第4章逻辑代数基础

第4章逻辑代数基础第一页，共54页。第4章逻辑代数基础4.2数字逻辑的基本概念及基本逻辑关系4.1计数制与码制4.3逻辑代数及其化简第二页，共54页。了解数字逻辑的基本概念，重点理解与、或、非三个基本逻辑关系；了解数制与码制的相关基本概念，熟悉各种数制之间的相互转换及各种码制的特点；熟悉逻辑代数的各种定律及定理及逻辑函数的正确表示方法；掌握运用逻辑定律和定理化简逻辑函数式，熟练掌握逻辑函数的卡诺图化简法。

学习目的与要求第三页，共54页。4.1计数制与码制1、计数制表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称计数制。日常生活中，人们常用的计数制是十进制，而在数字电路中通常采用的是二进制，有时也采用八进制和十六进制。（1）计数制中的两个重要概念①基数：各种计数进位制中数码的集合称为基，计数制中用到的数码个数称为基数。例如二进制有0和1两个数码，因此二进制的基数是2；十进制有0~9十个数码，所以十进制的基数是10；八进制有0~7八个数码，八进制的基数是8；十六进制有0~15十六个数码，所以十六进制的基数是16。第四页，共54页。②位权：任一计数制中的每一位数，其大小都对应该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数称作各位的权，简称位权。位权是各种计数制中基数的幂。例如十进制数(2368)10＝2×103＋3×102＋6×101＋8×100其中各位上的数码与10的幂相乘表示该位数的实际代表值，如2×103代表2000，3×102代表300，6×101代表60，8×100代表8。而各位上10的幂就是十进制数各位的权。

（2）几种常用计数制的特点1）十进制计数制的特点①十进制的基数是10；②十进制数的每一位必定是0~9十个数码中的一个；③低位数和相邻高位数之间的进位关系是“逢十进一”；④同一数码在不同的数位代表的权不同，权是10的幂。第五页，共54页。2）二进制计数制的特点①二进制的基数是2；②二进制数的每一位必定是0和1两个数码中的一个；③低位数和相邻高位数之间的进位关系是“逢二进一”；④同一数码在不同的数位代表的权不同，权是2的幂。3）八进制计数制的特点①八进制的基数是8；②八进制数的每一位必定是0~7八个数码中的一个；③低位数和相邻高位数之间的进位关系是“逢八进一”；④同一数码在不同的数位代表的权不同，权是8的幂。4）十六进制计数制的特点①十六进制的基数是16；②十六进制数的每一位必定是0~15十六个数码中的一个；③低位数和相邻高位数之间的进位关系是“逢十六进一”；④同一数码在不同的数位代表的权不同，权是16的幂。第六页，共54页。（3）各位计数制之间的转换任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称为位权展开式。５５５５５×１０３＝５０００５×１０２＝５００５×１０１＝５０５×１００＝５＝５５５５同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。＋(5555)10＝5×103＋5×102＋5×101＋5×100即：例：(209.04)10＝2×102＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－2(1111)2＝1×23＋1×22＋1×21＋1×20=(15)10(567)8＝5×82＋6×81＋7×80=(375)10(5AD)16＝5×162＋10×161＋13×160=(1453)10第七页，共54页。1）十进制转换为二进制采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为二进制数。例将(44.375)10转换成二进制数。整数部分——除2取余法解小数部分——乘2取整法得出：(44.375)10＝(101100.011)2第八页，共54页。2）二进制转换为十进制二进制正确转换为十进制的关键，是先把二进制转换成八进制和十六进制。例将(101100.011)2分别转换成八进制和十六进制数。解①(101100.011)2转换为八进制时：101100.011=（54.3）8将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便对应一位八进制数。若八进制数转换为二进制数时，可将每位八进制数用3位二进制数表示，例如：(374.26)8=(0

11111100.010110)2第九页，共54页。将(101100.011)2转换成十六进制数101100.011=（2C.6）16将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每4位分成一组，不够4位补零，则每组二进制数便对应一位十六进制数。若十六进制数转换为二进制数时，可将每位十六进制数用4位二进制数表示，例如：解000(37A.6)16=(001101111010.0110)2任意进制的数若要转换成十进制数，均可采用按位权展开后求和的方式进行。例(3A.6)16＝3×161＋10×160＋6×16－1=(58.375)10(72.3)8＝7×81＋2×80＋3×8－1=(58.375)10第十页，共54页。各种数制之间转换的对照表十进制数二进制数八进制数十六进制数00000001000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F第十一页，共54页。把下列二进制数转换成八进制数。(10011011100)2=()8(11100110110)2=()8把下列二进制数转换成十六进制数。(11011)2=()16(111)2=()10把下列十进制数转换成二进制、八进制和十六进制数。(364.5)10=()2=()16=()8(74)10=()2=()16=()8233434669B9B3936101101100.116C.8554.44A112第十二页，共54页。

不同数码不仅可以表示不同数量的大小，而且还能用来表示不同的事物。用数码表示不同事物时，数码本身没有数量大小的含义，只是表示不同事物的代号而已，这时我们把这些数码称之为代码。例如运动员在参加比赛时，身上往往带有一个表明身份的编码，这些编码显然没有数量的含义，仅仅表示不同的运动员。数字系统中为了便于记忆和处理，在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则就叫做码制。数字系统是一种处理离散信息的系统。这些离散的信息可能是十进制数、字符或其他特定信息，如电压、压力、温度及其他物理量。但是，数字系统只能识别和处理二进制数码，因此，各种数据要转换为二进制代码才能进行处理。

2.码制第十三页，共54页。（1）二-十进制BCD码用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的二进制数称为代码。

二—十进制代码：用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的0~9十个数码。简称BCD码。

用四位自然二进制数码中的前10个数码来表示十进制数码，让各位的权值依次为8、4、2、1，称为8421BCD码。其余码制还有2421码，其权值依次为2、4、2、1；余3码，由8421BCD码每个代码加0011得到。BCD码都是用来表示人们熟悉的十进制数码的。后面我们还要向大家介绍一种循环码，称为格雷码，其特点是任意相邻的两个数码，仅有一位代码不同，其它位相同。第十四页，共54页。常用的几种BCD码

种类十进制8421码2421码余3码0000000000011100010001010020010001001013001100110110401000100011150101101110006011011001001701111101101081000111010119100111111100权2322212021222120无权第十五页，共54页。（2）四位循环格雷码十进制数循环格雷码十进制数循环格雷码00000100012001130010401105011160101701008110091101101111111110121010131011141001151000归纳：相邻两个代码之间仅有一位不同，且具有“反射性”。头两位分别是00→01→11→10末两位分别两两对应为：10→11→01→00第十六页，共54页。实际生活中表示数的时候，一般都把正数前面加一个“＋”号，负数前面加一个“－”号，但是在数字设备中，机器是不认识这些的，我们就把“＋”号用“0”表示，“－”号用“1”表示，即把符号数字化。在计算机中，数据是以补码的形式存储的，所以补码在计算机语言的教学中有比较重要的地位，而讲解补码必须涉及到原码、反码。原码、反码和补码是把符号位和数值位一起编码的表示方法，也是机器中数的表示方法，这样表示的“数”便于机器的识别和运算。

（3）数的原码、反码和补码第十七页，共54页。1）原码原码的最高位是符号位，数值部分为原数的绝对值，一般机器码的后面加字母B。

其中左起第一个“0”表示符号位“＋”，字母B表示机器码，中间7位二进制数码表示机器数的数值。

十进制数(＋7)10用原码表示时，可写作：例如[＋7]原=00000111B

又如[＋0]原=00000000B[－0]原=10000000B[＋127]原=01111111B[－127]原=11111111B显然，8位二进制原码的表示范围：－127～＋127第十八页，共54页。2）反码正数的反码与其原码相同，负数的反码是对其原码逐位取反所得，在取反时注意符号位不能变。

(－7)10用反码表示时，除符号位外各位取反得：十进制数(＋7)10用反码表示时，可写作：例如[＋7]反=00000111B

[＋0]反=00000000B[－0]反=11111111B显然，8位二进制反码的表示范围也是：－127～＋127[－7]反=11111000B

反码的数“0”也有两种形式：[＋127]反=01111111B

[－127]反=10000000B

反码的最大数值和最小数值分别为：第十九页，共54页。3）补码正数的补码与其原码相同，负数的补码是在其反码的末位加1。符号位不变。(－7)10用补码表示时，各位取反在末位加1得：十进制数(＋7)10用补码表示时，可写作：例如[＋7]补=00000111B

[0]补=00000000B即：补码用[-128]代替了[-0]，因此，8位二进制补码的表示范围是：－128～＋127[－7]补=11111001B

补码的数“0”只有一种形式：[＋127]补=01111111B

[－128]补=10000000B

补码的最大数值和最小数值分别为：第二十页，共54页。4）原码、反码和补码之间的相互转换由于正数的原码、反码和补码表示方法相同，因此不需要转换，只有负数之间存在转换的问题，所以我们仅以负数情况进行分析。

求原码[X]原=11011010B的反码和补码。

例[X]反=10100101B反码在其原码的基础上取反，即：[X]补=10100110B补码则在反码基础上末位加1，即：解已知补码[X]补=11101110B求其原码。

例按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，因此我们仍可采用取反加1的方法求其补码的原码，即[X]原=10010010B解第二十一页，共54页。思考与问题1、完成下列数制的转换（1）（256）10＝（）2＝（）16（2）（B7）16＝（）2＝（）10（3）（10110001）2＝（）16＝（）82、将下列十进制数转换为等值的8421BCD码。（1）256（2）4096（3）100.25（4）0.0243、写出下列各数的原码、反码和补码。（1）[－48][－48]原=[10110000][－48]反=[11001111]

[－48]补=[11010000]

（2）[－86][－86]原=[11010110]

[－86]反=[10101001]

[－86]补=[10101010]

100000000100183B12610101100.001001010000.0第二十二页，共54页。(1)模拟信号与数字信号的区别1.数字电路的基本概念检测到的温度、压力、速度等转换的电信号，数值上具有随时间连续变化的特点，习惯上人们把这类信号称为模拟信号。tu0

对模拟信号接收、处理和传递的电子电路称模拟电路。如放大电路、滤波器、信号发生器等。模拟电路是实现模拟信号的产生、放大、处理、控制等功能的电路，模拟电路注重的是电路输出、输入信号间的大小和相位关系。4.2

数字逻辑的基本概念及基本逻辑关系第二十三页，共54页。tu0在两个稳定状态之间作阶跃式变化的信号称为数字信号，数字信号在时间上和数值上都是离散的。例如生产线中的产品，只能在一些离散的瞬间完成，而且产品的个数也只能逐个增减，它们转换的电信号就是数字信号。上图是典型的数字信号波形。实用中，计算机键盘的输入信号就是典型的数字信号。用来实现数字信号的产生、变换、运算、控制等功能的电路称为数字电路。数字电路注重的是二值信息输入、输出之间的逻辑关系。第二十四页，共54页。(2)数字电路的优点数字电路的工作信号是二进制信息。因此，数字电路对组成电路元器件的精度要求并不高，只要满足工作时能够可靠区分0和1两种状态即可，所以数字电路设计方便。对数字电路而言，干扰往往只影响脉冲的幅度，在一定范围内不会混淆0和1两个数字信息，因此抗干扰能力强。另外，数字电路的模块化开放性结构使其功率损耗低，有利于维护和更新。数字电路的上述优点，使其广泛应用于电子计算机、自动控制系统、电子测量仪器仪表、电视、雷达、通信及航空航天等各个领域。本教材介绍的数字电路分有组合逻辑电路和时序逻辑电路两大部分。第二十五页，共54页。(3)数字电路的分类数字电路的种类很多，常用的一般按下列几种方法来分类：①按电路组成有无集成元器件来分，可分为分立元件数字电路和集成数字电路。②按集成电路的集成度进行分类，可分为小规模集成数字电路(SSI)、中规模集成数字电路(MSI)、大规模集成数字电路(LSI)和超大规模集成数字电路(VLSI)。③按构成电路的半导体器件来分类，可分为双极型数字电路和单极型数字电路。④按电路中元器件有无记忆功能可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路。第二十六页，共54页。何谓正逻辑？负逻辑？2.基本逻辑关系日常生活中我们会遇到很多结果完全对立而又相互依存的事件，如开关的通断、电位的高低、信号的有无、工作和休息等，显然这些都可以表示为二值变量的“逻辑”关系。事件发生的条件与结果之间应遵循的规律称为逻辑。一般来讲，事件的发生条件与产生的结果均为有限个状态，每一个和结果有关的条件都有满足或不满足的可能，在逻辑中可以用“1”或“0”表示。显然，逻辑关系中的1和0并不是体现数值的大小，而体现的是某种逻辑状态。逻辑关系中，若用“1”表示高电平，“0”表示低电平，则称为正逻辑；如果用“1”表示低电平，“0”表示高电平时，为负逻辑。本教材不加特殊说明均采用正逻辑。第二十七页，共54页。数字电路中用到的主要元件是开关元件，如二极管、双极型三极管和单极型MOS管等。二极管正向导通或三极管处饱和状态时，管子对电流呈现的电阻近似为零，可视为接通的电子开关；数字电路正是利用了二极管、三极管和MOS管的上述开关特性进行工作，从而实现了各种逻辑关系。显然，由这些晶体管子构成的开关元件上只有通、断两种状态，若把“通”态用数字“1”表示，把“断”态用数字“0”表示时，则这些开关元件仅有“0”和“1”两种取值，这种二值变量也称为逻辑变量，因此，由开关元件构成的数字电路又称之为逻辑电路。数字电路中常用的逻辑器件有哪些？二极管反向阻断或三极管处截止状态时，管子对电流呈现的电阻近似无穷大，又可看作是断开的电子开关。第二十八页，共54页。

由晶体管开关元件构成的逻辑电路，工作时的状态像门一样按照一定的条件和规律打开或关闭，所以也被称为门电路。门开——信号通过；门关——信号阻断。门电路是构成组合逻辑电路的基本单元，应用十分广泛。1.晶体管用于模拟电路时工作在哪个区？若用于数字电路时，又工作于什么区？2.为什么在晶体管用于数字电路时可等效为一个电子开关？晶体管用于数字电路时，工作在饱和区或截止区；用于模拟电路时，应工作在放大区。

根据晶体管的开关特性，工作在饱和区时，PN结电阻相当为零，可视为电子开关被接通；工作在截止区时，PN结电阻相当无穷大，可视为电子开关被断开。何谓门电路？学习与讨论第二十九页，共54页。(2)“与”逻辑当决定某事件的全部条件同时具备时，结果才会发生，这种因果关系叫做“与”逻辑，也称为逻辑乘。逻辑表达式中的符号“·”表示逻辑“与”(逻辑“乘”)，在不发生混淆时，此符号可略写。与逻辑符号级别最高。+－USR0AB“与”逻辑电路F

A、B两个开关是电路的输入变量，是逻辑关系中的条件，灯F是输出变量，是逻辑关系中的结果。当只有一个条件具备时灯不会亮，只有A和B都闭合，即全部条件都满足时灯才亮。F=A·B“与”逻辑关系可用函数式表示为：第三十页，共54页。“与”逻辑中输入与输出的一一对应关系，不但可用逻辑乘公式F=A·B·C表示，还可以用下面所示的真值表：ABCF00000010010001101000101011001111观察“与”逻辑真值表，其中输入与输出的一一对应关系可概括为“有0出0，全1出1”。第三十一页，共54页。(3)“或”逻辑当决定某事件的全部条件都不具备时，结果不会发生，但只要一个条件具备，结果就会发生，这种因果关系称为“或”逻辑，也称为逻辑加。F=A+B式中“+”表示逻辑“或”(逻辑“加”)，运算符级别比与低。

A、B两个开关是电路的输入变量，是逻辑关系中的条件，灯F是输出变量，是逻辑关系中的结果。显然灯亮的条件是A和B只要一个闭合，灯就会亮，全部不闭合时灯不会亮。+－USR0“或”逻辑电路FAB“或”逻辑关系可用函数式表示为：第三十二页，共54页。“或”逻辑中输入与输出的一一对应关系，不但可用逻辑加公式F=A+B+C表示，也可以用真值表表达为：ABCF00000011010101111001101111011111观察“或”逻辑真值表，可以把输入与输出的一一对应关系概括为“有1出1，全0出0”。第三十三页，共54页。(4)“非”逻辑

当某事件相关条件不具备时，结果必然发生；但条件具备时，结果不会发生，这种因果关系叫做“非”逻辑，也称为逻辑非。变量头上的横杠“－

”表示逻辑“非”，0非是1；1非是0。+－USR0“非”逻辑电路F开关A是电路的输入变量，是事件的条件，灯F是输出变量，是事件的结果。条件不具备时开关A断开，电源和灯构成通路，灯F点亮。A条件具备时开关A闭合，电源被开关短路，电灯不会亮。F=A“非”逻辑关系可用函数式表示为：第三十四页，共54页。逻辑“非”的真值表AF0110可见非门功能为：见0出1，见1出0思考与问题最基本的逻辑关系有哪些？你能举例说明实际生活中的一个“或”逻辑吗？数字信号和模拟信号的典型特征是什么？你能否说出实际当中数字信号和模拟信号的典型实例？

何谓“正”逻辑？“负”逻辑？你能举例说明“正”逻辑吗？

第三十五页，共54页。4.3逻辑代数及其化简

逻辑函数的化简，直接关系到数字电路的复杂程度和性能指标。逻辑化简的目标：与或表达式与项数最少，每一与项的变量数最少；或与表达式或项数最少，每一或项的变量数最少。达到上述化简目标，可使数字电路板上的芯片数量最少，信号传递级数最少，同时门的输入端数也最少。1、布尔代数的公式、定律和逻辑运算规则（1）逻辑代数的基本公式与运算或运算非运算第三十六页，共54页。（2）逻辑代数的基本定律交换律：结合律：分配律：反演律：（3）逻辑代数的常用公式逻辑代数在运算时应遵循先括号内后括号外、先“与”运算后“或”运算的规则，也可利用分配律或反演律变换后再运算。第三十七页，共54页。2、逻辑函数的代数化简法

代数化简法就是应用逻辑代数的代数的公理、定理及规则对已有逻辑表达式进行逻辑化简的工作。逻辑函数在化简过程中，通常化简为最简与或式。最简与或式的一般标准是：表达式中的与项最少，每个与项中的变量个数最少。代数化简法最常用的方法有：（1）并项法利用公式提取两项公因子后，互非变量消去。例化简逻辑函数解…提取公因子A…应用反演律将非与变换为或非…消去互非变量后，保留公因子A，实现并项。第三十八页，共54页。并项法的关键在对函数式的某两与项提取公因子后，消去其中相同因子的原变量和反变量，则两项即可并为一项。提取公因子BC消去互为反变量的因子提取公因子B消去互为反变量的因子提取公因子A利用反演律提取公因子A消去互为反变量的因子例例第三十九页，共54页。（2）吸收法利用公式将多余项AB吸收掉例化简逻辑函数解…应用或运算规律，括号内为1…提取公因子AC（3）消去法利用公式例化简逻辑函数解…提取公因子C…应用反演律将非或变换为与非消去与项AB中的多余因子A…消去多余因子AB，实现化简。第四十页，共54页。利用公式A=A(B+B)，为某一项配上所缺变量。配项运用分配律提取公因子利用公式A+A=A，为某一项配上所能合并的项。配冗余项配冗余项运用吸收律消去互非的变量（4）配项法应用吸收律化简例例第四十一页，共54页。将函数化简为最简与或式。…提取公因子C…应用非非定律…应用反演律…消去多余因子AB…消去多余因子C…得到函数式最简结果采用代数法化简逻辑函数时，所用的具体方法不是唯一的，最后的表示形式也可能稍有不同，但各种最简结果的与或式乘积项数相同，乘积项中变量的个数对应相等。例第四十二页，共54页。用代数法化简下列逻辑函数式。AC1.F=ABCDE+ABC+AC2.F=AB+ABD+AC+ACE3.F=ABC+ABC+ABC+ABC4.F=ABC+AB+ACAB+ACAC+ABA5.F=(A+B)(A+C)A+BC6.F=AB+C+ACD+BCDAB+C+D第四十三页，共54页。3、逻辑函数的卡诺图化简法

卡诺图是真值表的一种变形，为逻辑函数的化简提供了直观的图形方法。当逻辑变量不太多(一般小于5个)时，应用卡诺图化简逻辑函数，方法直观、简捷，较容易掌握。（1）最小项的概念设有n个变量，它们组成的与项中，每一项或以原变量或以反变量形式出现一次，且仅出现一次，这些与项均称之为n个变量的最小项。若函数包含n个变量，就可构成2n个最小项，分别记为mn。例如两变量的最小项共有22=4个，可表示为：三变量的最小项共有23=8个，可表示为：第四十四页，共54页。四变量的最小项共有24=16个，分别表示为：显然，当变量为n个时，最多可构成的最小项数为2n个。（2）卡诺图表示法A01B01m0m1m2m3两变量卡诺图A01BC00011110m0m1m4m5m3m2m7m6三变量卡诺图CD00011110AB00011110m0m1m4m5m3m2m7m6m12m13m8m9m15m14m11m10四变量卡诺图显然，相邻两个变量之间只允许有一个变量不同！第四十五页，共54页。（3）用卡诺图表示逻辑函数

卡诺图是平面方格阵列图，其画法满足几何相邻原则：相邻方格中的最小项仅有一个变量不同。用卡诺图表示逻辑函数时，将函数中出现的最小项，在对应方格中填1，没有的最小项填0(或不填)，所得图形即为该函数的卡诺图。例把函数式和表示在卡诺图中。m0m1m4m5ABC000101m3m2m7m611101m0m1m4m5ABC000101m3m2m7m61110111111111第四十六页，共54页。试把下列逻辑函数式表示在卡诺图中0101ABC00010110011110CD00011110AB000111100011010111000111

用卡诺图表示逻辑函数，关键在于正确找出函数式中所包含的全部最小项，并用1标在卡诺图对应的方格中。第四十七页，共54页。（4）用卡诺图化简逻辑函数

利用卡诺图化简逻辑函数式的步骤如下：①根据变量的数目，画出相应方格数的卡诺图；②根据逻辑函数式，把所有为“1”的项画入卡诺图中；③用卡诺圈把相邻最小项进行合并，合并时应按照20、21、22、23、24个相邻变量圈定，并遵照卡诺圈最大化原则；④根据所圈的卡诺圈，消除圈内全部互非的变量，保留相同的变量作为一个“与”项(注意圈圈时应把卡诺图