空间距离及其计算折叠问题

新课标高中一轮总复习1现在是1页\一共有49页\编辑于星期四第九单元直线、平面、简单几何体和空间向量2现在是2页\一共有49页\编辑于星期四第66讲空间距离及其计算、折叠问题3现在是3页\一共有49页\编辑于星期四1.了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法.2.能熟练地将直线与平面之间的距离，两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离.3.了解折叠问题的基本内涵，掌握分析求解折叠问题的基本原则.4现在是4页\一共有49页\编辑于星期四1.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=a,AA1=2a,则点A到直线A1C的距离为()CA.aB.aC.aD.a5现在是5页\一共有49页\编辑于星期四如图，点A到直线A1C的距离，即为Rt△A1AC斜边上的高AE.由AB=BC=a,得AC=a.又AA1=2a,所以A1C=a,所以AE==a.6现在是6页\一共有49页\编辑于星期四2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为()BA.B.C.D.取BC的中点M，连接AM、A1M，可证平面A1AM⊥平面A1BC.作AH⊥A1M，垂足为H,则AH⊥平面A1BC.在Rt△A1AM中，AA1=1，AM=,A1M=2,故AH=.7现在是7页\一共有49页\编辑于星期四3.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,E、F分别是B1C1、BB1的中点，则：(1)直线EF与CD间的距离为

;(2)直线EF与平面D1AC1的距离是

;(3)平面AB1D1与平面C1BD间的距离是

.aaa8现在是8页\一共有49页\编辑于星期四

(1)取EF的中点G，连接CG，则CG为异面直线EF与CD的公垂线段，且CG=a.(2)易知EF∥平面D1AC1.过E作EH⊥BC1于H.因为D1C1⊥平面BB1C1C，所以D1C1⊥EH,故EH⊥平面D1AC1，从而EF与平面D1AC1的距离为EH=a.(3)因为平面AB1D1∥平面C1BD,连接A1C,设A1C分别与平面AB1D1和平面C1BD交于O1、O2,则O1O2为所求距离,且O1O2=A1C=a.9现在是9页\一共有49页\编辑于星期四4.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列命题中正确的是()DA.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BCDD.平面ADC⊥平面ABC10现在是10页\一共有49页\编辑于星期四由已知BA⊥AD,CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.从而CD⊥AB,又BA⊥AD,故AB⊥平面ADC.又AB平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.11现在是11页\一共有49页\编辑于星期四一、空间距离1.两点间的距离:连接两点的①

的长度.2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，②

的长度.3.点到平面的距离：自点向平面引垂线，③

的长度.4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线,④.

的长度.线段点到垂足之间线段点到垂足间线段到垂足间线段点12现在是12页\一共有49页\编辑于星期四5.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的⑤

的长度.6.直线与平面间的距离:如果一条直线和一个平面平行,从这条直线上任意一点向平面引垂线,⑥

的长度.7.两平行平面间的距离：夹在两平行平面之间的⑦

的长度.线段这点到垂足间线段公垂线段13现在是13页\一共有49页\编辑于星期四二、求距离的一般方法与步骤1.两点间距离、点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题，可用⑧

求解.2.平行直线与平面间的距离、平行平面间的距离可归结为求⑨

的距离.3.求距离的基本步骤是：(ⅰ)找出或作出有关距离的图形；(ⅱ)证明它符合定义；(ⅲ)在平面图形内计算.平面几何方法点面间14现在是14页\一共有49页\编辑于星期四三、折叠问题1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题.2.折叠问题分析求解原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持⑩

.不变15现在是15页\一共有49页\编辑于星期四例1题型一点面距离和线面距离及求法如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB=BC=AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a，点F在AD上，且CF⊥PC.

(1)求点A到平面PCF的距离；(2)求AD与平面PBC间的距离.16现在是16页\一共有49页\编辑于星期四

（1）通过论证平面PAC⊥平面PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的长.（2）由于AD∥平面PBC，可考虑依据问题情境在AD上选择具备特殊位置的点A，然后推理过A点的平面PAD⊥平面PBC，找到过点A的垂线.17现在是17页\一共有49页\编辑于星期四

(方法一)(1)连接AC.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CF.又CF⊥PC，PA∩PC=P，所以CF⊥平面PAC，所以平面PFC⊥平面PAC.过点A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF，即AH为点A到平面PCF的距离.由已知AB=BC=a，所以AC=a,PC=a.在Rt△PAC中，得AH=a.18现在是18页\一共有49页\编辑于星期四(2)因为BC∥AD，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.过A作AE⊥PB于E，又AE⊥BC,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,所以AE的长度即为所求的距离.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a,所以AE=a.19现在是19页\一共有49页\编辑于星期四（方法二）(1)建立空间直角坐标系，如图.则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,y,0).则=(-a,y-a,0),=(-a,-a,a).因为PC⊥CF,所以⊥，所以·=(-a)·(-a)+(-a)·(y-a)+0·a=a2-a(y-a)=0.20现在是20页\一共有49页\编辑于星期四所以y=2a，即F(0,2a,0).设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),

n·=-ax+ay=0x=y

n·=-ax-ay+az=0z=2x.取x=1，得n=(1,1,2).设点A到平面PCF的距离为d,=(a,a,0),则d===a.则，解得21现在是21页\一共有49页\编辑于星期四(2)由于=(-a,0,a),=(0,a,0),=(0,0,a).设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0)，n1·

=-ax0+az0=0x0=z0

n1·=ay0=0y0=0.取x0=1，得n1=(1,0,1).设点A到平面PBC的距离为h，因为AD∥平面PBC，所以h为AD到平面PBC的距离，h===a.由，得22现在是22页\一共有49页\编辑于星期四线面距离、面面距离通常情况下化归为点面距离求解，求空间点面距离，若利用传统构造法，关键是“找射影”，一般是应用垂面法求射影.若利用向量法，建系和求平面法向量是关键.23现在是23页\一共有49页\编辑于星期四如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2，AB=1，∠ABC=90°.点D、E分别在BB1、A1D上，且B1E⊥A1D，四棱锥C—ABDA1与直三棱柱的体积之比为3∶5.求异面直线DE与B1C1的距离.24现在是24页\一共有49页\编辑于星期四因为B1C1⊥A1B1，且B1C1⊥BB1，A1B1∩BB1=B1，故B1C1⊥平面A1ABB1，从而B1C1⊥B1E.又B1E⊥DE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线段.设BD的长为x，则四棱锥C—ABDA1的体积为V1=S四边形ABDA1·BC=(DB+A1A)·AB·BC=(x+2)·BC.25现在是25页\一共有49页\编辑于星期四而直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V2=S△ABC·AA1=AB·BC·AA1=BC.由已知条件V1∶V2=3∶5,故(x+2)=,解得x=.从而B1D=B1B-DB=.在Rt△A1B1D中，A1D=

==.又因为S△A1B1D=A1D·B1E=A1B1·B1D,故B1E==.26现在是26页\一共有49页\编辑于星期四例2题型二折叠问题在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=AB=a(如图①），将△ADC沿AC折起，使D到D′，记平面ACD′为α，平面ABC为β，平面BCD′为γ（如图②）.27现在是27页\一共有49页\编辑于星期四（1）若二面角α-AC-β为直二面角，求二面角β-BC-γ的大小；（2）若二面角α-AC-β为60°，求三棱锥D′-ABC的体积.28现在是28页\一共有49页\编辑于星期四(1)在直角梯形ABCD中，由已知△DAC为等腰直角三角形，所以AC=a,CAB=45°.过点C作CH⊥AB,由AB=2a，可推得AC=BC=a，所以AC⊥BC.取AC的中点E，连接D′E，则D′E⊥AC.又二面角α-AC-β为直二面角,所以D′E⊥β.29现在是29页\一共有49页\编辑于星期四又因为BC平面β，所以BC⊥D′E，所以BC⊥α.而D′Cα，所以BC⊥D′C，所以∠D′CA为二面角β-BC-γ的平面角.由于∠D′CA=45°，所以二面角β-BC-γ的大小为45°.30现在是30页\一共有49页\编辑于星期四(2)取AC的中点E，连接D′E，再过点D′作D′O⊥β，垂足为O，连接OE.因为AC⊥D′E，所以AC⊥OE，所以∠D′EO是二面角α-AC-β的平面角，所以∠D′EO=60°.在Rt△D′OE中，D′E=AC=a，D′O=sin60°·D′E=a，所VD′-ABC=·S△ABC·D′O=×·AC·BC·D′O,=·a·a·a=a3.31现在是31页\一共有49页\编辑于星期四分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系，在求解过程中充分利用不变量和不变关系.32现在是32页\一共有49页\编辑于星期四如图，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形（如图①）.将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图②).(1)证明：AC⊥BO1；(2)求二面角O—AC—O1的正弦值.33现在是33页\一共有49页\编辑于星期四

（方法一）（1）证明：由题设知，OA⊥OO1，OB⊥OO1,所以∠AOB

是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.从而AO⊥平面OBCO1.OC是AC在面OBCO1内的射影.因为tan∠OO1B==,tan∠O1OC==,所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°,从而OC⊥BO1，由线面垂直得AC⊥BO1.34现在是34页\一共有49页\编辑于星期四(2)由(1)知,AC⊥BO1,OC⊥BO1,知BO1⊥平面AOC.设OC∩O1B=E,过点E作EF⊥AC于F,连接O1F,则EF是O1F在平面AOC内的射影.由线面垂直得AC⊥O1F，所以∠O1FE是二面角O-AC-O1的平面角.由已知，OA=3，OO1=，O1C=1，所以O1A=

=2,AC==，从而O1F==.又O1E=OO1·sin30°=,所以sin∠O1FE==.35现在是35页\一共有49页\编辑于星期四(方法二)(1)证明:由题设知OA⊥OO1,OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如右图.则相关各点的坐标是A(3,0,0),B(0,3,0)，C(0,1,)，O1(0,0,).从而=(-3,1,),=(0,-3,),故·=-3+×=0，所以AC⊥BO1.36现在是36页\一共有49页\编辑于星期四(2)因为·=-3+×=0,所以BO1⊥OC.由(1)知AC⊥BO1，AC∩OC=C，所以BO1⊥平面OAC，所以是平面OAC的一个法向量.设n=(x,y,z)是平面O1AC的一个法向量，

n·=0-3x+y+z=0

n·=0y=0，由，得37现在是37页\一共有49页\编辑于星期四取z=,得n=(1,0,).设二面角O—AC—O1的大小为θ，由n、的方向可知θ=〈n,〉，所以cosθ=cos〈n，〉===，则sinθ=.即二面角O—AC—O1的正弦值为.38现在是38页\一共有49页\编辑于星期四1.对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到直线、点到平面的距离.点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面的距离也可以用等体积法.2.求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算.其中第二步证明易被忽略，应当引起重视.39现在是39页\一共有49页\编辑于星期四3.在求距离时，要注意各种距离的转化；在选择求距离的方法时，也要灵活.一般来说，空间关系在不太复杂的情况下使用传统方法，而在距离不好作、空间关系较复杂的条件下可用等积法.4.将平面图形折叠，使形成立体图形，通过对折叠问题的研究进一步树立空间概念，提高空间想象能力.40现在是40页\一共有49页\编辑于星期四5.平面图形折叠成空间图形，主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，即是指“未折坏”的元素，包括“未折坏”的边和角，一般优先标出未折坏的直角（从而观察是否存在线面垂直），然后标出其他特殊角，以及所有不变的线段.41现在是41页\一共有49页\编辑于星期四学例1

如图所示，在四棱锥S-ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2;E为BS的中点,

CE=2,AS=3.求：

(1)点A到平面BCS的距离；(2)二面角E-CD-A的大小.42现在是42页\一共有49页\编辑于星期四

(方法一)(1)因为AD∥BC,且BC平面BCS，所以AD∥平面BCS，从而点A到平面BCS的距离等于点D到平面BSC的距离.因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面CSD，从而AD⊥DS.由AD∥BC，得BC⊥DS.又CS⊥DS，故DS⊥平面BSC，从而DS为点D到平面BCS的距离.因此，在Rt△ADS中，DS==3-1=2.43现在是43页\一共有49页\编辑于星期四(2)如图所示,过点E作EG⊥CD,交CD于点G,又过点G作GH⊥CD,交AB于H,故∠EGH为二面角E-CD-A的平面角,记为θ.过点E作EF∥BC,交CS于点F，连接GF.故θ=-∠EGF.由于E为BS的中点，

F为CS的中点故CF=CS=1.在Rt△CFE中,EF==2-1=1.44现在是44页\一共有49页\编辑于星期四因为EF⊥平面CSD，又EG⊥CD，故可证得FG⊥CD，从而又可得△CGF∽△CSD，因此=.而在Rt△CSD中,CD===,故FG=·DS=×=.在Rt△EFG中，tan∠EGF==，可得∠EGF=，故所求二面角的大小为θ