模糊控制基本思想与数学基础

模糊控制基本思想与数学基础第一页，共66页。学习目标了解模糊数学的相关理论掌握模糊控制的基本思想掌握模糊控制器的结构与原理掌握模糊控制系统的设计方法第二页，共66页。3.1模糊控制的基本思想第三页，共66页。3.1模糊控制的基本思想由测量装置、控制器、被控对象及执行机构组成的自动控制系统，就是人们所悉知的常规负反馈控制系统。图3-1、3-2分别给出了手动控制和负反馈控制的方框图。

图3-1常规反馈控制系统方框图图3-2手动控制方框图第四页，共66页。3.1模糊控制的基本思想（续）模糊数学的创始人，著名的控制论专家扎德（Zadeh）教授举过一个停车问题的例子，是非常富有启发性的问题。所谓停车问题是要把汽车停在拥挤的停车场上两辆车之间的一个空隙处。对于上述问题，从事控制理论研究者的解决方法是：令记车C上的一个固定参考点的位置，记车C的方位，于是建立车的状态方程和运动方程分别为(3—1—1)(3—1—2)第五页，共66页。3.1模糊控制的基本思想（续-1）停车问题就转化为寻找一个控制量u(t)，使其在满足各种约束的条件下把初始状态转移到终端状态中去。

汽车司机是这样操纵的，先让车向前运动，前轮先向右而后向左，然后使车向后运动，前轮仍先向右而后向左，经过多次反复，车将横向移动一个所需要的距离，最后向前开停在空隙处。这样，汽车司机通过一些不精确的观察，执行一些不精确的控制，却达到了准确停车的目的。第六页，共66页。3.1模糊控制的基本思想（续-2）总结人的控制行为，正是遵循反馈及反馈控制的思想。人的手动控制决策可以用语言加以描述，总结成一系列条件语句，即控制规则。运用微机的程序来实现这些控制规则，微机就起到了控制器的作用。于是，利用微机取代人可以对被控对象进行自动控制。在描述控制规则的条件语句中的一些词，如“较大”、“稍小”、“偏高”等都具有一定的模糊性，因此用模糊集合来描述这些模糊条件语句，即组成了所谓的模糊控制器。第七页，共66页。3.2模糊控制的数学基础

第八页，共66页。3.2.1模糊集合及其运算集合一般指具有某种属性的、确定的、彼此间可以区别的事物的全体。元素或元组成集合的事物。通常用大写字母A,B,C…X,Y,Z表示集合，而用小写字母a,b,c,…x,y,z表示集合内元素。论域被考虑对象的所有元素的全体，一般用大写字母U表示。第九页，共66页。1．模糊集合的定义及表示方法

Zadeh在1965年对模糊集合的定义为：给定论域U，U到[0,1]闭区间的任一映射都确定U的一个模糊集合A,称为模糊集合且的隶属函数。

若A中的元素用x表示，则称为x属于A的隶属度。的取值范围为闭区间[0,1]，接近1，表示x属于A的程度高；接近0，表示x属于A的程度低。第十页，共66页。1．模糊集合的定义及表示方法（续）

模糊集合有很多表示方法，当论域U为有限集{x1,x2,…,xn}时，通常有以下三种方式：(1)Zadeh表示法用论域中的元素xi与其隶属度按下式表示A，则式中，并不表示“分数”，而是表示论城中的元素xi与其隶属度之间的对应关系；“+”也不表示“求和”，而是表示模糊集合在论域U上的整体。第十一页，共66页。1．模糊集合的定义及表示方法

（续-1）(2)序偶表示法用论域中的元素xi与其隶属度的构成序偶来表示且，则在序偶表示法中，隶属度为零的项可省略。第十二页，共66页。1．模糊集合的定义及表示方法（续-2）

(3)向量表示法用论域中元素的隶属度的构成向量来表示，则在向量表示法中，隶属度为零的项不能省略。若A是以实数R为论域的模糊集合，其隶属函数为，如果对任意实数，都有则称A为凸模糊集。凸模糊集实质上就是其隶属函数具有单峰值特性。第十三页，共66页。1．模糊集合的定义及表示方法（续-3）

例3-1在整数1，2，…，10组成的论域中，即论域U∈[l，2，…，10]，用A表示模糊集合“几个”。并设其元素的隶属度依次为{0，0，0.3，0.7，1，1，0.7，0.3，0，0}。解：模糊集合A可表示为或第十四页，共66页。1．模糊集合的定义及表示方法（续-4）

例3-1在整数1，2，…，10组成的论域中，即论域U∈[l，2，…，10]，用A表示模糊集合“几个”。并设其元素的隶属度依次为{0，0，0.3，0.7，1，1，0.7，0.3，0，0}。解：当论域U为有限连续域时，Zadeh表示法为式中，也不表示“分数”，而是表示论域中的元素x与其隶属度之间的对应关系；也不表示“积分”，而是表示模糊集合在论域U上的元素x与其隶属度对应关系的一个整体。同样，在有限连续域表示法中，隶属度为0的部分可不写入。第十五页，共66页。1．模糊集合的定义及表示方法（续-5）

例3-2若以年龄为论域，并设U∈[0,200]，设y表示模糊集合“年轻”，O表示模糊集合“年老”。已知“年轻”和“年老”的隶属函数分别为第十六页，共66页。1．模糊集合的定义及表示方法（续-6）

解：因为论域是连续的，因而“年轻”和“年老”的模糊集合Y和O分别为或

第十七页，共66页。1．模糊集合的定义及表示方法（续-7）

解：其隶属度函数曲线如图3-3所示。图3-3“年轻”和“年老”的隶属度函数曲线第十八页，共66页。2．隶属函数隶属函数是对模糊概念的定量描述，正确地确定隶属函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。以实数域R为论域时，称隶属函数为模糊分布。常见的模糊分布有以下四种(1)正态型正态型是最主要也是最常见的一种分布，表示为其分布曲线如图3-4所示。图3-4正态型分布曲线第十九页，共66页。2．隶属函数（续）(2)型式中，,。当时，隶属度函数为1。其分布曲线如图3-5所示

图3-5型分布曲线第二十页，共66页。2．隶属函数（续-1）(3)戒上型式中，a>0，b>0。其分布曲线如图3-6所示。当a=0.2，b＝2，c=25时，即为“年轻”的隶属函数。第二十一页，共66页。2．隶属函数（续-2）(4)戒下型式中，a>0，b<0。其分布曲线如图3-7所示。当a=0.2，b＝-2，c=50时，即为“年老”的隶属函数。

图3-7戒下型分布曲线

第二十二页，共66页。3．模糊集合的有关术语(1)台集合定义为A的台集合。其意义为论域U中所有的的x的全体。模糊集合只可在它的台集合上加以表示。(2)截集定义，分别称为模糊集合A的强截集和弱截集。显然，截集也为普通集合，且第二十三页，共66页。3．模糊集合的有关术语（续）(3)正则模糊集合若则称A为正则模糊集合。

(4)凸模糊集合若则称A为凸模糊集合。

(5)分界点使得的点x称为模糊集合A的分界点。(6)单点模糊集合在论域中，若模糊集合的台集合仅为一个点，且该点的隶属函数，则称A为单点模糊集合。第二十四页，共66页。4．模糊集合的运算(1)模糊集合的相等

若有两个模糊集合A和B，对于所有的x∈U，均有，则称模糊集合A等于B,记为A=B。(2)模糊集合的包含若有两个模糊集合A和B，对于所有的x∈U，均有，则称模糊集合B包含A，记为。(3)模糊空集若对于所有的x∈U，均有，则称模糊集合A为空集，记为第二十五页，共66页。4．模糊集合的运算（续）(4)模糊集合的并集若有三个模糊集合A、B和C，对于所有的x∈U，均有则称模糊集合C为A与B的并集，记为C=A∪B。(5)模糊集合的交集若有三个模糊集合A、B和C，对于所有的x∈U，均有则称模糊集合C为A与B的交集，记为C=A∩B(6)模糊集合的补集若有两个模糊集合A和B，对于所有的x∈U，均有，则称B为A的补集，记为B=Ac。第二十六页，共66页。4．模糊集合的运算（续-1）(7)模糊集合的直积

若有两个模糊集合A和B，其论域分别为又X和Y，则定义在积空间X×Y上的模糊集合A×B称为模糊集合A和B的直积，即上述定义表明，在集合A中取一元素a，又在集合B中取一元素b，就构成了(a,b)“序偶”，所有的(a,b)又构成一个集合。该集合即为A×B。其隶属函数为或直积又称为笛卡儿积或叉积。第二十七页，共66页。5．模糊集合运算的基本性质注：互补率不成立。第二十八页，共66页。6．模糊集合的其他类型运算第二十九页，共66页。7．分解定理和扩张原则(1)分解定理设A为论域U上的一个模糊集合，是A的截集，，则有如下分解定理成立，即式中，表示语言变量x的一个模糊集合，称为与的“乘积”。

其隶属函数定义为第三十页，共66页。7．分解定理和扩张原则（续）例3-3求模糊集合的截集，

。解：取分别为1，0.7，0.6，0.5，0.3，于是有将截集写成模糊集合的形式第三十一页，共66页。7．分解定理和扩张原则（续-1）则有由分解定理又可构成原来的模糊集合第三十二页，共66页。7．分解定理和扩张原则（续-2）(2)扩张原则设U和V是两个论域，f是U到V的一个映射,对U上的模糊集合A，可以扩张成这里，叫做f的扩张。A通过映射成时，规定它的隶属函数的值保持不变。在不会误解的情况下，可以称为f。第三十三页，共66页。7．分解定理和扩张原则（续-3）分解定理和扩张原则是模糊数学的理论支柱。分解定理是联系模糊数学和普通数学的纽带。扩张原则是把普通的数学扩展到模糊数学的有力工具。

第三十四页，共66页。3.2.2模糊关系及其合成1．模糊关系设X、Y是两个非空集合，则在直积中一个模糊集合称为从x到y的一个模糊关系，记为。以上定义的模糊关系又称二元模糊关系，当X=Y时，称为X上的模糊关系。当论域为n个集合的直积时，它所对应的为n元模糊关系。第三十五页，共66页。3.2.2模糊关系及其合成（续）当论域，是有限集合时，定义在X×Y上的模糊关系可用如下的n×m阶矩阵来表示，即这样的矩阵称为模糊关系矩阵。

第三十六页，共66页。3.2.2模糊关系及其合成（续-1）例3-4设x为家庭中的儿子和女儿，y为家庭中的父亲和母亲，对于“子女与父母长得相似”的模糊关系R，可以用以下模糊关系矩阵R表示。第三十七页，共66页。3.2.2模糊关系及其合成（续-2）2．模糊关系的合成设X、Y、Z是论域，是X到Y的一个模糊关系，是Y到Z的一个模糊关系，则到的合成也是一个模糊关系，记为它具有隶属度第三十八页，共66页。3.2.2模糊关系及其合成（续-3）二项积算子“x*y”可以定义为以下几种运算，其中x、y∈[0，1]当二项积算子“*”采用前两种运算时，它们分别称为最大最小合成和最大—积合成，即或

第三十九页，共66页。3.2.2模糊关系及其合成（续-4）当论域X、Y、Z为有限时，模糊关系的合成可用模糊关系矩阵来表示。设、、三个模糊关系对应的模糊关系矩阵分别为则

第四十页，共66页。3.2.2模糊关系及其合成（续-5）例3-5己知子女与父母相似关系的模糊关系矩阵R和父母与祖父母相似关系的模糊关系矩阵S分别如下所示，求子女与祖父母相似关系的模糊关系矩阵。解：这是一个典型的模糊关系合成的问题。按最大—最小合成规则有第四十一页，共66页。3.2.3模糊向量及其运算1．模糊向量

如果对任意的都有，则称向量为模糊向量。2．模糊向量的笛卡儿乘积

设有1×n维模糊向量x和1×m维模糊向量y，则定义为模糊向量x和y的笛卡儿乘积。第四十二页，共66页。3.2.3模糊向量及其运算（续）例3-6己知两个模糊向量分别如下所示，求它们的笛卡儿乘积x=[0.80.60.2]，y=[0.20.40.71]解：笛卡儿乘积为第四十三页，共66页。3.2.3模糊向量及其运算（续-1）3．模糊向量的内积与外积

设有1×n维模糊向量x和1×n维模糊向量y，则定义为模糊向量x和y的内积。与内积的对偶运算称为外积。第四十四页，共66页。3.2.4模糊逻辑规则1．模糊语言变量模糊语言变量是自然语言中的词或句，它的取值不是通常的数，而是用模糊语言表示的模糊集合。

一个语言变量可由以下的五元体来表征(x,T(x),U,G,M)式中，x是语言变量的名称；T(x)是语言变量值的集合；U是x的论域；G是语法规则，用于产生语言变量x的名称；M是语义规则，用于产生模糊集合的隶属函数。第四十五页，共66页。3.2.4模糊逻辑规则（续）图3-8误差语言变量的五元体示意图第四十六页，共66页。3.2.4模糊逻辑规则（续-1）2.模糊蕴含关系在模糊逻辑中，模糊逻辑规则实质上是模糊蕴含关系。在模糊逻辑推理中有很多定义模糊蕴含的方法，最常用的一类模糊蕴含关系是广义的肯定式推理方式．即此处，A、、B、均为模糊语言。

对于模糊前提“如果x是A，则y是B”，它表示了模糊语言A与B之间的模糊蕴含关系，记为A→B第四十七页，共66页。3.2.4模糊逻辑规则（续-2）在模糊逻辑控制中，常用的模糊蕴含关系的运算方法有以下几种，其中前两种常用。(1)模糊蕴含的最小运算(2)模糊蕴含的积运算(3)模糊蕴含的算术运算第四十八页，共66页。3.2.4模糊逻辑规则（续-3）在模糊逻辑控制中，常用的模糊蕴含关系的运算方法有以下几种，其中前两种常用。(4)模糊蕴含的最大最小运算(5)模糊蕴含的布尔运算第四十九页，共66页。3.2.4模糊逻辑规则（续-4）在模糊逻辑控制中，常用的模糊蕴含关系的运算方法有以下几种，其中前两种常用。(6)模糊蕴含的标准法运算(1)(7)模糊蕴含的标准法运算(2)第五十页，共66页。3.2.5模糊逻辑推理1．简单模糊条件语句对于上面介绍的广义肯定式推理，结论是根据模糊集合和模糊蕴含关系A→B的合成推出来的，因此可得如下的模糊推理关系式中，R为模糊蕴含关系，“”是合成运算符。第五十一页，共66页。3.2.5模糊逻辑推理（续）例3-7若人工调节炉温，有如下的经验规则：“如果炉温低，则应施加高电压”，当炉温为“非常低”时，应施加怎样的电压。解：设x和y分别表示模糊语言变量“炉温”和“电压”，并设x和y的论域为X=Y={1,2,3,4,5}A表示炉温低的模糊集合第五十二页，共66页。3.2.5模糊逻辑推理（续-1）B表示高电压的模糊集合从而模糊规则可表述为：“如果x是A，则y是B”。设为非常A，则上述问题变为“如果x是，则应是什么”。为了便于计算，将模糊集合A和B与成向量形式A=[10.80.60.40.2]，B=[0.20.40.60.81]第五十三页，共66页。3.2.5模糊逻辑推理（续-2）由于该例中x和y的论域均是离散的，因而模糊蕴含关系Kc可用如下模糊矩阵来表示当=“炉温非常低”=A2=[10.640.360.160.04]时第五十四页，共66页。3.2.5模糊逻辑推理（续-3）其中中的每项元素是根据模糊关系矩阵的合成规则求出的，如第1行第1列的元素为这时，推论结果仍为“高电压”。第五十五页，共66页。3.2.5模糊逻辑推理（续-4）2．多重模糊条件语句1)使用“and”连接的模糊条件语句在模糊逻辑控制中，常常使用如下的广义肯定式推理方式第五十六页，共66页。3.2.5模糊逻辑推理（续-5）2．多重模糊条件语句1)使用“and”连接的模糊条件语句其具体运算方法一般采用以下关系结论z是，可根据如下的模糊推理关系得到第五十七页，共66页。3.2.5模糊逻辑推理（续-6）2)使用“a