第12章塑性本构关系

第12章塑性本构关系第一页，共41页。2§12.1弹性本构关系材料在简单拉伸情况下，应变与应力关系满足x方向：增长y方向：缩短z方向：缩短应变关系满足：

即当材料在某个方向受拉力时，在该方向出现拉伸变形，而与垂直的两个方向则出现压缩变形。xyz0其中：υ——泊松比P第十二章塑性本构关系第二页，共41页。3xyzy方向正应力产生：z方向正应力产生：++多向受力时：x方向正应力产生：§12.1

弹性本构关系第三页，共41页。4式中E——弹性模数

υ——泊松比

G——剪切模数三者关系：G=E/2(1+υ)广义虎克定律由上，得§12.1弹性本构关系第四页，共41页。5同理可得：§12.1弹性本构关系第五页，共41页。6结论：物体形状改变只由应力偏张量引起物体弹性变形时，单位体积变化率θ=3εm与平均应力成正比。结论：应力球张量使物体产生弹性体积改变应变偏张量与应力偏张量成正比§12.1弹性本构关系第六页，共41页。7广义虎克定律的张量表达式：已知：应变张量可以分解成偏张量和球张量§12.1弹性本构关系第七页，共41页。8广义虎克定律其他形式1、比例形式：2、差比形式：上式两边平方后整理后得：§12.1弹性本构关系第八页，共41页。9+++等式左边为：等效应力为：等式右边为：对等式右边开方再乘以，得§12.1弹性本构关系第九页，共41页。10弹性应变强度结论：材料弹性变形范围内，应力强度与应变强度成正比，比例系数为E等式左边与右边关系为：其中§12.1弹性本构关系第十页，共41页。11等效应变表达式：弹性应变强度表达式：则等效应变与弹性应变强度关系为：当

时§12.1弹性本构关系第十一页，共41页。12弹性变形应力应变关系关系特点:应力应变完全成线性关系，应力主轴与应变主轴重合。弹性变形可逆，应力应变之间为单值关系，加载与卸载规律相同。弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化，泊松比ν<0.5。§12.1弹性本构关系第十二页，共41页。13§12.2塑性变形时应力应变的关系特点12.2.1塑性变形应力应变关系特点塑性变形不可恢复，是不可逆不可恢复oεσc第十三页，共41页。14§12.2塑性变形时应力应变的关系特点coεσ△σ不可恢复对于硬化材料，卸载后在重新加载，其屈服应力就是卸载后的屈服应力，比初始屈服应力要高。第十四页，共41页。15§12.2塑性变形时应力应变的关系特点塑性变形时，认为体积不变，应力球张量为零，泊松比ν=0.5。应力应变之间关系是非线性关系，全量应变主轴与应力主轴不一定重合。coεσ不可恢复△σ单拉时，材料进入塑性变形后，加载会有新的塑性变形产生；卸载关系为弹性关系。第十五页，共41页。16§12.2塑性变形时应力应变的关系特点不同路径下的变形

加载路径可分成简单加载和复杂加载二大类。

简单加载是指单元体的应力张量各分量之间的比值保持不变，按同一参量单调增长。不满足上述条件的为复杂加载。简单加载路径在应力空间中为一直线，如OFE12.2.2加载路径与加载历史第十六页，共41页。17§12.2塑性变形时应力应变的关系特点图2-5π平面上的加载准 加载：σedσe

＞0，应力点保持在加载曲面上，此时有新的塑性变形发生，σ-ε关系为塑性关系。卸载：σedσe＜0，应力点向加载曲面内侧变动，不会产生新的塑性变形，σ-ε关系为弹性关系。中性变载：若σedσe=0，应力点在原有屈服曲面上变动，对于强化材料而言为没有新的塑性变形，关系为弹性关系。

第十七页，共41页。18§12.2塑性变形时应力应变的关系特点加载与卸载准则通用式表示弹性状态：强化材料加载：强化材料变载，理想材料加载：强化材料卸载：第十八页，共41页。19§12.3增量理论每一加载瞬间，应力主轴与应变增量主轴重合。应变增量与应力偏张量成正比，即：12.3.1列维-密席斯增量理论材料是理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总应变增量。材料服从密席斯屈服准则，即：塑性变形时体积不变，即：因此：第十九页，共41页。20(2)差比形式：上式两边平方后整理后得：上式称为列维米塞斯方程(1)比例形式：§12.3增量理论第二十页，共41页。21上面两式相加令为塑性应变增量强度，也称等效应变增量。则§12.3增量理论第二十一页，共41页。22（2）对于某些轴对称的问题，若有某两个应变分量的增量相等，则对应的应力偏量的增量也相等，于是，对应的应力分量也相等。可得广义胡克定律设则类似于弹性模量与剪切模量。因此可以证明前面已引用的结论。（1）平面塑性变形时，没有应变方向的应力值等于球应力的值。§12.3增量理论第二十二页，共41页。23广义胡克定律的形式为：12.3.2应力应变速率关系方程（Saint-Venant塑性流动理论）对两边除以dt，得：卸载时，式中称为应变速率强度或称等效应变速率。为应力-应变速率分量方程，也称圣文南塑性流动方程。§12.3增量理论第二十三页，共41页。2412.3.3普朗特——路埃斯方程

当变形较小时，在塑性区考虑弹性变形，即总应变增量分量由弹性、塑性增量分量构成。即：普朗特——路埃斯方程由于因此，可推出或§12.3增量理论第二十四页，共41页。25增量理论给出了塑性应变增量与应力偏量之间关系。增量理论给出各瞬间应力与应变增量之间变化关系。增量理论反映了加载过程对变形的影响。增量理论没有给出卸载规律。§12.3增量理论第二十五页，共41页。26

§12.4塑性变形的全量理论

塑性变形时，全量应变主轴与应力主轴不一定重合，但在比例加载时，应力主轴方向固定不变，应变增量主轴与应力主轴重合。对普朗特—路埃斯方程进行积分得到全量应力应变关系—全量理论。式中：分别为初始应力和初始应力偏张量；C变形过程单调函数。理想塑性材料，塑性变形阶段为常数。由比例加载小变形时，积分即为小应变张量第二十六页，共41页。27§12.4塑性变形的全量理论

其他全量理论伊留申全量理论——硬化材料假定条件：塑性变形微小，和弹性变形同一数量级；外载荷各分量按比例增加，不中途卸载；变形体不可压缩，即加载过程中，应力主轴方向与应变主轴方向固定不变，且重合；σ-ε符合单一曲线假设，且呈幂指数关系；如果材料刚塑性，则1/2G=0，则汉基方程可写为：或第二十七页，共41页。28设

为塑性模量，则塑性变形时，塑性模量与塑性切变模量之间为：上式其比例形式和差比形式如下：§12.4塑性变形的全量理论

第二十八页，共41页。29塑性变形全量广义胡克公式§12.4塑性变形的全量理论

第二十九页，共41页。30§12.5真实应力-应变曲线

流动应力变化规律通常表达为真实应力与应变的关系，真实应力-应变关系曲线一般由实验确定。12.5.1基于拉伸试验确定的应力-应变曲线

标称应力-应变曲线有三个特征点，将整个拉伸变形过程分为三个阶段：弹性变形、塑性变形和局部塑性变形。（1）拉伸图和条件应力-应变曲线

第三十页，共41页。31（2）真实应力-应变曲线

在解决实际塑性成形问题时，需要反映实际应力与应变的曲线，即真实应力-应变曲线。真实应力简称真应力，是瞬时的流动应力S。1）真实应力-应变曲线分类真实应力与相对线应变

曲线真实应力与相对断面收缩率

曲线真实应力与对数应变（也叫真实应变）

曲线对数应变优点：对数应变有可加性将试样拉伸一倍再压缩至原长，则对数应变值相同（只差一个符号）用对数应变表示的拉伸和压缩真实应力-应变曲线在理论上完全重合，只是应力有拉、压之分，这和实验结果比较吻合，因而两者可以互相替代。§12.5真实应力-应变曲线第三十一页，共41页。322）第三种类型的真实应力-应变曲线的确定真实应力相对伸长断面收缩§12.5真实应力-应变曲线第三十二页，共41页。33对数应变（真实应变）当试样L0拉伸至L1时，总的真实应变为：在出现缩颈以前，试样处于均匀拉伸状态：当在小变形时，可以认为§12.5真实应力-应变曲线第三十三页，共41页。34拉伸真实应力——应变曲线塑性失稳点的特征轴向力P、断面F、真实应力S当在塑性失稳点时，P有极大值dp=0在失稳点S=Sb、∈=∈b，代入上式，则∈=1失稳点特性§12.5真实应力-应变曲线第三十四页，共41页。3512.5.2基于单向压缩试验确定的应力-应变曲线

压缩实验的主要问题是试样与工具的接触面上不可避免地存在摩擦，这就改变了试样的单向压应力状态，并使试样出现鼓形。所以，消除接触表面间的摩擦是求得精确压缩实际应力-应变曲线的关键。

测定单压

曲线时，试样的直径/高度一般为1，每次压缩量为试样高度的10%。记录载荷和测量高度，然后加润滑剂再压。若出现明显鼓形，将试样进行车削，消除侧鼓，并使直径/高度仍为1。这样一直压缩至要求的变形程度为止，利用数据绘制

曲线。§12.5真实应力-应变曲线第三十五页，共41页。36

用外推法可以得到消除摩擦影响的

曲线。用不同D/H试样进行压缩实验，记录

曲线，可得到不同D/H的

，如图12-9a所示。然后根据图12-9a可得到一定变形程度下的

曲线（图12-9b）。将图中各曲线延伸到与

轴相交，就可得到一定变形程度下D/H→0时的应力，从而得到消除摩擦影响的

曲线。§12.5真实应力-应变曲线第三十六页，共41页。37

（2）线性强化模型（图12-11）。该模型的弹塑性区域分开表示，即：

呈线性关系，只是弹性、塑性的斜率有所差异，适合于考虑弹性问题的冷加工，如弯曲。12.5.3真实应力-应变曲线与数学模型

（1）幂函数强化模型（图12-10）。该模型特点为弹塑性区域用统一方程表示，即：常应用于室温下的冷加工。§12.5真实应力-应变曲线第三十七页，共41页。38软化与硬化相等，适合于热加工分析。

（3）线性刚塑性强化模型（图12-12）。与模型（2）相似，只是没有考虑弹性变形，即：适合于忽略弹性的冷加工。

（4）理想弹塑性模型（图12-13）。该模型的弹塑区域分开表示，即该模型的特点在于屈服后

与无关，即：§12.5真实应力-应变曲线第三十八页，共41页。39

（5）理想刚塑性模型（图12-14）。特点与（4）相似，只是忽略了弹性，即：适合于不考虑弹性的热加工问题。

一般的

关系的数学模型为：式中

n——加工与强化指数；

m——应变速率敏感性系数；

A——材料常数；

T——绝对温度；

b——温度影响系数。§12.5真实应力-应变曲线第三十九页，共41页。40

§12