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文档简介
2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是()A.2 B.3 C.4 D.12.已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是()A.若则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则3.已知,,,则的取值范围是()A. B. C. D.4.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()345.156.1264.04187.51218.01A. B. C. D.5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为()A.f(x)=sin(x)﹣1 B.f(x)=2sin(x)﹣1C.f(x)=2sin(x)﹣1 D.f(x)=2sin(2x)+16.如图,在等腰梯形中,,于点,则()A. B.C. D.7.已知等比数列中,若,且成等差数列,则()A.2 B.2或32 C.2或-32 D.-18.阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为24,则输出的值为()A.0 B.1 C.2 D.39.已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有一点,则()A. B. C. D.10.数列{an}的通项公式an=,若{an}前n项和为24,则n为().A.25 B.576 C.624 D.625二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.观察下列等式:(1);(2);(3);(4),……请你根据给定等式的共同特征,并接着写出一个具有这个共同特征的等式(要求与已知等式不重复),这个等式可以是__________________.(答案不唯一)12.若直线与直线平行,则实数a的值是________.13.函数的最小值为____________.14.函数,的值域是_____.15.若数列的前4项分别是,则它的一个通项公式是______.16.已知,,,则在方向上的投影为__________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.记为等差数列的前项和,已知,.(1)求的通项公式;(2)求,并求的最小值.18.在中,角所对的边分别为.(1)若为边的中点,求证:;(2)若,求面积的最大值.19.数列中,,(为常数,1,2,3,…),且.(1)求c的值;(2)求证:①;②;(3)比较++…+与的大小,并加以证明.20.已知向量,.(1)当时,求的值;(2)设函数,已知在中,内角、、的对边分别为、、,若,,,求的取值范围.21.如图,在四棱柱中,侧棱底面,,,,,且点和分别为和的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)设为棱上的点,若直线和平面所成角的正弦值为,求线段的长.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】
将问题转化为等比数列问题,最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题,在等比数列中,公比,前项和为,,,求的值.因为,解得,,解得.故选B.【点睛】本题考查等比数列的实际应用,难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算,对于解决实际问题很有帮助.2、B【解析】试题分析:线面垂直,则有该直线和平面内所有的直线都垂直,故B正确.考点:空间点线面位置关系.3、D【解析】
根据所给等式,用表示出,代入中化简,令并构造函数,结合函数的图像与性质即可求得的取值范围.【详解】因为,所以,由解得,因为,所以,则由可得,令,.所以画出,的图像如下图所示:由图像可知,函数在内的值域为,即的取值范围为,故选:D.【点睛】本题考查了由等式求整式的取值范围问题,打勾函数的图像与性质应用,注意若使用基本不等式,注意等号成立条件及自变量取值范围影响,属于中档题.4、A【解析】
由表中的数据分析得:自变量基本上是等速增加,相应的函数值增加的速度越来越快,结合基本初等函数的单调性,即可得出答案.【详解】对于A:函数在是单调递增,且函数值增加速度越来越快,将自变量代入,相应的函数值,比较接近,符合题意,所以正确;对于B:函数值随着自变量增加是等速的,不合题意;对于C:函数值随着自变量的增加比线性函数还缓慢,不合题意;选项D:函数值随着自变量增加反而减少,不合题意.故选:A.【点睛】本题考查函数模型的选择和应用问题,解题的关键是掌握各种基本初等函数,如一次函数,二次函数,指数函数,对数函数的图像与性质,属于基础题.5、D【解析】
由已知列式求得的值,再由周期求得的值,利用五点作图的第二个点求得的值,即可得到答案.【详解】由题意,根据三角函数的图象,可得,解得,又由,解得,则,又由五点作图的第二个点可得:,解得,所以函数的解析式为,故选D.【点睛】本题主要考查了由的部分图象求解函数的解析式,其中解答中熟记三角函数的五点作图法,以及三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.6、A【解析】
根据等腰三角形的性质可得是的中点,由平面向量的加法运算法则结合向量平行的性质可得结果.【详解】因为,所以是的中点,可得,故选.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及向量平行的性质,属于简单题.向量的运算有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和);二是坐标运算:建立坐标系转化为解析几何问题解答(求最值与范围问题,往往利用坐标运算比较简单)7、B【解析】
根据等差数列与等比数列的通项公式及性质,列出方程可得q的值,可得的值.【详解】解:设等比数列的公比为q(),成等差数列,,,,解得:,,,故选B.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质,熟悉其性质是解题的关键.8、C【解析】
根据给定的程序框图,逐次循环计算,即可求解,得到答案.【详解】由题意,第一循环:,能被3整除,不成立,第二循环:,不能被3整除,不成立,第三循环:,不能被3整除,成立,终止循环,输出,故选C.【点睛】本题主要考查了程序框图的识别与应用,其中解答中根据条件进行模拟循环计算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.9、D【解析】
根据任意角三角函数定义可求得;根据诱导公式可将所求式子化为,代入求得结果.【详解】由得:本题正确选项:【点睛】本题考查任意角三角函数值的求解、利用诱导公式化简求值问题;关键是能够通过角的终边上的点求得角的三角函数值.10、C【解析】an==-(),前n项和Sn=-[(1-)+(-)]+…+()]=-1=24,故n=624.故选C.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】
观察式子特点可知,分子上两余弦的角的和是,分母上两个正弦的角的和是,据此规律即可写出式子【详解】观察式子规律可总结出一般规律:,可赋值,得故答案为:【点睛】本题考查归纳推理能力,能找出余角关系和补角关系是解题的关键,属于基础题12、0【解析】
解方程即得解.【详解】因为直线与直线平行,所以,所以或.当时,两直线重合,所以舍去.当时,两直线平行,满足题意.故答案为:【点睛】本题主要考查两直线平行的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.13、【解析】
将函数构造成的形式,用换元法令,在定义域上根据新函数的单调性求函数最小值,之后可得原函数最小值。【详解】由题得,,令,则函数在递增,可得的最小值为,则的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查了换元法,以及函数的单调性,是基础题。14、【解析】
首先根据的范围求出的范围,从而求出值域。【详解】当时,,由于反余弦函数是定义域上的减函数,且所以值域为故答案为:.【点睛】本题主要考查了复合函数值域的求法:首先求出内函数的值域再求外函数的值域。属于基础题。15、【解析】
根据等比数列的定义即可判断出该数列是以为首项,为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式即可写出该数列的一个通项公式.【详解】解:∵,该数列是以为首项,为公比的等比数列,该数列的通项公式是:,故答案为:.【点睛】本题主要考查等比数列的定义以及等比数列的通项公式,属于基础题.16、【解析】
根据数量积的几何意义计算.【详解】在方向上的投影为.故答案为:1.【点睛】本题考查向量的投影,掌握投影的概念是解题基础.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)an=3n–4,(3)Sn=n3–8n,最小值为–1.【解析】分析:(1)根据等差数列前n项和公式,求出公差,再代入等差数列通项公式得结果,(3)根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式,根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–3.由a1=–7得d=3.所以{an}的通项公式为an=3n–4.(3)由(1)得Sn=n3–8n=(n–4)3–1.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–1.点睛:数列是特殊的函数,研究数列最值问题,可利用函数性质,但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18、(1)详见解析;(2)1.【解析】
(1)证法一:根据为边的中点,可以得到向量等式,平方,再结合余弦定理,可以证明出等式;证法二:分别在和中,利用余弦定理求出和的表达式,利用,可以证明出等式;(2)解法一:解法一:记面积为.由题意并结合(1)所证结论得:,利用已知,再结合基本不等式,最后求可求出面积的最大值;解法二:利用余弦定理把表示出来,结合重要不等式,再利用三角形面积公式可得,令设,利用辅助角公式,可以求出的最大值,即可求出面积的最大值.【详解】(1)证法一:由题意得①由余弦定理得②将②代入①式并化简得,故;证法二:在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,∵,∴,则,故;(2)解法一:记面积为.由题意并结合(1)所证结论得:,又已知,则,即,当时,等号成立,故,即面积的最大值为1.解法二:设则由,故.【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式的应用,考查了重要不等式及基本不等式,考查了数学运算能力.19、(1);(2)①见证明;②见证明;(3)++…+,证明见解析【解析】
(1)将代入,结合可求出的值;(2)可知,,即可证明结论;(3)由题意可得,从而可得到,求和可得,然后作差,通过讨论可比较二者大小.【详解】(1)由题意:,.而,得,即,解得或,因为,所以满足题意.(2)因为,所以.则.,因为,,所以,所以.(3)由,可得,从而,所以.因为,所以,所以.,,,,当n=1时,,故;当n=2时,,;当n≥3时,,则,.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式和数列的求和,考查了不等式的证明,考查了学生的逻辑推理能力与计算能力,属于难题.20、(1);(2)【解析】
(1)由共线向量的坐标运算化简可得,将化切后代入即可(2)利用向量的坐标运算化简,利用正弦定理求,根据角的范围求值域即可.【详解】(1)∵,,且;∴,∴;∴;(2)∵;在中,由正弦定理得,∴,∴,或;又∵,∴,∴,∵,∴;∴,∴;即的取值范围是.【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标运算,三角恒等式,型函数的值
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