线性系统的频率分析法详解演示文稿

线性系统的频率分析法详解演示文稿现在是1页\一共有78页\编辑于星期三（优选）线性系统的频率分析法现在是2页\一共有78页\编辑于星期三幅频特性：稳态输出与输入振幅之比，即：相频特性：稳态输出与输入相位之差，即：G(jω)：包含了幅频特性和相频特性，故称其为幅相频率特性表达式。频率特性现在是3页\一共有78页\编辑于星期三三、频率特性的求取根据定义求取：根据传递函数求取：1）极坐标形式：2）直角坐标形式：3）两种坐标间转换：二、频率特性的表示形式现在是4页\一共有78页\编辑于星期三例如：求右图的频率特性微分方程：传递函数：令s=jω代入传递函数得频率特性：

频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。现在是5页\一共有78页\编辑于星期三系统传递函数微分方程频率特性微分方程、传递函数、频率特性之间的关系：现在是6页\一共有78页\编辑于星期三四、频率特性的几何表示法常用频率特性的三种表示法：1)幅相频率特性曲线（又称：幅相曲线、奈奎斯特图（Nyquist）、极坐标图）2)对数频率特性曲线（又称：伯德图(Bode)）频率对数分度,幅值/相角线性分度3)对数幅相曲线（又称：尼科尔斯曲线、Nichols）以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L(ω)—(ω)图请重点掌握前面两种！现在是7页\一共有78页\编辑于星期三1、幅相频率特性曲线（又叫奈奎斯特图）手工绘制：以横轴为实轴，纵轴为虚轴，构成复平面，取几个特殊值时的幅值和相角，然后根据G(jω)随ω值的变化的趋势画出幅相曲线的大概形状。注：1）参变量ω在复平面上并不出现，只用箭头表示ω增大时幅相曲线的变化方向。2）通常只画ω从0到∞的幅相曲线，而ω从0到-∞的幅相曲线与前者关于实轴对称。实轴正方向相角零度线，逆时针正角度，顺时针负角度现在是8页\一共有78页\编辑于星期三例如：的（幅相曲线）奈氏图：2）取三个特殊点：1）频率特性：3）画出幅相曲线：现在是9页\一共有78页\编辑于星期三 1）对数频率特性曲线的横坐标： 标记ω，按lgω对数分度，单位是弧度/秒（rad/s）； 2）对数幅频特性曲线的纵坐标：

以L(ω)=20lgA(ω)线性分度，单位是分贝（dB）； 3）对数相频特性曲线的纵坐标：

按φ(ω)线性分度，单位是度（o）。2、对数频率特性曲线（又叫伯德图Bode）包含：对数幅频特性和对数相频特性两条曲线现在是10页\一共有78页\编辑于星期三对数幅频特性对数相频特性十倍频程dec对数分度：当变量每增大或减小10倍（10倍频程），坐标距离变化一个单位长度十倍频程dec现在是11页\一共有78页\编辑于星期三1）横轴按ω的对数lgω标尺分度，但标出的是ω本身的数值，即刻度不均匀；2）横轴压缩了高频段，扩展了低频段；3）在ω轴上，十倍频程的长度相等；4）可以将幅值的乘除化为加减L(ω)=20lgA(ω)

；5）满足直线方程：斜率k对数频率特性曲线的特点：现在是12页\一共有78页\编辑于星期三例如：的（对数频率特性曲线）伯德图2）对数频率特性：1）频率特性：3）画出伯德图：现在是13页\一共有78页\编辑于星期三最小相位环节和非最小相位环节的区别：最小相位环节：K>0,开环零极点在s左半平面；非最小相位环节：K<0开环零极点在s右半平面；传递函数可以分解为典型环节的串联：五、典型环节的分解最小相位环节：现在是14页\一共有78页\编辑于星期三1、比例环节传递函数：频率特性：相频：幅频： 比例环节是复平面实轴上的一个点，它到原点的距离为K。一、典型环节幅相曲线（Nyquist）的绘制相频范围：0o~

0o5.2控制系统开环频率特性现在是15页\一共有78页\编辑于星期三传递函数：频率特性：相频：幅频：2、积分环节由于是常数，而随ω增大而减小。因此，积分环节是一条与虚轴负段相重合的直线。相频范围：-90o~-90o箭头表示ω增大时辐相曲线的变化方向现在是16页\一共有78页\编辑于星期三传递函数：频率特性：相频：幅频：3、微分环节由于是常数，而随ω增大而增大。因此，微分环节是一条与虚轴正段相重合的直线。相频范围：90o~

90o箭头表示ω增大时辐相曲线的变化方向现在是17页\一共有78页\编辑于星期三4、惯性环节传递函数：频率特性：幅频：相频：随着频率ω=0→∞变化，惯性环节的幅值逐步衰减，最终趋于0。相角的绝对值越来越大，但最终不会大于90°，其极坐标图为一个半圆。相频范围：0o~-90o现在是18页\一共有78页\编辑于星期三5、一阶微分环节传递函数：频率特性：幅频：相频：当ω从零变化到无穷时，相频从0°变化+90°，其幅相频率特性是通过（1，0）点，且平行于正虚轴的一条直线相频范围：0o~90o现在是19页\一共有78页\编辑于星期三6、振荡环节传递函数：频率特性：幅频：相频：现在是20页\一共有78页\编辑于星期三当ω=0时，A(0)=1,;当ω=ωn时，A(ωn)=1/2ζ，；当ω=∞时，A(∞)=0，；现在是21页\一共有78页\编辑于星期三结论：当ζ>0.707,没有峰值，A(ω)单调衰减；当ζ=0.707,Mr=1,ωr=0,恰为Nyquist的起点；当ζ<0.707,Mr>1,ωr>0,ζ减小则Mr,ωr增大。相频范围：0o~-180o谐振峰值：现在是22页\一共有78页\编辑于星期三幅频特性：组成系统的各典型环节的

幅频特性之乘积。相频特性：组成系统的各典型环节的

相频特性之代数和。开环传递函数可看作各典型环节的串联，则：二、开环幅相曲线的绘制现在是23页\一共有78页\编辑于星期三2）补充必要的特征点(如与实轴的交点)：

3）根据A(ω)和(ω)确定变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。绘制开环幅相曲线的步骤：三个要素P1751）起点和终点：求：

A(0+)和(0+)；A(∞)和(∞)；现在是24页\一共有78页\编辑于星期三1、极坐标图的起点：ω=0+时G(j0+)的位置0型：Ⅰ型及以上：结论：系统开环传函：极坐标图的起点位置与系统的型有关，不同时，起点位置如图所示：现在是25页\一共有78页\编辑于星期三极坐标图的终点：ω=∞时G(j∞)时的位置结论：系统开环传函：极坐标图的终点趋于坐标原点，只是入射角不同，由分子分母的阶次之差（n-m）决定，终点位置如图所示：n，m分别为分母，分子的最高介次现在是26页\一共有78页\编辑于星期三2、极坐标图与实轴的交点：令虚部为零，解得ωx，再将ωx代入Re[G(jω)]，即与实轴的交点3、开环幅相曲线的变化范围（单调性、象限）：典型环节角度变化范围幅值变化范围比例0o~0oK积分-90o~-90o∞0微分90o~90o

0∞惯性0o~-90o10一阶微分0o~90o

1∞振荡0o~-180o二阶微分0o~180o现在是27页\一共有78页\编辑于星期三例5-1：1）起点：终点：解：ω增大时，A(ω)单调减小的，极坐标如图所示：利用上述三点，可以定性的作出极坐标图。现在是28页\一共有78页\编辑于星期三例5-2：起点：终点：解：与实轴的交点：令虚部为零得：现在是29页\一共有78页\编辑于星期三例5-3：起点：终点：解：与实轴的交点：令虚部为零得：现在是30页\一共有78页\编辑于星期三分情况讨论：令虚部为零得：含有一阶微分，有凹凸现象现在是31页\一共有78页\编辑于星期三1、熟练掌握由系统开环传递函数绘制对数频率特性曲线（开环伯德图）；2、熟练掌握由已知开环对数幅频特性曲线求出系统开环传递函数的方法。三、开环对数频率特性曲线现在是32页\一共有78页\编辑于星期三(一)典型环节对数频率特性曲线Bode的绘制1、比例环节：对数幅频：对数相频：现在是33页\一共有78页\编辑于星期三

2、积分环节：对数幅频：对数相频：现在是34页\一共有78页\编辑于星期三

3、微分环节：对数幅频：对数相频：现在是35页\一共有78页\编辑于星期三4、惯性环节：对数幅频：对数相频：讨论：当ω<<1/T时：当ω>>1/T时：即：惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似，零分贝线和斜率为-20dB/dec的直线，两直线相交于ω=1/T（转折频率）处。现在是36页\一共有78页\编辑于星期三当ω=1/T时：有最大误差：现在是37页\一共有78页\编辑于星期三5、一阶微分：对数幅频：对数相频：讨论：当ω<<1/T时：当ω>>1/T时：即：一阶微分环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似，零分贝线和斜率为20dB/dec的直线，两直线相交于ω=1/T（转折频率）处。现在是38页\一共有78页\编辑于星期三当ω=1/T时：有最大误差：现在是39页\一共有78页\编辑于星期三惯性和一阶微分：频率特性互为倒数时： 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称； 相频特性曲线关于零度线对称。一阶微分惯性现在是40页\一共有78页\编辑于星期三6、振荡环节：对数幅频：对数相频：讨论：当ω<<ωn时：当ω>>ωn时：即：振荡环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似，零分贝线和斜率为-40dB/dec的直线，两直线相交于ω=ωn（转折频率）处。现在是41页\一共有78页\编辑于星期三现在是42页\一共有78页\编辑于星期三振荡环节和二阶微分环节：频率特性互为倒数时： 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称； 对数相频特性曲线关于零度线对称。系统的开环对数幅频特性L(ω)等于各个串联环节对数幅频特性之和；系统的开环相频特性等于各个环节相频特性之和。系统的开环对数频率特性：现在是43页\一共有78页\编辑于星期三四、开环对数频率特性曲线的绘制一、开环系统Bode图的绘制： 将系统开环传递函数分解为典型环节乘积的形式，包括如下几部分：1）K/sv；2）一阶：惯性、一阶微分，交接频率1/T；3）二阶：振荡、二阶微分，交接频率ωn。最小相位系统：幅频特性与相频特性具有一一对应关系；而非最小相位系统就没有这样的关系现在是44页\一共有78页\编辑于星期三开环系统Bode图的绘制步骤：P183

1）典型环节分解；2）将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上；3）绘制低频（ω<ωmin）渐近线： 斜率由K/s决定为：-20dB/dec 确定低频渐近线上的一个点：三种方法：

①在直线上任取一点ω0(ω0<ωmin

)，则：现在是45页\一共有78页\编辑于星期三②取特殊点ω0=1，则：③取特殊点，则：4）作ωωmin频段的渐近线： 在交接频率处斜率发生变化，依据典型环节的斜率，两个交接频率之间为直线；交接频率处斜率发生变化，取决于该交接频率对应的典型环节的种类；5）如需要可进行修正获得精确图形。现在是46页\一共有78页\编辑于星期三例1：试绘制以下传递函数的对数幅频曲线解：1）首先把开环传函写为标准形式：2）低频渐近线：斜率为-20dB/dec，取点：ω=1，则：现在是47页\一共有78页\编辑于星期三3）转折频率以及斜率变化值：4）在半对数坐标纸上绘制对数幅频特性曲线如下图所示：现在是48页\一共有78页\编辑于星期三对数坐标系现在是49页\一共有78页\编辑于星期三例3：已知最小相位开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。试写出系统的开环传递函数。绘制相应的对数相频特性图。

二、由开环Bode图求系统开环传递函数：现在是50页\一共有78页\编辑于星期三解：（1）由图可知在频率ω=6之前，对数幅频特性斜率为-20dB/dec，含有一个积分环节：（2）（3）图中ω=6频段上，对数幅频特性斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，这意味着在ω=6出现了惯性环节，T1=1/ω1=1/6是惯性环节的时间常数现在是51页\一共有78页\编辑于星期三（4）图中ω=8~20频段上，对数幅频特性斜率由原来的-40dB/dec变为-20dB/dec，即出现了一阶微分环节，T2=1/ω2=1/8：（5）图中ω=20~60频段上，对数幅频特性斜率由原来的-20dB/dec变为0dB/dec，即出现了一阶微分环节，T3=1/ω3=1/20：（5）图中ω=60以后频段上，对数幅频特性斜率由原来的0dB/dec变为-40dB/dec，即出现了振荡或两个惯性：现在是52页\一共有78页\编辑于星期三由图知，没有发生突变，可看作两个惯性环节：T4=1/ω4=1/60因此，系统开环传递函数为：现在是53页\一共有78页\编辑于星期三1、掌握Nyquist稳定判据在极坐标图及对数频率特性图中的应用2、掌握频域稳定裕度的定义5.4频率域稳定判据现在是54页\一共有78页\编辑于星期三一、奈奎斯特稳定判据频域稳定判据的特点：利用开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性P：右半平面开环极点个数Z：右半平面闭环极点个数N：奈氏曲线的穿越（-1,j0）点左侧的次数现在是55页\一共有78页\编辑于星期三在（-1,j0）点左侧奈氏曲线的穿越次数N的确定：N+：正穿越，从上往下穿越，也即：逆时针穿越，相角增大的穿越；N-：负穿越，从下往上穿越，也即：顺时针穿越，相角减小的穿越；现在是56页\一共有78页\编辑于星期三现在是57页\一共有78页\编辑于星期三奈氏稳定判据：P189

闭环系统稳定的充要条件是Z=0，即：半闭合曲线不穿过临界点（-1,j0）且逆时针包围（-1,j0）点的圈数R等于开环传递函数正实部根的个数P。P：右半平面开环极点个数Z：右半平面闭环极点个数N：奈氏曲线的穿越（-1,j0）点左侧的次数现在是58页\一共有78页\编辑于星期三1、开环系统不含积分环节时：所以系统是闭环稳定的。例如：现在是59页\一共有78页\编辑于星期三2、开环系统含有积分： 当虚轴上存在开环极点，开环系统处于临界稳定，不能直接用奈氏判据，要在数学上作如下处理：在s平面上s=0或s=jω的邻域内作一个半径为无穷小的半圆，映射到G(jω)平面上即为半径为无穷大的圆弧，现在是60页\一共有78页\编辑于星期三应用奈氏判据前先要进行修正：含有个积分环节：应先在开环极坐标图的起点ω=0+处，补作一个半径为无穷大，逆时针旋转90o的大圆弧增补线，并视为奈氏曲线的一部分；然后，再用奈氏判据判断稳定性。现在是61页\一共有78页\编辑于星期三例2设单位反馈系统，其开环传递函数试用奈氏判据判断系统稳定性。解：开环幅相大致曲线如图所示曲线穿越（-1，j0）点左侧的次数：N=0-1=-1，P=0，

Z=P-2N=2。闭环系统不稳定，有2个右半平面的闭环极点现在是62页\一共有78页\编辑于星期三奈氏判据的应用：确定系统可变参数的取值范围练习：设系统开环传递函数为： 为使得闭环系统稳定，请用奈氏判据求出Kp的取值范围。解：大致幅相曲线为：奈氏判据：闭环系统稳定，即：又：Z=P-2N，其中P=0，所以N=即：幅相曲线与实轴交点在（-1，j0）右侧Z=00现在是63页\一共有78页\编辑于星期三开环频率特性：实频特性：虚频特性：解得：现在是64页\一共有78页\编辑于星期三二、对数频率稳定判据Ngquist图和Bode图的对应的关系１．单位圆与０分贝线对应，单位圆外,２．ＧＨ平面上的负实轴与的－180°线对应．现在是65页\一共有78页\编辑于星期三采用Bode图的Ngquist判据：闭环系统稳定的充要条件是，当由０变到时，在的频段内，曲线穿越线的次数（正穿越与负穿越次数之差)为，Ｐ为Ｓ右半平面的开环极点个数．用伯德图判别系统的稳定性解：①作系统伯德图②因为在的频段内，相频特性 不穿越线．按照乃氏稳定判据系统是稳定的．现在是66页\一共有78页\编辑于星期三-110j 假设系统开环在s右半平面无极点，其开环幅相曲线如图所示：请问1：闭环系统的稳定性？-110j-110j稳定临界稳定不稳定相对稳定性由于系统中存在各种不确定性因素，对于任何一个实际的工程控制系统，仅仅指出该系统是否稳定是不够的，还要给出系统的稳定程度（或相对稳定性）：即系统离稳定边界的程度或“距离”。稳定度越大，抗干扰的能力越强。现在是67页\一共有78页\编辑于星期三5.5稳定裕度表征系统稳定程度的指标：相角裕度和幅值裕度相角裕度γP194含义:对闭环稳定的系统，若开环相频特性再滞后γ度，则系统处于临界稳定状态。现在是68页\一共有78页\编辑于星期三幅值裕度hP193含义：对于闭环稳定系统，若开环幅频特性再增大h倍，则系统就会处于临界稳定状态。现在是69页\一共有78页\编辑于星期三结论：对于最小相位系统，若相角裕度>0（通常为：30o~70o）且幅值裕度h>1(h>0dB)（通常h>6dB），则系统闭环稳定；这些值越大稳定程度越好。否则系统闭环不稳定。稳定裕度的含义： 对闭环稳定的系统，若开环相频特性再滞后γ度，则系统处于临界稳定状态，或者开环幅频特性再增大h倍，系统处于临界稳定