2ABL（1）试确定小球的平衡位置；（2）使小球沿弹簧长度方向微移后放手，试证小球将作简谐振动，并求振动周期。已知k1、k2、

l1、l2、L、m（1）试确定小球的平衡位置；mk1k2ABLxOl1l2x0f1f2解：平衡时其中（2）使小球沿弹簧长度方向微移后放手，试证小球将作简谐振动，并求振动周期。mk1k2ABLxOl1l2x0xOxmk1k2ABLl1l2Δl2Δl1f’1f’2由于设平衡时连弹簧的伸长量分别为Δl1和Δl2所以小球作简谐振动圆频率周期例：下表中、为两分振动，为它们的合振动。根据振动的合成与分解填写下表例5.

两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的周相差为π/6，若第一个简谐振动的振幅为则第二个简谐振动的振幅为

cm，第一、二两个谐振动的周相差为

。解：用旋转矢量法解A1A2A=20cmπ/610例5.

两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的周相差为π/6，若第一个简谐振动的振幅为则第二个简谐振动的振幅为

cm，第一、二两个谐振动的周相差为

。10A1A2A=20cmπ/6例6.已知波源在原点的平面简谐波的方程为式中A、B、C

为正值恒量。试求：（1）波的振幅、频率、周期、波速与波长；（2）写出传播方向上距离波源l

处一点的振动方程；（3）试求任何时刻，在波的传播方向上相距为

D的两点的周相差；txA=cosπ()2lj+ny振幅=A解：例6.已知波源在原点的平面简谐波的方程为式中A、B、C

为正值恒量。试求：（1）波的振幅、频率、周期、波速与波长；（2）写出传播方向上距离波源l处一点的振动方程；（3）试求任何时刻，在波的传播方向上相距为

D

的两点的周相差；距离波源l

处,x=l,该点的振动方程为解：例6.已知波源在原点的平面简谐波的方程为式中A、B、C

为正值恒量。试求：（1）波的振幅、频率、周期、波速与波长；（2）写出传播方向上距离波源l处一点的振动方程；（3）试求任何时刻，在波的传播方向上相距为

D的两点的周相差；解：例7.

一简谐波沿OX

轴负向传播，波长为4m，周期为4s。已知x=2m

处质点的振动曲线如图所示。（1）写出x=2m

处质点的振动方程；（2）写出波动方程；（3）画出t=1s

时的波形曲线；解：振动方程t/sy/10-2myA/2ω例7.

一简谐波沿OX

轴负向传播，波长为4m，周期为4s。已知x=2m

处质点的振动曲线如图所示。（1）写出x=2m

处质点的振动方程；（2）写出波动方程；（3）画出t=1s

时的波形曲线；以x=2m处为波源的波动方程:原点处x’=-2m的振动方程波动方程解：例7.

一简谐波沿OX

轴负向传播，波长为4m，周期为4s。已知x=2m

处质点的振动曲线如图所示。（1）写出x=2m

处质点的振动方程；（2）写出波动方程；（3）画出t=1s

时的波形曲线；解：波动方程t=1s时例8.已知一以速率u=300m/s

沿

x

轴负向传播的简谐波在t=0.1s

时的波形图如图所示。试写