计算方法龙贝格高斯求积公式

计算方法龙贝格高斯求积公式第1页，共40页，2023年，2月20日，星期二

综合前几节的内容,我们知道梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代数精度分别为1次,3次和5次复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为2阶、4阶和6阶无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的有没有办法改善梯形公式呢?2023/4/182第2页，共40页，2023年，2月20日，星期二一、复合梯形公式的递推化各节点为复合梯形(Trapz)公式为--------(1)--------(2)2023/4/183第3页，共40页，2023年，2月20日，星期二--------(3)由(1)(2)两式可42023/4/18(3)式称为递推的梯形公式递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选取步长的复化梯形公式优点：梯形法计算简单缺点：收敛慢，为了达到要求的精度，需要二分区间多次，分点大量增加，计算量很大第4页，共40页，2023年，2月20日，星期二--------(3)2023/4/185第5页，共40页，2023年，2月20日，星期二则由(1)(2)(3)式,有2023/4/186第6页，共40页，2023年，2月20日，星期二因此(1)(2)(3)式可化为如下递推公式-------(4)上式称为复合变步长梯形求积公式2023/4/187第7页，共40页，2023年，2月20日，星期二二、外推加速公式由复合梯形公式的余项公式可得由(3)式移项合并2023/4/188第8页，共40页，2023年，2月20日，星期二复合Simpson公式表明：由梯形公式前后两次结果的线性组合可构造出精确度较高的辛普森公式2023/4/189第9页，共40页，2023年，2月20日，星期二--------(5)即--------(6)当然2023/4/1810第10页，共40页，2023年，2月20日，星期二11因此由复合Simpson公式的余项可得令--------(7)--------(8)即当然2023/4/18第11页，共40页，2023年，2月20日，星期二由复合Cotes公式的余项得令--------(9)即当然公式(9)称为龙贝格积分公式2023/4/1812第12页，共40页，2023年，2月20日，星期二外推加速公式以上整个过程称为Romberg算法将上述结果综合后2023/4/1813第13页，共40页，2023年，2月20日，星期二其中外推加速公式可简化为--------(9)Romberg算法的收敛阶高达m+1的两倍Romberg算法求解步骤Romberg算法的代数精度为m的两倍2023/4/1814第14页，共40页，2023年，2月20日，星期二上述公式推导说明，T1公式是梯形公式，对于次数不高于1的多项式准确；S1是辛普森公式，对于次数不高于3的多项式准确；C1是柯特斯公式，它对于次数不高于5的多项式准确，每一个公式均由前一公式的适当线性组合得到，精确度都提高2次。因此可以验证，由柯特斯公式C1构造得到的龙贝格公式R1，对次数不高于7次的多项式准确。龙贝格公式计算积分占用内存少，精度高2023/4/1815第15页，共40页，2023年，2月20日，星期二龙贝格公式计算步骤：其计算过程是将区间逐次分半，加速得到积分近似值，因此称为逐次分半加速法2023/4/1816第16页，共40页，2023年，2月20日，星期二

00.920735510.93979330.946145920.94457350.94608690.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831例1

将三个加速公式用于求从表中可以看出三次加速求得R1=0.9460831每位数字都是有效数字172023/4/18第17页，共40页，2023年，2月20日，星期二例2.182023/4/18解：（1）在区间[1,2]上用梯形公式得第18页，共40页，2023年，2月20日，星期二192023/4/18第19页，共40页，2023年，2月20日，星期二202023/4/18第20页，共40页，2023年，2月20日，星期二本章作业P9710212023/4/18第21页，共40页，2023年，2月20日，星期二

牛顿—柯特斯型求积公式是封闭型的（区间[a,b]的两端点a,b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，牛顿—柯特斯型求积公式的代数精度只能是n(n为奇数)或n+1(n为偶数)。

4.7.1一般理论4.7高斯求积公式222023/4/18问题：对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅Ak而且xk也加以选取,是否可以增加自由度，从而可提高求积公式的代数精度？

第22页，共40页，2023年，2月20日，星期二2023/4/1823第23页，共40页，2023年，2月20日，星期二第24页，共40页，2023年，2月20日，星期二2023/4/1825第25页，共40页，2023年，2月20日，星期二2023/4/18定义：26第26页，共40页，2023年，2月20日，星期二2023/4/18

4.7.2Gauss求积公式的构造先从简单情况入手27第27页，共40页，2023年，2月20日，星期二2023/4/18①②28第28页，共40页，2023年，2月20日，星期二2023/4/1829第29页，共40页，2023年，2月20日，星期二2023/4/1830第30页，共40页，2023年，2月20日，星期二则求积公式为此式对任何不高于3次的多项式f(x)都准确成立2023/4/1831第31页，共40页，2023年，2月20日，星期二322023/4/18第32页，共40页，2023年，2月20日，星期二332023/4/18第33页，共40页，2023年，2月20日，星期二342023/4/18第34页，共40页，2023年，2月20日，星期二

4.7.3常用的高斯型求积公式352023/4/18由于正交多项式随权函数不同，所以取不同的权函数时，则有各种各样的Gauss型求积公式.第35页，共40页，2023年，2月20日，星期二（1）高斯－勒让德求积公式2023/4/1836第36页，共40页，2023年，2月20日，星期二372023/4/18（2